洛必达法则在高中数学导数教学中的应用

李欣

（重庆市江津第五中学校，重庆 402260）

在高中数学教学中，很多数学题目不仅侧重考察学生的逻辑思维能力，更关注学生的解题能力。在高考数学试卷中，单选、判断等题目难度不大，而大题中的最后一问则是区分优等生和普通学生的关键，这种题目较为复杂，需要学生正确掌握解答方法，如果题目为求导问题，利用洛必达法则可以提升解答效率，有利于取得良好成绩。

一、不等式恒成立问题

如果在等式或者不等式中存在两个变量，而一个变量范围已知、另一个变量范围未知，并且可以借助恒等变形把两个变量分别置于不等号或者等号两边，就可以把恒成立问题转化成为函数最值问题求解[1]。

二、洛必达法则相关内容

洛必达法则是在特定条件下借助分子分母求导再求极限，进而确定未定式极限值的方法，普遍认为该法则由法国数学家洛必达于1969年提出，不过该法则创造者为瑞士数学家约翰.伯努利，因此该法则也被称作伯努利法则。具体内容为当分子分母都无穷小或无穷大时，两个函数的比极限可能存在也可能不存在，即便极限存在也不可利用商的极限等于极限的商这一法则，所以这种极限称为未定式，如果当x→∞或者x→a，两个函数f（x）和F（x）都会趋于零或者无穷大，则极限被称为未定式。

洛必达法则的定义为在一定条件下，通过分子和分母分别求导再求极限值，以此确定未定值的方法。定理为：①设x→0时，函数f（x）和F（x）都会趋于零；②在a点的某个邻域内 f'（x）和F'（x）都存在并且F'（x）不为0。

在利用洛必达法则的过程中，需要注意如下问题：首先分子分母都必须是无穷小，并且分母和分子都可导；其次分母导数不可为0，导数之比的极限存在[2]。

三、传统方法和洛必达法则求导情况

由于高中数学课程安排较为密集，学时有限，所以洛必达法则没有被安排到高中数学课本当中，而是以课外阅读的形式呈现在课堂当中，部分教师只会简单介绍，不过该法则在高中求极限值的过程中会发挥出重要作用，高中数学试卷中经常会发现洛必达法则在求导中得到利用，比如求解未知数的取值范围就需要先通过不等式求解参数变化范围。在高中数学知识学习中，洛必达法则作为拓展知识，如果能对其有效了解，可以显著提升解答效率。

如题：已知函数f（x）=ln（x+1），曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=g（x）。①证明对任意 x∈（-∞，+∞）时，f(x)≤g（x）恒成立，②当x≥0时，f（x）≤ax/（1+x）恒成立，求解实数a的取值范围。

方法1为传统方法，具体说来：当x≥0时，f（x）≤x+ax/（1+x）恒成立，由于x≥0，所以1+x＞0，不等式去分母得到（1+x）f（x）≤x2+x+ax，所以（1+x）In（1+x）≤x2+x+ax。

如果G（x）=（1+x）ln（1+x）-x（1+x）-ax，设x+1=t，所以t≥1，那么G（t）=tlnt-（t-1）t-a(t-1),G'(t)=lnt-2t+2-a。

一种情况是，当a≥0时，G'（t）≤0，G（t）在t≥1上为减函数，所以G（t）≤G（1）=0，即G（x）≤0。另一种情况是，当a＜0时，G'（t）=lnt-2t＋2-a=0，可解得t=to（t＞1），当to＞t＞1时，G（t）是增函数，所以G（t）＞G（1）=0和已知存在矛盾，最终得出a＜0不满足G(x)≤0。

综合以上条件得出a取值范围为[0，＋∞）。

方法2为洛必达法则，具体说来：当x≥0时，f（x）≤x＋ax/（1+x）恒成立，即ln（x＋1）≤x+x＋ax/（1+x）在x≥0成立。

一种情况是，当x=0时，式子成立，此时a∈R。另一种情况是，当＞0时，a≥ln（x＋1）/x（x+1）-1-x恒成立，即a大于等于G（x）=ln（x＋1）/x+ln（x+1）-1-x的最大值，G'（x）=x-（x+1）ln（x＋1）-x2/x2（x+1）。

设H（x）=x-（x＋1）ln（x＋1）-x3，H'（x）=-3x2-ln （x＋1）。因为x＞0，所以 H'（x）＜0，判定 H（x）为减函数，所以H（x）≤H（0）=0。得到G'（x）≤0，也就是G（x）在 x＞0是减函数。

综合以上条件得出a取值范围为[0，＋∞）。

从以上例题的两种解答方法可以看出传统方式。需要学生全面分析，灵活掌握数学知识。要求学生具有良好的逻辑性和条理性，一旦出现疏忽，将导致解答不全面，而洛必达法则这种方式可以有效解决学生解答过程中出现的问题，有利于学生具备清晰的解答思路。通过构建函数最小值的方法确定参数范围，在解答的过程中尽管需要学生设置几次函数，不过整体解答思路较为清晰。

结束语

综上所述，随着新课改的不断推进，对高中数学教学也提出了更高的要求。为了学生在高考中取得佳绩，教师需要适当讲解洛必达法则，以此帮助学生更加全面的掌握数学知识，而洛必达法则又与大学的数学知识存在密切关系，如果学生掌握该方法，同样可以为今后的数学学习打下良好基础。