等周长屈服准则求解三维锻压力

李寅雪，章顺虎，邓磊

（苏州大学 沙钢钢铁学院，江苏 苏州 215021）

近些年来金属锻压成形相关的研究主要集中于FEM[1—4]和 BET[5]等数值模拟[6]。遗憾的是，近二十年来鲜有关于含外端影响的三维锻压力的解析报道。由于求解锻压力依赖的Mises 屈服准则是非线性的[7—8]，因而获得相应力学参数解析解十分困难，因此，如何用线性屈服准则代替非线性的Mises 屈服准则，进而求得锻压力的解析解是一个值得研究的方向。

Tresca[9]首先提出了一个线性屈服准则，但该屈服准则只考虑了两个主应力的影响，通常给出力学参数的下限解。Hill[10]在1950 年通过对Mises 屈服准则进行逼近，提出了一个线性屈服准则，该屈服准则与Mises 屈服准则的相对误差仅为8%。20 世纪，Yu[11]，Huang 和Zeng[12]等提出了双剪应力屈服准则。该准则通常给出力学参数的上限解。最近，章顺虎等[13]开发了一个高度逼近Mises 屈服准则的线性屈服准则，称为EP 屈服准则（等周长屈服准则），该准则为求解复杂的成形力学问题创建了良好条件。

为解决Mises 准则难以获得三维锻压力解析解的问题，文中将采用EP 屈服准则对三维锻压过程进行分析，推导锻压力解析解，并讨论锻压过程塑性变形规律，包括锻压工件初始宽厚比b0/h0、初始长厚比l0/h0、摩擦因数m以及宽展与压下的比值a对应力状态系数nσ的影响。

1 传统屈服准则及比塑性功率

Tresca 屈服准则[9,14]（1864）及其比塑性功率数学表达式为：

式中：σs为材料的屈服应力；为比塑性功率；为应变速率分量。

Mises 屈服准则[7]（1913）及其比塑性功率数学表达式为：

俞茂宏1983 年提出的TSS（双剪应力）屈服准则及其比塑性功率为[9—10]：

图1 π 平面上的各种屈服轨迹Fig.1 Various yield loci on the π-plane

上述屈服准则在π 平面的屈服轨迹如图1 所示，Mises 屈服准则的轨迹是一个圆，Tresca 屈服准则的轨迹是Mises 圆的内接正六边形，而TSS 屈服准则的轨迹则是Mises 圆的外接正六边形。

一般来说，为了建立总功率泛函的表达式，必须对进行积分，而通常很难得到非线性被积函数的解析解。式（3）在金属成形能量分析中的一些应用表明[15—16]，使用式（3）得到的计算结果通常比使用式（2）得到的结果要大。

2 EP 屈服准则及其比塑性功率

如图1 和图2 所示，Tresca 屈服轨迹上的偏应力矢量沿着直线B'F由OB'向OF移动，TSS 屈服轨迹上的偏应力矢量沿着直线B'B由OB'向OB移动，而在Mises 屈服轨迹上的偏应力矢量则是沿着弧线B'D由OB'向OD移动。EP 屈服准则的轨迹满足以下条件：在直角三角形FB'B中B'E是一条直线，并且与圆弧B'D相交；直线B'E的长度与Mises 弧长B'D相等。

图2 EP 屈服准则的屈服轨迹在π 平面上的几何关系Fig.2 Geometrical relationship of EP yield criterion’s yield loci on the π-plane

根据上述条件，可以得到EP 屈服准则的数学表达式为[13]：

与式（3）的比塑性功率相比，其相对误差为：

式（6）很好解释了使用TSS 屈服准则得到的计算结果偏大的原因。同时，通过对比式（2）和式（6）可见，式（6）的比塑性功率因其具备线性的特点而容易进行积分求解，因而为变形功率解析式的获得提供了条件。

3 锻压速度场

两个平行压头之间三维锻压如图3 所示。压头视作刚体，工件为刚塑性材料。考虑到锻压变形区的对称性，以下只对变形区的1/8 进行分析。

图3 三维锻压的变形区示意图Fig.3 Deformation zone of three-dimensional forging

假设：

式中：a为宽展与压下的比值。

式（8）两边同除以时间增量Δt，得到：

设速度分量vz随z轴线性变化，则有：

设图3 中自由边界为抛物线形状，宽度b表示为：

式中：Δb1=b1−b0为锻压前后轧件的宽度差值。

式（11）两侧除以Δt可以表示出轧件宽度的变化函数，即：

让vy随y坐标线性变化，得到

可以利用式（16）的值计算应变速率和速度场各分量的比值。应变率张量的特征方程只有当下面的行列式的值为零时才有唯一解，即：

3 总功率和锻压力

3.1 内部变形功率

将式（18）代入式（6），并积分，可得：

式中：I1，I2，I3分别为应变率向量内积的逐项积分。将式（16）的值代入以下分数的分母，积分得到：

3.2 摩擦功率

3.3 剪切功率

在变形区与工件外端交界面上，速度不连续量和和剪切功率分别为：

3.4 总功率和锻压力

令外功率与上界总功率相等，则有：

将式（20，23—24）代入式（25）后重新整理可得：

式（26）表明，应力状态系数nσ是l/h0，b0/h0，m和伪独立参数a的函数。

考虑到对称性，因此总压力表示为：

摩擦因数m的值可以用式（28）的Tarnovskii方程来计算：

式中：f为库伦摩擦因数。

从式（8）易知，a的值表示为：

式中：Δb1=b1−b0为最大宽度点上所测得的宽展，而ε=Δh/h0为该道次的压下率。

4 实验验证

在东北大学轧制技术与连轧自动化国家重点实验室使用200 kN 的万能材料试验机进行了锻压试验。以不同的压头和压下量为变量对3 组纯铅试样进行压缩。压头速度为15～30 mm/min。样本编号及其试验数据如表1 所示，Pm为实测总压。

根据式（29）得到的a值和根据式（26）得到的计算结果如表2 所示。

表1 样品尺寸及测试数据Tab.1 Sample size and tested data

表2 通过测量a 值（m=0.3）得到的计算结果Tab.2 Calculated results by measured a (m=0.3)

以压力测试的第二道次为例，具体计算过程如下：根据表1 可得，ε=(9.85−8.745)/9.85=11.22%，l/h0=1.5228，a=0.5144，f=0.23。根据式（28）可得m=0.3。将第二道次所有的数据代入式（26—27）易得nσ=1.3074，P=32.59 kN，它与Pm的相对误差为Δ=(32.59−30)/30=8.6%。在以上的计算中，通过t=2Δh/v=4.42 s，可得ε˙=0.112/t=0.025 s−1，ε=11.2%，从而查得材料的屈服应力为σs=20.26 MPa[17]。其他试样的计算过程同上。

从表2 可以看出，计算得到的总压力值P大于测量的压力值Pm，并且它们之间的相对误差在8.6%～10.5%之间，小于工程允许误差15%。可见，基于EP 屈服准则和所提出的速度场得到的理论锻压力是可行的。

图4 为初始宽厚比b0/h0=3 时不同轧件长厚比l/h0和摩擦因数m对应力状态系数nσ的影响。nσ随着m的增加而增加，随着l/h0先减小后增加，并且在给定的m时都能获得最小值。

图5 为l/h0=3 时不同初始轧件宽厚比b0/h0和摩擦因数m对应力状态系数nσ的影响。可见，nσ均随着m和b0/h0的增大而增大。

图4 不同m 值下l/h0 对nσ 的影响Fig.4 Effects of m and l/h0 on nσ

图5 不同m 下b0/h0 对nσ 的影响Fig.5 Effects of m and b0/h0 on nσ

图6 为b0/h0=3 时不同轧件长厚比l/h0和摩擦因数m对a的影响。可见，a随着l/h0的增加而增加；随着m的增加，a的值不断减小，然而，随着l/h0的增大，不同m时a值之间的差值逐渐减小。当l/h0≥2.5 时，所有曲线的a值均相等，此时，m对a的影响可以忽略不计。

图6 不同m 下l/h0 对a 的影响Fig.6 Effects of m and l/h0 on a

图7 为l/h0=3 时不同轧件宽厚比b0/h0和摩擦因数m对a的影响。随着b0/h0值的增加，a值逐渐减小。当b0/h0≥1.5 时，m对a值的影响变大。

图7 m 和b0/h0 对a 的影响Fig.7 Effects of m and b0/h0 on a

5 结论

1）基于EP 屈服准则和文中所构建的速度场，获得了应力状态系数nσ的解析解，它是关于初始长厚比l/h0、初始宽厚比b0/h0、摩擦因数m以及宽展-压下比值a的函数。

2）对比锻压力的理论值和实测值后发现，理论值比实测值高 8.6%～10.5%，仍小于工程允许误差15%，从而表明，基于EP 屈服准则和所提出的速度场得到的理论锻压力是可行的。

3）nσ随着m的增加而增加，随着l/h0的增加先减小再增加，并且在m给定时获得最小值；a随着l/h0的增大或者b0/h0的减小而增大，并且当l/h0≥2.5 或者b0/h0≤1.5 的时候，无论m为何值，a的值都趋于相等。