基于图式理论的物理习题设计初探

荣万军

“图式”是指一种有组织的知识结构，是围绕某一主题组织起来的知识的表征和贮存方式。本文以“磁场中轨迹圆圆心的确定方法”为例，基于已存的图式和变化的图式对教学设计进行探究。

一、情境導问锁定教学起点

然后，教师再进行情境导问：要画出轨迹，关键步骤是找出轨迹的圆心，确定圆心的方法有哪些呢？大多数学生只有一些碎片化的认识，教师可以通过几个例题来系统性地研究轨迹圆圆心的确定方法。

1.依靠基础题型，激活已存图式

如图2，质量为m，电量为q的带负电粒子，与AB边成60°从M点进入匀强磁场。已知磁场垂直纸面向里，宽度为d，磁感应强度为B。

（1）若粒子的速度v=[qBdm]，求该粒子在磁场中的运动时间。

（2）若粒子从N点射出磁场，且MN=d，求粒子的速度大小。

（3）若要让粒子从AB射出磁场，求粒子速度的最大值。

第（1）问难度不大，目的是让学生调用已存图式：过入射点作入射速度的垂线，圆心在垂线上到入射点距离为r的位置。第（2）问难度略有上升，教师强调学生已存的图式：过入射点作入射速度的垂线，作入射点和出射点连线的中垂线，两垂线的交点即为圆心。然后，教师引导学生反思：找圆心的本质是找圆的两条直径的交点，而直径是弦的中垂线或者是过切点作圆周切线的垂线。第（3）问，大多数学生在轻松确定第一条半径所在直线后出现了思维障碍，教师启发学生从粒子速度很小时开始思考，逐渐增大速度，速度超过某个值后从CD射出，则刚好不从CD射出时为最大速度，其轨迹与CD相切，切点处速度（视为出射速度）方向与CD平行。通过这样的引导后，由于没有出射点，学生依旧找不到圆心，教师可以如下启发学生：

师：轨迹与CD的切点必然在哪里？

生1：在CD边上。

师：找不准的时候，先在CD上估计某点E为切点（视为出射点），过E点作CD的垂线，两垂线必有一个交点O，若交点为圆心必有什么结论？

生2：OM=OE。

师：若发现OM≠OE时，怎么办？

生3：在CD上移动E点，直到OM=OE。

师：这种方法可以叫作“估计法”，也是必须掌握的基本方法。

2.题后反思总结，培养学科素养

教师先规定入射点A是找圆心的一个要素，问学生上题共出现了哪些要素。学生思考找到另外四个——入射方向B、出射点C、出射方向D、半径E后，教师再问确定圆心最少需要几个要素。学生通过上题可以猜出是三个。教师归纳：只要知道其中任意三个就可确定圆心，这样的方法可以叫“知‘三求‘二”。教师让学生运用数学知识，推测共可能出现多少种情形。有的学生用罗列法，有的用排列组合，最后都得出结论：[C35]=10种。最后，教师带领学生根据可逆性进行归类并取名：①ABE、CDE：直接法;②ABC、ACD、ACE：中垂线法;③ABD、BCD：估计法。没归纳的两种情况（④BDE：角平分线法;⑤ADE、BCE：动圆法）比较复杂，需要学生的思维认识再上一个台阶。

二、思维进阶渡过最近发展区

通过上面的例题，学生可以掌握估计法。但角平分线法和动圆法是估计法的高阶变化，学生难以理解。因此，后面两种方法依然要从找要素和估计法的思路讲解。

1.估计法升级1代：角平分线法

如图3，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计。

结合上面的例题，学生容易找出BDE三要素，会尝试知“三”求“二”的方法，也知道作两速度的垂线，交点为圆心[O′]。难点在于没有入射点和出射点，多数学生无法动手。此时，教师先引导学生回忆估计法，再在速度方向上估计点P为入射点、点Q为出射点，然后移动P、Q，当[O′P]=[O′Q]=r时，[O′]即为圆心，接着画出轨迹，发现圆形磁场区域的最小直径为PQ。随之，题后反思：若r改变，则[O′]变，但[O′P]=[O′Q]=r不变，即[O′]只能在两速度方向夹角的补角的角平分线上运动，因此称为角平分线法，即直接延长两速度相交一点并作出角平分线，从而快速确定圆心。

2.估计法升级2代：动圆法

如图4，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小[B]，磁场内有一块平面感光板[ab]（足够长），板面与磁场方向平行，在距[ab]的距离[L]处，有一个点状的放射源[S]，它向各个方向发射[α]粒子，[α]粒子的速度都是[V=qBLm]，现只考虑在图纸平面中运动的[α]粒子，求[ab]板上方被[α]粒子打中的最远点到[S]的距离。

这道题，学生容易发现A、E两个要素，难在第三个要素（出射方向）。教师分步引导学生：①要求打中的点，即意味出射点在[ab]上。②因[α]粒子沿逆时针方向运动，故相当于将一个圆绕[S]点逆时针旋转，因此称为动圆法。③用道具（圆）旋转一周，轨迹圆会与[ab]相切于两点[P1]和[P1′]，如图5，故上方最远点为[P1]。④无道具圆时，要用估计法：以入射点为圆心，以[L]为半径画圆，再过[P1]点作[ab]的垂线交圆于[O1]点，移动[P1]使[O1P1]=[L]，则可确定圆心[O1]，如图5。

用一个框架（知“三”求“二”）结合3道例题，依托学生已有的图式，不断延伸变化，形成更复杂合理的找圆心图式，提升了学生的解题能力，培养了学生的核心素养。

（作者单位：利川市第五中学）

责任编辑  张敏