深度挖掘习题，拓展变式研究——“带电粒子在复合场中运动”问题的分析

广东 古焕标

在教学实践中，以课本习题为母题进行变式训练，可以使学生掌握物理解题的本质方法，达到“由一题通一类”的教学效果。同时，源于课本而又高于课本是高考命题原则，每年均有一定数量的试题是以课本习题为素材，通过变形、延伸与拓展来命制高考物理试题。因此，教材习题是十分有价值的教学资源，是高考的源题精华所在。而带电粒子在复合场中运动问题是高考的重点、热点问题，为此本文从教材入手，将此类模型问题对照高考真题，体现高考试题是如何变式得来，帮助同学们掌握此类模型的来源与解题方法。

一、习题挖掘——问题源于课本

【教材】问题与练习(人教版物理《选修3-1》第98页)

图1

【点评】通过分析本题，可以让学生初步了解带电粒子在复合场中运动问题的处理方法，即首先要弄清复合场的组成，其次，要正确对带电粒子进行受力分析和运动过程分析。

二、拓展变式——问题举一反三

带电粒子在复合场中的运动问题仍是一个力学问题，求解思路与力学问题的求解思路基本相同，即分析运动过程及受力情况，充分挖掘题目中的隐含条件，根据不同的运动情况建立相应的方程。

1.带电粒子在叠加场中的运动

图2

(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。

【解题策略】首先应弄清叠加场的组成特点，对带电粒子进行受力分析，结合运动情况和受力情况确定带电粒子的运动状态，画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律求解。本题中小球在电场、磁场、重力场三场共存的区域中做匀速直线运动，所受的合力为零，根据共点力平衡可列方程求解。撤掉磁场后，小球在电场、重力场共存的区域中所受的合力不为零，粒子在P点的速度方向与所受的合力方向垂直，做类平抛运动，运用类平抛运动的规律或匀变速直线运动的位移公式即可求解。

【解析】(1)小球在P点做匀速直线运动，小球受力情况如图3所示，由平衡条件得

图3

代入数据，解得v=20 m/s

设速度v的方向与电场强度E的方向成θ角，则

(2)解法一 撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图4所示。设其加速度为a，有

图4

设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有

x=vt

设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有

a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又

解法二 撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为

vy=vsinθ

若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有

【点评】此题粒子在电场、磁场、重力场三场共存的区域中做匀速直线运动，粒子运动的区域由例1中的两个场变为此题的三个场，考查了学生对知识的迁移能力；撤掉磁场后，粒子在P点受重力与电场力的合力方向与粒子在P点的速度方向垂直，且合力不变，粒子做类平抛运动，考查了学生运用已学书本知识，解决实际问题的能力。另外，此题第(2)问的两种解法中，解法一应用了平抛的规律求解，解法二采用整体法，直接应用匀变速直线运动的位移公式求解，显然解法二更简洁，会更好。本题通过不同解法的选择，有着不一样的解题复杂性与解题思路，可以激发学生物理解题的潜能与积极性，对学生创新能力及综合解题能力的培养有显著的作用。

【变式2】(2009年天津卷第11题)如图5所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度为g，求：

图5

(1)电场强度E的大小和方向；

(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；

(3)A点到x轴的高度h。

【解析】(1)小球从M到N做匀速圆周运动，重力和电场力二力平衡，则

qE=mg

(2)小球从A点到M点做平抛运动，由平抛运动规律可知小球在M点有

图6

(3)小球由A点到M点做平抛运动，由动能定理得

【点评】例1作为课本中问题与练习，初步让学生掌握粒子在只有两个场中做匀速直线运动的方法，变式1通过粒子在三场共存的区域中做匀速直线运动，考查了学生对知识的迁移能力，紧接着通过变式1中的第(2)问，让学生掌握粒子从做直线运动过渡到做曲线运动的分析方法；而本题在变式1的基础上，建立平抛运动、圆周运动的基本模型，通过粒子在三场共存的区域中做匀速圆周运动，考查了学生处理多过程问题的方法和解决实际问题的能力。本题在讲评时可进行加不同方向磁场的变式训练，通过此类知识的变式训练，将一些相似的情景放在一起，让学生弄清“形异质同”的物理本质，提高对课本习题重视的同时，较好地提高物理的解题能力。

2.带电粒子在组合场中的运动

【教材】例题(人教版物理《选修3-1》第100页)

【例2】一个质量为m、电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上(如图7所示)。

2.加工技术欠缺，属粗加工范畴。在普通的加工过程当中缺乏精准的控制，仅仅是大范围的掌控和粗略的加工，无法完全对小麦价值予以开发，更为严重的是由于技术的欠缺，小麦中的营养物质未能被完全保留下来，而这一部分所流失的营养若是能够被保留下来，必将创造巨大的效益。

图7

(1)求粒子进入磁场时的速率；

(2)求粒子在磁场中运动的轨道半径。

【解题策略】带电粒子在组合场中运动时，首先要弄清场的组成、方向、强弱、范围等，带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况，正确地画出粒子的运动轨迹图；然后根据场的区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。本题中粒子先经过加速电场，做匀加速直线运动，可根据运动学公式、牛顿运动定律或动能定理来求解；之后带电粒子垂直于匀强磁场方向进入磁场，做匀速圆周运动，根据圆周运动公式、牛顿运动定律以及几何知识即可求解。

把第(1)问中求得的v代入，得出粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为

【点评】本题中的质谱仪是由加速电场和偏转磁场组成的组合场，属于粒子在组合场中的运动问题。解决这类问题常用到匀变速直线运动规律、牛顿第二定律、动能定理等知识，在加速电场中求解粒子被加速后的速度一般是用动能定理；在偏转磁场中粒子做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，应用牛顿第二定律求解。解决此类问题的关键是要正确对带电粒子进行受力和运动过程分析。

【变式3】(2017年天津卷第11题)平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图8所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：

图8

(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；

(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。

【解题策略】弄清电场、磁场、重力场在平面直角坐标系xOy中的分布情况，粒子运动的过程划分为两个不同的阶段，首先带电粒子垂直于电场方向进入电场，粒子做类平抛运动，可根据平抛运动规律、功能关系来求解；之后粒子以某一速度垂直于匀强磁场方向进入磁场，粒子做匀速圆周运动，根据圆周运动公式、牛顿第二定律以及几何知识即可求解。特别要注意明确带电粒子通过不同场区交界处时的速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。

【解析】(1)设粒子在O点的速度大小为v、方向与x轴正方向的夹角为θ、y轴方向的速度大小为vy，粒子从Q点到达O点做类平抛运动，如图9所示。

图9

在Q点，由类平抛运动规律得

x轴方向，粒子做匀速直线运动，则

2L=v0t

解得vy=v0，tanθ=1

即θ=45°，粒子到达O点时的速度与x轴正方向成45°斜向上，则

(2)设电场强度为E，粒子的质量为m、带电荷量为q。粒子从Q点到达O点，由动能定理得

设磁感应强度为B，粒子做圆周运动的半径为R。粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则

【点评】此题变式是对例2的延伸和拓展，能够很好地帮助学生巩固知识、锻炼思维，提高学生综合解题能力。与例2的不同之处在于电场与磁场的组合位置可根据题目的条件不同而变换，通过粒子在不同场中运动的特点及所遵循的物理规律，考查学生在不同物理情景下灵活应用物理规律解题的能力，在习题课堂讲评时还可以变换磁场、电场的组合位置或方向进行变式训练，达到“由一题通一类”的教学效果。本题解题的关键是要明确带电粒子从电场进入磁场的交界处时的速度大小和方向。

由以上可知在教学中，教师应紧抓教材习题，通过课本例题或习题进行变式训练，使学生充分掌握物理解题的本质方法，实现“以少胜多”，从而遏制了题海战术，减轻了学生的学习负担，体现忠实教材又拓展教材的目的，真正达到“明题理，通类题”的复习思路。