利用最小二乘支持向量机求解潜艇内外磁场映射模型*

刘胜道，何保委，赵文春，周国华

(海军工程大学 电气工程学院， 湖北 武汉 430033)

磁隐身技术是保障潜艇生命力的重要手段，主要方法是潜艇定期前往消磁站进行消磁处理，以降低大部分固定磁场；其次，消磁系统能够有效地补偿感应磁场和部分剩余固定磁场。由于地球磁场、海浪冲击、铁磁设备运行等因素影响，潜艇的固定磁场会逐渐积累，最终超出控制指标，而目前的消磁系统不能实时监测和补偿固定磁场的变化[1-2]。为实现对潜艇生命力的最佳保护，提高消磁保障效率，应对潜艇的固定磁场进行实时跟踪和补偿。

由内部磁场来推算外部磁场是其中一种有效的监测手段，即在潜艇内部特征位置安装多个磁传感器，通过测量潜艇内部磁场来实时推算其在某一深度或高度的磁场值。文献[3-5]推导了基于虚拟磁源法的磁场推算模型，文献[6]在此基础上进行了空心圆筒实验；文献[7-8]采用了径向基神经网络算法，并提高了推算精度。上述实验中，内部磁传感器悬吊在船模内部的方式并不符合实际。从安全性出发，内部磁传感器一般布置在两层壳体之间，此时传感器距离壳体和铁磁设备非常接近，其测量值所受影响也相当大，而且固定磁场的变化具有不确定性，因此其外推方法一直制约着闭环消磁技术的发展。

在舰艇消磁勤务中，通常十数次通电即可完成消磁任务，而神经网络算法一般需要大量数据用于训练模型，传统的深度换算更不可能进行外部磁场推算。本文提出了基于最小二乘支持向量机(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)的潜艇内外磁场映射方法，采用双壳体潜艇模型作为实验平台，将内部磁传感器布置在夹层之间，以潜艇外部垂向固定磁场为研究对象，进行了仿真分析和艇模实验。

1 基于LS-SVM的磁场映射原理

1.1 内外映射法原理

磁场的变化来源于磁矩的变化[5]。对于同一个磁源来说，测量点的磁场变化量与磁矩变化量的关系式为：

ΔH=C·ΔM

(1)

式中：ΔH是磁场变化量，C是测量点磁场和磁源的关系矩阵，ΔM是磁矩变化量。

对于同一艘潜艇，可以分别得到其内外磁场与磁源的关系。

(2)

其中：ΔHn和ΔHw分别是潜艇内外磁场变化量，Cn和Cw分别是内外磁场和磁源的关系矩阵，[ΔM1ΔM2…ΔMk]是每一个磁矩的变化量。

式(2)最终可化为：

ΔHw=K·ΔHn

(3)

式中，K是由内到外的磁场映射矩阵。测量点一旦固定，K即为常数。这表明只需得到多组潜艇内外磁场值用于求解K，即可通过内部磁场直接推算出外部磁场。

1.2 LS-SVM原理

潜艇内部结构复杂，铁磁设备繁多，固定磁场在航行过程中不断积累和变化，具有不确定性，直接求解K十分困难。

最小二乘支持向量机是基于支持向量机的改进算法，它区别于神经网络中依赖样本数量的经验风险最小化原理，采用了结构风险最小化准则[9]，不单纯追求损失函数最小化，有效避免了在小样本条件下的过拟合现象。

LS-SVM用于回归预测的基本思想是将样本映射至高维空间，通过构建决策函数，把非线性问题转化为线性问题。LS-SVM能够解决具有小样本、特征点多、局部变化等特点的分类与回归问题，非常适用于解决固定磁场推算这类应用。其基本原理如下：

给定样本D={(xi,yi),i=1,2,…,k,xi∈Rm,yi∈Rn}，xi和yi分别为输入和输出矩阵，通过映射函数φ(x)将样本映射至高维空间。

y=ωΤφ(x)+b

(4)

式中：ω为权值矩阵，b为偏置量。

基于结构风险最小化原理，该模型需要解决以下规划问题：

(5)

yi=ωΤφ(xi)+b+ei,i=1,2,…,k

(6)

其中：J为惩罚函数，e为输出误差，γ为惩罚参数。

此时对式(5)和式(6)引入拉格朗日函数，则有：

(7)

式中，∂i为拉格朗日系数。

分别对参数ω、b、e、∂求偏导，根据KKT条件[10]消除变量ω和e，式(4)的最终回归函数为：

(8)

1.3 交叉验证法优化LS-SVM参数

LS-SVM模型参数的选取对训练效果影响巨大，其中最主要的是样本惩罚参数γ和核函数参数σ，常用的寻优方法有交叉验证法、粒子群算法、网格搜索法和遗传算法[11]等。采用网格搜索法结合10折交叉验证法来寻找最佳参数，优化映射模型，既能保证训练精度也能满足训练效率。交叉验证法基本流程如下：

步骤1：不重复抽样将原始数据随机分成10份。

步骤2：每一次挑选其中1份作为测试集，剩余9份作为训练集。

步骤3：多次重复步骤2，使得每个子集都有一次机会作为测试集。

步骤4：每次训练得到一个模型，用这个模型在测试集上测试，保存模型的参数指标。

步骤5：计算10组测试结果的误差平均值作为该模型的最终性能指标。

2 仿真分析

2.1 建模准备

仿真分析采用双壳体潜艇简易模型，其参数见表1。

表1 潜艇模型参数

表1中，艇模的磁导率为200，内部含有若干小立方体壳模拟铁磁设备。27个内部磁传感器环绕内壳沿艇模纵向分布，15个外部磁传感器沿龙骨正下方放置于标准测量平面，如图1所示。

图1 艇模内部示意图Fig.1 Sketch map of submarine model

将艇模剖分成若干单元，每个单元的磁化强度可认为是常数。由积分方程法[12]反演得到磁矩，通过改变固定磁矩大小，同时得到若干组内外固定磁场用于后续的数值计算。值得注意的是，任何物体的磁矩都不是独立的，相邻的磁矩间存在连续性，即单个磁矩不能发生过强的突变。因此，在给定磁矩变化量时，相邻磁矩的变化量必定是连续变化的。积分方程法流程如图2所示。

图2 积分方程法流程图Fig.2 Diagram of integral equation method

2.2 仿真结果

仿真共获取100组内外磁场值，将第一组作为测试样本，其余组作为训练样本，研究在样本数目不同的情况下，对外部磁场推算结果的影响。定义误差计算公式为：

(9)

式中：ΔH′w为推算值，ΔHw为仿真值，n为外部测量点数。

将外部垂向磁场仿真值作为标准值,分别计算LS-SVM算法和径向基神经网络(Radius Basis Function Neural Network, RBFNN)算法推算值的误差，结果见表2。

表2 训练样本不同时LS-SVM和RBFNN推算误差比较

由表2可知，随着训练样本的减少，LS-SVM算法的误差相差不大，而RBFNN算法因为失去了部分有效数据，误差有所增大。

因此，将每一组数据作为测试样本，其余99组作为训练样本，得到每一组测试样本所对应的外部磁场推算值，推算误差如图3所示。

图3 仿真分析下LS-SVM和RBFNN推算误差比较Fig.3 Extrapolation error comparison of LS-SVM and RBFNN of simulated analysis

最小二乘支持向量机的推算精度明显优于径向基神经网络算法，其误差一般在4%以下，最大误差为10.02%。由于固定磁场变化复杂，训练样本过少，造成RBFNN推算结果误差很大甚至失真。相比之下，LS-SVM能够降低因上述问题所带来的误差。

3 艇模实验

3.1 实验设计

在潜艇的两层壳体之间布置27个三分量磁传感器作为内部测量点，潜艇模型外壳封装完毕后，将其放在测量平台上，在龙骨正下方标准测量深度平面放置15个磁传感器作为外部测量点。实验过程如下：

步骤1：测量艇模原始磁场。

步骤2：随机改变纵向、横向或垂向补偿线圈电流，同时给工作线圈施加交变衰减的电流，从而改变艇模的固定磁场。

步骤3：每次通电完毕后，断开所有电流，记录此时的内外磁场值，再进行下一次通电。

步骤4：将所有磁场值汇总处理。

3.2 实验结果

实验共获取100组磁场值，取其中1组作为测试样本，其余99组作为训练样本，得到每一组测试样本所对应的外部磁场推算值。将外部垂向磁场测量值作为标准值，分别计算LS-SVM算法和RBFNN算法推算值的误差，结果如图4所示。

图4 实验分析下LS-SVM与RBFNN推算误差比较Fig.4 Extrapolation error comparison of LS-SVM and RBFNN of experimental analysis

在艇模实验中，最小二乘支持向量机的推算精度同样明显优于径向基神经网络算法，其误差一般在 6%以下，最大误差为12.76%。

3.3 误差分析

仿真和实验结果都证明了基于LS-SVM的内外映射法能够准确得到潜艇外部固定磁场的变化量。其中实验结果产生误差的原因主要有以下两个方面：

1)实验过程中，磁传感器受外界环境干扰而发生变化；

2)传感器存在测量误差以及算法本身的计算误差。

4 结论

本文采用基于LS-SVM的内外磁场映射方法来推算潜艇外部垂向固定磁场，仿真和实验结果吻合较好，在误差范围内能够满足技术要求。与RBFNN算法相比，LS-SVM有着更好的泛化能力和推算精度，且不需要大量的样本用于训练模型，符合舰艇消磁勤务工作实际，具有较强的实用性。下一步研究考虑在该方法的基础上，对内部磁传感器的安装位置及数目进行优化，不断提高推算精度。