多视角演绎电路动态平衡的“串反并同”

福建 郭 威

“牵一发而动全身”是电路动态平衡问题的一个特点，“串反并同”法则能使解题过程变得简单，但大部分老师或学生在使用“串反并同”法则或已发表的期刊论文阐述中未完全体现“串反并同”的适用性及操作性，从而引起各种各样的疑惑。本文从科学思维的角度，多视角地演绎电路动态平衡“串反并同”的适用范围与如何操作，用以消除广大师生在使用法则中常遇到的疑惑。

一、所用原理及简要证明

“串反并同”法则通常表示为：“串反”即与“变化的电阻”有串联关系的“元件”，其电流、电压、功率等变化与“变化的电阻”阻值变化是相反的；“并同”即与阻值“变化的电阻”有并联关系的“元件”，其电流、电压、功率等的变化与“变化的电阻”阻值变化是相同的。

证明需要用到一个定理和一个等效方法，如下：

定理：任何两端有源网络可等效为一个电源，等效电源的电动势为两端开路时的电压，等效电源的内阻为除去电源后两端后所得的电阻(戴维南定理)。

等效方法：把阻值“变化的电阻”与要判断物理量变化的“元件”以外的部分和电源等效成一个等效电源。

如图1所示，当滑动变阻器滑动触点P向右端移动时，RP变小，即RP为“变化的电阻”，通过R1、R2的电流如何变化？简要证明如下：

图1

图2

图3

规律一“串反并同”电源不计内阻时慎用：该电源的路端电压恒等于电源电动势大小，与外电路变化无关，当干路上有电阻可以等效成内阻时，此等效后的外电路仍可等效使用“串反并同”。

【试题调研1】如图4所示，电动势为E、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接。只合上开关S1，三个灯泡都能正常工作。如果再合上S2，则下列表述正确的是

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图4

A.电源输出功率减小

B.L1上消耗的功率增大

C.通过R1上的电流增大

D.通过R3上的电流增大

【串反并同解题思路】本题不计内阻，所以电源的路端电压不变，内阻为零的情况下，电源的路端电压不符合“串反并同”法则；把R1等效为内阻后，开关“合上”或“断开”，定性分析时可以直接认定“合上”开关电阻从无穷大变为零，即“变化的电阻”的阻值变小，如图5虚线框内的动态问题就可以使用“串反并同”法则，干路电流与S2是“串”的关系，“元件”L1、L2、L3、R3与S2都是“并”的关系，即本题选项C正确。

图5

二、如何判定“串反并同”法则中“变化的电阻”与要判断物理量变化的“元件”是“串”还是“并”

既然使用“串反并同”法则，那么再去考虑电路要判断物理量变化的“元件”在电路中与“变化的电阻”是串联或并联已没有实质的意义，而用电流流向法去判断“串”“并”的关系，在复杂的回路中又因电流流向不容易判断可能屡屡失败而对该法则失去信心。所以把“电源”、阻值“变化的电阻”(简称“变化的”)、要判断物理量变化的“元件”(简称“要判断的”)三个元件用一条线连起来形成一个回路，不重回等势点确定为“串”的关系，否则为“并”的关系(元件断路除外)，把这种连线方法称之为“电势降落连线法”。

注意：①如果“要判断的”是多个元件与“变化的”电阻的关系，选择题多以这种形式出现，只能一组一组地来，不能同时一次性把“电源”、所有“要判断的”多个元件用一条线与“变化的”电阻连起来判断。

②特别要注意理想电流表内阻视为零，电流表两端点为等势点；与电容器串联的电阻相当于导线，该电阻两端同为等势点。

若电表均为理想电表，当滑动变阻器滑动触点P向右端移动时，应用“电势降落连线法”(图6里的虚线)判断如下：

①判断R1：可以把电源、“变化的”滑动变阻器、“要判断的”R1用一条线连成回路，如图6，即R1与RP是“串”的关系；

②判断R2：可以把电源、“变化的”滑动变阻器、“要判断的”R2用一条线连成回路，如图6，即R2与RP是“串”的关系；

图6

图7

图8

规律二把“电源”、阻值“变化的”元件、物理量“要判断”的元件三者用一条线连起来，不重回等势点，不走回头路(交叉点)即为“串”，要“判断的元件”的物理量变化与“变化的元件”阻值变化规律相反，即“串反”，否则，即为“并”，要“判断的元件”的物理量变化与“变化的元件”阻值变化规律相同，即“并同”，这就是本文对“串反并同”法则的定义。

规律三只要电源有内阻，路端电压一定与“变化的”是“并”的关系，干路电流一定与“变化的”是“串”的关系。

三、含容电路动态变化“串反并同”的处理

规律四含容电路的电容器可以看成一个理想的电压表，与电容器串联的电阻是“无效电阻”，相当是导线，如果这个电阻是“变化的”，那么不影响整个电路物理量的变化，其他支路电阻发生变化，可正常应用“串反并同规律”来判断电容器电压的变化，由此判断电容器其他物理量的变化。

【试题调研2】如图9所示，R1、R2、R3、R4均为可变电阻，C1、C2均为电容器，电源的电动势为E，内阻r≠0。若改变四个电阻中的一个阻值，则

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图9

A.减小R1，C1、C2所带的电荷量都增加

B.增大R2，C1、C2所带的电荷量都增加

C.增大R3，C1、C2所带的电荷量都增加

D.减小R4，C1、C2所带的电荷量都增加

【串反并同解题思路】这种含电容器题型先判断阻值“变化的电阻”与电容是否串联在一起的，如果是串联在一起的，“变化的电阻”是无效变化，它相当于导线，先摘去电容器C1，由于R1与C2串联，则R1是无效“变化的电阻”，选项A错误；把电容器看成理想电压表，R2增大时，把“电源”“变化的电阻”R2、“要判断的元件”C1用一条线连起来，如图10的确可以连成一条线，但这条线从图中A点过R2、C1后回到了B点，而A、B点因R1相当于导线是等势点，即R2与C1是“并”的关系而非“串”的关系，同理，R2与C2是“并”的关系，R2增大，C1、C2所带的电荷量都增加，故选项B正确；增大R3时，把“电源”“变化的电阻”R3、“要判断的元件”C1用一条线连起来，如图11，即R3与C1是“串”的关系，因为没有一条线可能同时绕过R3与C2而不走回头路的，所以R3与C2是“并”的关系，增大R3，C1所带的电荷量减小、C2所带的电荷量增加，故选项C错误；减小R4时，把“电源”“变化的电阻”R4、“要判断的元件”C1用一条线连起来，如图10，这条线路会重新回到A、B等势点上，所以这条线路不能当作R4与C1“串”的关系的依据，但要考虑“电源”“变化的”R4、“要判断的”C1还有一条路线可走，如图11，这条线路经过所有元件后并没有回到过等势点，所以R4与C1还是“串”的关系，很明显，R4与C2是“串”的关系，减小R4，C1、C2所带的电荷量都增加，故选项D正确。

图10

图11

四、电路两处同时变化“串反并同”的处理

规律五当电路“变化的电阻”有两处变化，两处“变化的电阻”分别造成“要判断的元件”同时益增或益减，依然可以使用“串反并同”法则，但必须一处一处去判断，再判断该元件在两处变化中的综合结果。

规律六当电路“变化的电阻”有两处变化，能把两处“变化的电阻”看成一个整体“变化的电阻”，根据这个整体的变化规律，这个整体外“要判断的元件”物理量的变化一样可以使用“串反并同”法则。

【试题调研3】在图示12电路中，灯L1、L2的电阻分别为R1、R2，变阻器的最大电阻为R0，且R0>R2，电容器的电容为C。若有电流通过，灯就能发光，假设灯的电阻不变，当变阻器的滑动片P由a端向b端移动过程中，以下说法中正确的是

( )

图12

A.L1先变暗后变亮，L2一直变亮

B.L1先变亮后变暗，L2先变暗后变亮

C.电容器极板所带的电荷量先增大后减小

D.电源的效率先减小后增大

【串反并同解题思路】判断L1和电容带电荷量时应用“串反并同”规律六可以把虚线框这部分看成一个整体，如图13，再用“串反并同”规律三可知“要判断的元件”电灯L1在干路上，与“变化的电阻”滑动变阻器、电源是“串”的关系，变阻器的最大电阻为R0，且R0>R2，故当P由a端向b端移动过程中，虚线框总电阻先变大后变小，即L1先变暗后变亮，排除选项B；电容器、虚线框电阻、电源是“并”的关系，电容器极板两端的电压先增大后减小，所带的电荷量先增大后减小，电源效率也先增大后减小，选项C正确，D错误；当P由a端向b端移动过程中，滑片左侧电阻变小，滑片右侧电阻变大，由于灯L2处于两处“变化的”电路中，我们先用“程序法”分析：当P由a端向b端移动过程中，L1等效成内阻后的路端电压先变大后变小，干路电流先变小后变大，移到滑动变阻器中间某一位置上、下两并联电阻相等时是路端电压最大值的临界点，从a端向临界点移动过程中，把L1等效成内阻后的路端电压变大，滑片左侧与灯L2总电阻变小，所以灯L2的电流变大，即L2变亮；从临界点向b端移动过程中，R0左侧与灯L2总电阻变小，把L1等效成内阻后的路端电压也在变小，灯L2的电流暂时无法判断，从临界点向b端移动过程中，滑片右侧电阻变大，L1等效成内阻后的路端电压在变小，滑片右支部的电流变小，而这过程干路电流变大，故灯L2的电流也变大，即当P由a端向b端移动过程中，L2一直变亮，故选项A正确。“串反并同”解题思路分析A选项，可知电源、滑片左侧与灯L2是恒“串”的关系，电源、滑片右侧与灯L2是恒“并”的关系，根据规律五对这种滑动变阻器并联式接法，一样可以使用“串反并同”。

图13

五、判断电路故障问题“串反并同”的处理

规律七电路某处发生故障，即“变化的电阻”阻值变小，断路“变化的电阻”阻值变大，会引起电路中其他物理量的变化，在电源电阻不能忽略的情况下，如果多处的物理量同时变大或变小，说明发生故障的位置与这位置分别为“并”的关系，如果两处的物理量一个变大一个变小，说明发生故障的位置与这两处一个为“并”的关系，一个为“串”的关系。

【试题调研4】如图14所示的电路中，闭合开关，灯L1、L2正常发光，由于电路出现故障，突然发现灯L1变亮，灯L2变暗，电流表的读数变小，根据分析，发生的故障可能是

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图14

A.R1断路 B.R2断路 C.R3短路 D.R4短路

【串反并同解题思路】由于电路出现故障，突然发现灯L1变亮，灯L2变暗，电流表的读数变小，说明故障的位置如果是断路，该处电阻变大，与L1是“并”的关系，与L2和电流表是“串”的关系，用一条线不能把电源、R1、L1连起来，所以R1与L1是“并”的关系，如图15，ABCGFM和电源可以连成不回到等势点的一条线，R1与L2是“串”的关系；ABCDHM和电源可以连成不回到等势点的一条线，R1与电流表是“串”的关系；故R1断路电阻变大，L1变亮，灯L2变暗，电流表的读数变小，选项A正确；AGCDHM这条线路R2与电灯L1和电流表是“串”的关系，所以电灯L1和电流表变化步调一致，所以无论R2断路还是短路都与题设条件矛盾，选项B错误；AGFDHM这条线路R3与电灯L1和电流表是“串”的关系，所以无论R3断路还是短路都与题设条件矛盾，选项C错误；AGFDHM这条线路R4与电灯L1和电流表是“串”的关系，所以无论R4断路还是短路都与题设条件矛盾，选项D错误。要特别注意本题电路图ABCDFM虽然与电源可以连成一条线，但GF是等势点，故这条线路不能称之为“串”。

图15

规律八当电源为恒压源时，路端电压的大小不变，相当于电源没有内阻的情况，可按规律一处理；但当电源为恒流源时，不符合“串反并同”法则条件，只能按“程序法”求解。

【试题调研5】在如图16所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，M为多种元件集成的电子元件，其阻值与两端所加的电压成正比(即RM=KU，式中K为正常数)且遵循欧姆定律。R1和R2是两个定值电阻(其电阻可视为不随温度变化而变化)。R为滑动变阻器，现闭合开关S，使变阻器的滑片向上移动，下列说法正确的是

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图16

A.电压表V1和V2读数增大

B.电子元件M两端的电压减小

C.通过电阻R的电流增大

D.电流表读数减小

【串反并同解题思路】本题答案为CD，因为RM=KU，式中K为正常数且遵循欧姆定律，RM=IU，所以干路电流I是一个定值K，电源相当一个恒流源，当变阻器的滑片向上移动时，电阻R变小，总电阻变小，总电流变大，恒流源恒定情况下其他元件的物理量变化会受到该条件的约束，与“串反并同”的条件是相悖的，再使用“串反并同”法则所得出结论可能与“程序法”分析相反。