高速铁路周期性桥梁频域有限元法及墩底动反力分析

曹艳梅，杨 林，李东伟

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

近年来，桥梁结构已成为高速铁路的一种重要结构形式，如我国广珠城际铁路中桥梁占比超过了90%；京沪铁路全长1 318 km，而桥梁总长达到1 060 km，约占80%[1]。因此，快速准确地得到移动列车荷载作用下桥梁结构的动力响应以及作用到承台基础顶面的动力荷载对高速铁路桥梁的设计以及桥梁周围场地振动的预测分析具有重要意义。

我国高速铁路桥梁中，85%以上采用等跨径布置的预应力混凝土简支箱梁桥[1]和板式无砟轨道结构[2]，这种连续布置的结构具有一定的周期性，且其纵向沿两端近似无限延伸，因此可采用无限周期理论对其进行分析[3]。刘维宁等[4-5]基于动力互等定理并通过Laplace变换和传递矩阵法研究了周期支承轨道对移动荷载的动力响应。Chebli等[6]利用Fourier变换将周期性结构对移动载荷的动力响应进行了研究。马龙祥[7]将无限轨道动力响应的求解问题映射于轨道结构的一个基本元内，利用无限周期结构理论在频域内推导了移动谐振荷载作用下轨道结构的动力响应。Hoang等[8]首先利用支承反力的周期性条件和Fourier变换建立了移动荷载作用下支承反力和梁位移之间的关系式，进而考虑了周期性支承为非线性的情况，并与线性支承下Timoshenko梁的动力响应进行了对比，给出了梁模型的适用情况[9]。在桥梁结构领域，沙萱[10]建立了移动荷载作用下缺陷周期性高架桥的桩-土-结构耦合模型，求解了桥梁结构的动力响应；陆建飞等[11]基于周期条件利用有限元法和Fourier变换建立了周期性高架桥频域有限元模型，分析了桥梁结构在单个移动简谐荷载作用下的动力响应，在其模型中对相邻两片主梁和桥墩接头之间的阻尼效应考虑的较少，使得中低速移动荷载作用下的计算结果有一定的误差；Shi等[12]采用周期性理论分析了板式轨道结构对桥梁竖向动力反应的影响[2]，并结合容积法分析出了高速铁路高架桥板式轨道引起的地面振动特征频率。

本文在前人研究的基础上，基于无限周期结构理论建立桥梁结构频域有限元模型，考虑高速列车运行时轮轨动力荷载的加载情况，提出先计算桥梁基本跨等效结点荷载矢量时程，再利用Fourier变换得到等效结点荷载矢量频谱的方法，进而求解了不同加载频率的移动荷载列作用下桥梁结构任意跨的动力响应和墩底的动反力。

1 周期性桥梁结构频域有限元方法

1.1 周期性桥梁结构分析模型

以高速铁路中常用的等跨径布置桥梁结构为研究对象，移动荷载作用下周期性桥梁结构力学模型示意见图1。该结构满足周期性结构的特点，其周期单元由半跨左梁、半跨右梁和桥墩三个构件以及梁-梁-墩(Beam-Beam-Pier，BBP)接头组成。该模型中由于考虑了轨道结构对相邻简支梁的连接约束作用，因此主梁和主梁之间的连接通过弹簧-阻尼元件进行模拟。本文将图1的一个周期单元定义为基本跨(长度记为L)，墩底设为固端约束，基本跨的两个端截面分别为左梁的跨中截面和右梁的跨中截面，端面分别受到相邻跨梁体对其产生的轴力N、剪力Q和弯矩M，坐标原点定义为基本跨左梁跨中截面的形心位置。设梁上作用有竖向荷载P(x,t)和水平向荷载F(x,t)，荷载的移动速度为V。

图1 移动荷载作用下周期性桥梁结构力学模型示意

取基本跨为研究对象，根据结构动力学的知识，可得主梁(或桥墩)在时域内的轴向和平面内弯曲振动方程分别为[13]

(1)

(2)

式中：u(x,t)、v(x,t)分别为梁(或墩)的轴向、垂向位移；E为梁(或墩)的弹性模量，MPa；A为梁(或墩)的截面面积，m2；I为梁(或墩)的截面惯性矩，m4；ρ为梁(或墩)的密度，kg/m3；F(x,t)和P(x,t)分别为桥梁主梁所承受的水平动荷载和竖向动荷载。

对式(1)和式(2)的两边同时做Fourier积分变换，将其从时域内转化到频域内(在物理量上方加“-”表示)，可得

(3)

(4)

式中：E*=E(1+iη)为考虑了梁(或墩)的材料损耗因子η后的复弹性模量。

1.2 建立基本跨结构的动力方程

将基本跨的梁、墩构件离散为两结点的梁单元，若构件α的单元数为E(α)，则构件α的结点个数为N(α)=E(α)+1，其中上标α=bl、p、br分别表示基本跨中的左梁、桥墩、右梁。若每个结点考虑三个自由度，基于式(3)和式(4)根据虚功原理，则可推得离散单元在频域内的动力方程[14-15]为

(5)

(6)

图2 主梁和桥墩的单元结点力正向规定

对构件的单元刚度矩阵和质量矩阵进行组装，可得到梁(或墩)整个构件在频域内的动力方程为

(7)

(8)

(9)

图3 BBP接头位置处弹簧-阻尼系统产生的内力

式中：Γ为BBP接头位置处弹簧-阻尼系统的刚度矩阵。

若用k(t)、k(s)、k(b)分别表示BBP连接弹簧-阻尼体系的抗拉、剪切、弯曲刚度，则Γ的各子矩阵的具体表达式为

(10)

(11)

将式(9)代入到式(11)中可得BBP位置处结点力向量与结点位移向量之间的关系为

(12)

式中：矩阵S为BBP接头位置截面的结点力与结点位移的关系矩阵，可由k(t)、k(s)和k(b)求出。

通过组装各个构件的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，可得基本跨整体结构的动力方程为

(13)

1.3 边界条件的引入及移动加载的实现1.3.1 墩底固结边界条件的引入

(14)

(15)

1.3.2 周期性边界条件的引入

根据无限周期结构理论可知[8]，在激振频率为ωp的简谐荷载作用下，桥梁结构基本跨左端截面和右端截面的位移和集中力向量分别为

(16)

将式(16)代入式(15)中，可得

(17)

1.3.3 频域内移动加载的实现

(18)

式中：L0为梁单元的长度；x为作用力距离该单元i结点的距离。

1.4 桥梁结构任意跨的动力响应求解

在求得桥梁结构基本跨的频谱、时程动力响应后，基于无限周期结构理论可求解第n跨的动力响应为

(19)

1.5 桥梁结构特征方程的推导

(20)

对式(20)进行整理，可得

(21)

将式(21)和式(16)进行联立，可得周期性桥梁结构自由振动的特征方程为

(22)

式中：κe为在周期性桥梁结构中传播的特征波复波数，实部表示特征波相位的改变，虚部表示特征波的衰减；V为响应的特征向量。

2 频域有限元方法的验证

为验证周期性桥梁结构频域有限元方法的正确性，采用与文献[16]相同的桥梁结构参数和荷载参数，将本文计算出的桥梁结构基本跨左端部竖向位移响应与该文献中简支梁跨中位移响应的解析解进行对比分析。

计算中，车辆参数为5节，每节车有两个轴重，每个轴重荷载为215.6 kN。荷载列考虑为常力轮轴荷载，每节车车身长度为24 m，车身前后两个轴重间距为18 m，前后两车相邻轴间距为6 m。梁体、桥墩有限元离散单元L0取0.2 m；若分析频率和采样点数分别为fs和N′，则频率间隔取为df=fs/N′，分析时间t=1/df；时域分析中，时间离散点数NT=2N′，时间步长dt=t/NT。采用Matlab编程进行计算，不同列车速度下桥梁模型数值解与文献解析解对比结果见图4。

图4 不同列车速度下桥梁模型数值解与文献解析解对比

由图4可知，本文模型的数值解与文献中解析解在时程曲线的波形和振幅上基本保持一致，说明本文建立的周期性桥梁结构频域有限元模型在求解桥梁结构动力响应是正确且有效的。

3 高速铁路周期性桥梁结构的能带特征及墩底动反力分析

3.1 模型参数

以郑万高速铁路32 m预应力混凝土简支箱梁(通桥〔2016〕2322 A)为算例，现浇实体桥墩高度为14 m，梁体和桥墩的材料与几何参数见表1。支座模型中采用铁路常用跨度简支梁球形钢支座，BBP接头处的刚度阻尼系数取值见表2。高速列车采用8辆ICE3动车编组，轮轴荷载分布示意见图5，固定轴距为2a=2.5 m，2b=14.875 m，两钩之距为l=24.775 m，静轴重为P0=160 kN。

3.2 周期性桥梁结构的能带分析

为了分析周期性桥梁结构的特性，首先根据1.5节的内容对其进行特征分析。经计算，该桥梁结构的前三阶特征波波数随频率的变化见图6。根据周期性结构特征波波数随频率的变化情况，可以观察其能带特性，波能传播的频带称为通带，即实部不为零的频带，反之称为禁带[17]。周期性结构具有一定的隔振性能，当具有一定频率范围的波动传播至周期性结构时，只有通带内的频率可以通过，而禁带内的频率将被阻隔。

图5 ICE3动车车辆轮轴荷载分布示意

表1 梁体和桥墩的材料与几何参数

表2 接头弹簧刚度和阻尼参数[6]

图6 周期性桥梁结构的前三种特征波

由图6可见，对于第一特征波，该周期性桥梁结构的通带频率范围为0～4.3、107.8～111.0、139.4～140 Hz，同时其虚部随频率的增大而不断增大，表明第一特征波的高频段通带衰减快；对于第二特征波，其通带频率范围为0～4.3、5.2～53、105.6～158.6 Hz，同时其频率虚部分布为两端小中间大，表明那些衰减较慢传播较远的通带频率分布在通带与禁带界限处；对于第三特征波，其带频率范围则有多个，即1.0～21.2、35.2～53.0、53.8～63.4、71.0～75.0、75.4～76.0、128.8～140.0 Hz。因此，若将32 m跨径的高速铁路周期性简支梁桥作为隔振结构，第一、二、三特征波共有的通带频率是1.0～4.3、139.4～140 Hz，而其他频段的波将会被阻碍。

3.3 周期性桥梁结构的响应及墩底动反力分析

利用本文的理论方法，可以计算周期性桥梁结构任意跨的动力响应及墩底产生的动反力。

以图1的基本跨为基准，取其右侧的第5、7、9跨进行桥墩墩底动反力的计算分析，该墩底的动作用力可作为场地的输入激励进行环境振动的分析。当轮轴荷载以V=300 km/h的速度移动时，桥墩墩底动反力力见图7。 由图7可见：第5、7、9跨墩底竖向反力、水平反力和反力矩时程曲线相互间隔0.77 s的时间差，且曲线幅值、走势基本一致；三跨的桥墩墩底竖向反力幅值均为9.5×102kN，墩底水平反力幅值为3 kN，墩底弯矩幅值为12 kN·m，并且墩底水平力时程、弯矩时程曲线相对墩底竖向力时程变化剧烈；第5跨墩底竖向反力频谱峰值集中在0～10 Hz，墩底水平反力频谱峰值分布在5.7、33.7、67.2、104.3、131.5、168.0、198.3 Hz左右，墩底反力矩频谱峰值分布在5.6、23.5、33.7、67.2 Hz左右，因此墩底竖向力频谱主要分布在低频段，而墩底水平反力、反力矩频谱分布在中、低频段。

准静态轮轴荷载作用下，基本跨右侧第5跨左端截面的竖向位移、弯矩及剪力的频谱及时程曲线见图8。由图8可见，第5跨左端部竖向位移、弯矩及左梁接头剪力频谱峰值集中在0～10 Hz，即梁体跨中竖向位移、弯矩及梁端剪力频谱主要分布在低频段。同时结合图6～图8的计算结果可以看出，周期性桥梁结构的能带特性主要还是应用于周期结构在隔振减振中的分析，而不能直接用来解释移动荷载作用下周期性桥梁结构本身的动力响应频谱分布特征。

图7 轮轴荷载作用下基本跨右侧第5、7、9跨桥墩的墩底动反力(V=300 km/h)

图8 移动轮轴荷载作用下基本跨右侧第5跨左端面的垂向位移、弯矩及剪力

为了能更加明确地分析激振频率对结构振动响应的影响，本文除了考虑移动的准静态轮轴荷载，还考虑了单一波长λ的轨道不平顺。轨道不平顺引起的激励力P(x,t)=P0eiωpt，其中ωp=2πV/λ为轨道不平顺引起的加载频率(λ为轨道不平顺的波长，V为列车运行速度)。以基本跨右侧第5跨的左端面(即相应的跨中截面)为例，分别计算列车运行速度为300 km/h时，ωp=6.54、20、30 rad/s三种情况下桥梁结构的竖向位移频谱图和时程曲线，计算结果见图9。

由图9可见，外激励力频率对桥梁跨中位移的影响较大。与准静态轮轴荷载作用下的动力响应进行对比可知，当不考虑轨道不平顺时，位移曲线主要是由移动的轮轴荷载引起的，截面发生整体向下的位移，而考虑了轨道不平顺后，截面位移出现了明显的周期性特征，且随激振频率的增大而增大。

列车速度为300 km/h时，不同激振频率下基本跨右侧第5跨的移动轮轴荷载引起的墩底竖向力、水平反力以及反力矩的时程曲线见图10。由图10可见，墩底竖向力、水平力和力矩随时间变化的曲线差异比较大；考虑了轨道不平顺后，墩底作用力也出现了明显的周期性特征，且随激振频率的增大而增大。因此，墩底动反力将会受到列车轴重准静态激励和轨道不平顺激励的双重影响，当考虑轨道不平顺随机激励时，这种影响将会更加明显[18]。

图9 不同激振频率下基本跨右侧第5跨左端面的垂向位移频谱和时程曲线(V=300 km/h)

图10 不同激振频率下基本跨右侧第5跨对应桥墩的墩底动反力(V=300 km/h)

4 结论

本文基于无限周期结构理论和频域有限元法，建立了高速铁路周期性桥梁结构的分析模型，提出了基本跨模型等效结点荷载矢量频谱的计算方法，并通过既有文献验证了本文模型的正确性，主要结论如下：

(1)本文所提出的周期性桥梁结构频域有限元模型及方法，不仅能够直接从频域内求解桥梁结构的动力响应以及墩底动反力，而且只需要建立基本跨的力学模型就可以求解桥梁结构任意跨的动态响应，计算方法高效且稳定，为环境振动研究领域中场地振动荷载源的求解提供了新的研究思路和计算方法。

(2)通过有限单元法求解了周期性桥梁结构的通带和禁带曲线，其第一特征波随频率增大其衰减也不断增大，第二、三特征波在通带与禁带界限频率处衰减较慢，且第一、二、三特征波在低频和高频段均有共有通带频率；其能带特性可应用于周期结构的减振隔振中。

(3)由于轨道不平顺的影响，桥梁结构截面位移和墩底动反力会出现明显的周期性特征，且动力响应随激振频率的增大而增大。

(4)作为桥墩基础—场地相互作用体系的外激励力输入时，不应该只考虑墩底的竖向作用力，还应将水平作用力和力矩作为输入同时作用到承台基础的表面，同时还要考虑由轨道不平顺引起的动态作用力。