彭罗斯：数学家得了物理学奖

卢昌海

2020年10月6日，瑞典皇家科學院宣布了2020年诺贝尔物理学奖的得主。英国数学物理学家罗杰·彭罗斯由于“发现黑洞的形成是广义相对论的坚实预言”获得了一半奖金;德国天体物理学家赖因哈德·根策尔和美国天文学家安德烈娅·盖兹则由于“在我们星系中心发现超大质量致密天体”分享了另一半奖金。

这两项获奖研究都是关于黑洞的，前者是纯理论研究，后者是观测，可谓相得益彰。在本文中，我们将对彭罗斯作一个简短介绍。

黑洞概念

作为背景，我们先介绍一下“黑洞”这个概念。这个概念的起源常被回溯到英国地质学家约翰·米歇尔。1783年，米歇尔在牛顿万有引力定律的基础上得到了一个如今中学生也能推导得出的结果，即一个密度跟太阳一样的星球若直径比太阳大几百倍，引力就会强大到连光也无法从它的表面逃逸（从而看上去将是“黑”的）。1796年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯也得到了同样结果。这些结果通常被视为黑洞概念的萌芽。

不过，米歇尔和拉普拉斯的黑洞跟我们如今所说的广义相对论中的黑洞除在“半径”这一参数上恰好相同外，其实鲜有共同之处。比方说，前者的“黑”只是光无法逃逸到远处，但在近处仍可看到，后者则不然;甚至就连所谓“恰好相同”的“半径”这一参数，彼此的含义也完全不同，前者是从黑洞中心到表面的距离，后者则不具有这样的意义，而只是视界（下文将会介绍这一概念）周长除以2π的简称（这在广义相对论中跟前者不是一回事）。至于各种微妙得多的其他特性，则更是广义相对论中的黑洞（以下将简称为“黑洞”）所独有的。因此，彭罗斯就曾说过：“黑洞的概念实际上只能从广义相对论的特殊性质里得出，而并不出现在牛顿理论中。”

施瓦西解

那么，黑洞的概念是如何“从广义相对论的特殊性质里得出”的呢？这得回溯到1916年1月。那时距爱因斯坦提出广义相对论虽才不到两个月，一位名叫卡尔·施瓦西的德国物理学家就得到了广义相对论的一个严格解——如今被称为施瓦西解。

施瓦西解描述的是一种球对称的时空，它有两个非常引人注目的特点——都表现为“0”出现在分母上，从而使数学表达式失去意义：其中一个出现在球对称的中心处，另一个则出现在一个球面上，这个球面的半径被称为“施瓦西半径”。在经过很长时间的研究后，物理学家们才逐渐理解了这两个特点的真正含义：其中前者被称为“奇点”，具有诸如时空无限弯曲之类的“病态”性质，并且会让物理定律失效;后者则被称为“事件视界”，简称“视界”，它虽然一度也被视为奇点，实际上却只是施瓦西所用的特定坐标的缺陷。

奇点和视界是黑洞的两个主要特征，因此施瓦西解的问世在一定意义上可视为广义相对论对黑洞的最早预言。但这种预言只说明了广义相对论原则上可以描述黑洞的主要特征，可以允许奇点和视界那样的东西，却并不能告诉我们实际上是否会有任何物理过程真正产生出那样的东西。如果没有，则所谓“原则上可以”依然不过是镜花水月。

那么，实际上到底有没有什么物理过程能产生黑洞呢？1939年，美国物理学家罗伯特·奥本海默及其学生哈特兰·辛德的一项研究向着回答这一问题迈出了重要一步。

奥本海默和辛德研究了恒星在耗尽核燃料（从而不再有辐射压来抗衡引力）之后的坍塌过程，结果发现，对远方的观测者来说，当恒星坍塌到接近视界时，从恒星表面发出的光的波长会变得越来越长，坍塌过程会显得越来越慢，直至“冻结”。由于这个奇异的效应，黑洞有一个早期的名字叫作“冻结星”。但这个效应并不说明黑洞无法形成，而只是如同一盒放了一半就慢慢停下的录像带，使人无法看到结局，却并不意味着结局没有发生。更何况，奥本海默和辛德同时还发现，对跟随恒星一同坍塌的观测者来说，坍塌会毫不停滞地穿越视界，并且在有限时间内产生奇点，从而显示出黑洞是可以形成的。

有了这些研究，是不是可以认为黑洞的形成已经是广义相对论的预言了呢？还不能。因为无论施瓦西解还是奥本海默和辛德的研究，都依赖于一个在现实世界里无法严格实现的对称性——球对称性。

更糟糕的是，由于广义相对论是一个非常复杂的理论，对称性对当时几乎所有的同类研究都是必不可少的。比如新西兰数学家罗伊·克尔于1963年得到了广义相对论的一个描述旋转黑洞的解——被称为克尔解，这个解比施瓦西解普遍得多，却也依赖于一种对称性——轴对称性。虽然恒星大都接近轴对称甚至球对称，却绝不可能是严格轴对称或球对称的。类似地，广义相对论的很多宇宙学解也依赖于对称性——比如均匀及各向同性。这些对称性在现实世界里都是无法严格实现的。

苏联学派

通常来说，物理学家们是不会在对称性无法严格实现这一点上吹毛求疵的，因为对称性是他们研究现实世界最有力的工具，说是朋友亦不为过。但黑洞的形成是一个例外，因为如前所述，黑洞的主要特征之一乃是奇点，而奇点会让物理定律失效。由于物理定律是物理学家们的“吃饭家什”，面对物理定律失效那样的严重后果，就连对称性这位朋友也变得可以舍弃了。

因此，很多物理学家将问题归因于对称性，认为奇点是不存在的，所有貌似能产生奇点和黑洞的过程都是因为引进了对称性，只要舍弃对称性，奇点和黑洞就能被“消灭”——即不会形成。持这种观点的代表人物是苏联物理学家E.M.栗弗席兹和I.M.卡拉特尼科夫等人——姑且称之为“苏联学派”。

20世纪60年代初，“苏联学派”在舍弃对称性的情形下对广义相对论进行了深入研究，试图证明奇点不会形成。他们甚至一度以为自己完成了证明，将之写入了列夫·朗道与栗弗席兹合撰的名著《理论物理教程》中。而自施瓦西解问世以来，出于其他种种考虑，对奇点和黑洞的存在持怀疑态度的物理学家则为数更多，其中包括了爱因斯坦本人。

学数学的彭罗斯

正是在这种背景下，彭罗斯于1964年秋天（时年33岁）实质性地介入了黑洞研究。

美國物理学家基普·索恩曾经讲述过一些彭罗斯年轻时的趣事，我们分享一则作为对其人的介绍。彭罗斯父母的职业领域都跟医学有关（父亲是人类遗传学教授，母亲是医生），也因此，他们希望自己的4个孩子中起码有一人能以医学为职业。但是等到彭罗斯选择专业时，他的两个兄弟一个已选了物理（后来成为知名的统计物理学家），一个已选了国际象棋（后来获得过10次英国冠军），他妹妹还太小，他自己想选的则是数学。眼看着“起码有一人能以医学为职业”的希望就要落空，彭罗斯父母对他的专业选择进行了干预。在彭罗斯父亲的要求下，他所报考的大学对他进行了一次特殊的数学能力测试。测试总计有12道题，普通学生能做出一两道就算不错，而彭罗斯12道全做对了。这样他就从父母那里赢得了学数学的“许可证”。

作为数学系学生的彭罗斯于1957年以一项几何领域的研究获得了数学博士学位。但早在拿到学位之前，他就因为听了英国天体物理学家弗雷德·霍伊尔的广播讲座，以及与英国物理学家丹尼斯·夏马相识，而对天文和物理也产生了兴趣。霍伊尔是当时流行的宇宙模型之一“稳恒态模型”的主要支持者，夏马对之亦有所涉猎。受他们影响，彭罗斯对稳恒态模型也进行了研究。此外，跟夏马的相识还为他后来跟斯蒂芬·霍金的合作埋下了伏笔——因为霍金的博士生导师正是夏马。

稳恒态模型是一个很快就失败了的宇宙模型，于20世纪60年代被多数天文学家所放弃。在那之前，它虽然流行，却也已面临一些问题。由于稳恒态模型也依赖于对称性，因此跟奇点的情形相类似，稳恒态模型的一些支持者也将问题归因于对称性，只不过努力的方向正好相反，是希望通过舍弃对称性来“挽救”稳恒态模型。受这种希望影响，彭罗斯也在舍弃对称性的情形下对稳恒态模型进行了研究，结果却并未发现实质差别——也就是说稳恒态模型的问题无论有没有对称性都依然存在。这段经历对彭罗斯后来的黑洞研究有很大的启示，因为它显示了舍弃对称性未必能起到人们所希望的作用。既然如此，那么会不会无论对称性存在与否，奇点都依然存在呢？这种考虑使彭罗斯后来的黑洞研究与“苏联学派”截然不同。

介入黑洞

1964年秋天，彭罗斯开始实质性地介入黑洞研究。诱使他介入的是前一年——也即1963年——刚刚发现的一种奇异天体，这种很快被称为“类星体”的天体比星系还“亮”得多，线度却只有星系的百万分之一（因而看上去类似于星星——“类星体”之名由此而来），从而必然包含了高度致密的结构。

初步的分析表明，这种“类星体”最有可能的“发光机制”是一个巨型黑洞吞噬包括恒星在内的物质（物质在被吞噬之前会发射出强烈的辐射）。这个对黑洞存在构成某种支持的新发现，以及上文提到的由研究稳恒态模型得来的启示，使彭罗斯从一个与“苏联学派”相反的目标介入了黑洞研究——即试图在不依赖于对称性的情形下探究奇点形成的普遍性（而不是试图证明奇点不会形成）。

彭罗斯的研究不仅目标与“苏联学派”相反，手段也截然不同。“苏联学派”的研究偏于例证，致力的是在舍弃对称性的情形下求解广义相对论，以便寻找奇点不会形成的例子;而彭罗斯由于探究的是奇点形成的普遍性，而非具体的例子，故而并不致力于求解广义相对论。既然不求解广义相对论，那么诸如星球的形状、大小等等因素也就都不重要了。

由于广义相对论是一个高度几何化的理论，奇点的形成则是时空性质方面的一个高度几何化的问题。熟悉数学的人都知道，在几何问题中，如果形状、大小等等因素都不重要，那么剩下的就是所谓拓扑性质了。因此彭罗斯的研究大量采用了拓扑手段——他自己称之为“光线拓扑学”，这恰好也是他作为数学家——而且是以几何领域的研究获得博士学位的数学家——的强项。

灵感降临

目标虽已确定，手段虽属强项，对奇点的研究依然很是艰深，需要一定的灵感。彭罗斯后来记叙过他在这一研究中的一个重要灵感的由来。那是在1964年晚秋，他开始探究奇点问题之后不久的某一天，彭罗斯与数学物理学家艾弗·罗宾逊一边走在街上，一边讨论着问题（那问题与奇点和黑洞并无关系）。在穿越一个路口时，他们遇到红灯停了下来——并且也暂停了讨论，就在那短短的间歇里，证明奇点定理的一个重要灵感出现了。那天晚些时候，彭罗斯在办公室里细细回想自己的思路，终于将那个灵感清晰地“发掘”了出来。

借助那个灵感，经过几个月的努力，彭罗斯证明了一个重要的结果——是如今被称为“奇点定理”的一大类定理中最早的一个，以《引力坍塌和时空奇点》为题发表于1965年。简单地说，彭罗斯的奇点定理包含这样几个组成部分——也是之后所有其他奇点定理的基本结构：首先是假定物质具有一定的性质，其次是对时空本身施加一定的要求，最后是假定物质分布满足一定的条件;在这三类前提之下，彭罗斯证明了奇点的形成是普遍而必然的——尤其是，不依赖于对称性。

彭罗斯并不是最早采用拓扑手段研究时空结构的人。比他早十几年，两位苏联数学家就在这方面展开了研究，且创建了一套强大而漂亮的方法。可惜的是，这两位数学家后来一位职位高升（担任了行政领导，将越来越多的时间花在了行政事务上），另一位锒铛入狱（被打成了“反苏维埃集团”的成员），最终都停止了这一方向的研究，因此并未产生影响。彭罗斯的研究则不同，不仅得到了漂亮的结果，而且很快引起了关注。

大论战

就在彭罗斯证明奇点定理的那一年——即1965年，“第三届国际广义相对论与引力大会”在英国伦敦召开。这届会议聚集了全世界最顶尖的广义相对论专家，就连“苏联学派”的栗弗席兹和卡拉特尼科夫也跨越“冷战”鸿沟来到伦敦，报告了他们本质上是否定性的奇点研究。这次会议也因此成了彭罗斯的奇点定理与“苏联学派”的否定结果之间的首次“碰撞”。

“碰撞”虽未即刻分出胜负，但彭罗斯的研究吸引了几位在几何和拓扑上有深厚功底的年轻物理学家的兴趣，其中包括夏马的研究生霍金——他当时也在研究奇点，只不过研究的是宇宙学奇点而非黑洞奇点;以及与霍金同龄的美国理论物理学家罗伯特·杰罗奇。之后的几年间，彭罗斯、霍金、杰罗奇等人在各种不同的前提下，轮番证明了更多的奇点定理，使奇点定理及奇点和黑洞的存在获得了越来越多的认同。

这种认同终于撼动了“苏联学派”。

1969年9月，美国物理学家索恩访问了苏联。趁这个机会，栗弗席兹交给索恩一份手稿，让他秘密带到美国去发表（因为——据索恩记叙——当时苏联的一切学术手稿被自动视为秘密文件，非经冗长的解密审核不能与国际同行交流）。在那份手稿里，“苏联学派”承认了他们对奇点的否定是错误的，并表示会对《理论物理教程》作出修订。

与霍金合作

“苏联学派”的认错扫清了对奇点和黑洞存在的主要懷疑。但彭罗斯的奇点定理本身却仍有一些不足之处。

这不足之处体现在前提上。如前所述，奇点定理的前提共分三类，这其中物质具有的性质本质上只是能量密度不能为负，这在广义相对论所属的经典物理里是没有争议的;物质分布满足的条件在诸如大质量恒星的坍塌过程中是可以实现的，因而也没什么问题;但对时空本身施加的要求则显得太强。事实上，这个要求——具体地说，是要求时空中存在一个所谓的柯西超曲面——是如此之强，不仅极不可能被观测所证实，理论上也大有争议，甚至彭罗斯本人在与奇点定理几乎同时发表的另一篇论文中就包含了一个反例。

这个不足之处彭罗斯自己，以及步他后尘研究奇点定理的霍金和杰罗奇也都知道。比如霍金在自传中就曾表示，彭罗斯以及他自己的早期奇点定理所证明的有可能只是柯西超曲面的不存在，而非奇点和黑洞的存在;彭罗斯本人也在后续研究中承认，在广义相对论中假定柯西超曲面的存在是缺乏理由的。奇点定理之所以会成为一大类定理，很大程度上正是为了消除前提上的不足之处。在1965年之后的那些奇点定理中，彭罗斯、霍金、杰罗奇等人尝试变通的主要就是定理的前提。

最终，彭罗斯与霍金合作，于1970年发表了一篇题为《引力坍塌及宇宙学中的奇点》的论文，提出了如今被称为“霍金-彭罗斯奇点定理”的新“版本”。这个“版本”用更有经验基础、从而物理上更现实的前提表述了奇点定理，且同时涵盖了黑洞奇点和宇宙学奇点。

学过逻辑的人都知道，一个逻辑推理要想确保结论正确，不仅推理必须严密，前提也必须成立。完全类似的，一个描述物理世界的定理的坚实性不仅取决于推理的严密性，也有赖于前提的现实性，两者缺一不可。从这个意义上讲，“霍金-彭罗斯奇点定理”由于前提更现实，结论也就更坚实。在所有奇点定理中，若问哪一个最称得上“发现黑洞的形成是广义相对论的坚实预言”，答案非“霍金-彭罗斯奇点定理”莫属。

数学定理

值得指出的是，彭罗斯的这一黑洞研究跟获得诺贝尔物理学奖的其他研究，乃至绝大多数其他物理研究相比，有一个非常独特的地方，那就是它远比那些其他研究更接近于纯数学的定理——只不过是以广义相对论为框架而已。

这是因为，彭罗斯的这一黑洞研究只是替广义相对论作出了一个“坚实预言”——那预言无论被推翻还是证实，影响的都是广义相对论而不是彭罗斯的研究，后者的正确性只取决于它的数学推理的正确性。2020年的诺贝尔物理学奖被一些人戏称为是天文研究获得了物理学奖，但实际上，彭罗斯的这一半更可以说是数学研究获得了物理学奖。天文研究获得物理学奖早已屡见不鲜，数学研究获得物理学奖则几乎是开先河的。