连续介质渗流区域非线性问题数值求解分析

潘广良

(方正县河湖运行保障中心，黑龙江 方正 150800)

0 前 言

土石坝的非线性渗流求解在于渗流自由面和溢出面的确定。文章基于移动网格法、单元渗透矩阵调整法和复合单元高斯点法，运用Microsoft Developer Studio可视化集成开发二维无压渗流分析有限元程序，结合具体算例求解连续介质渗流区域的非线性问题，成果对渗流区域非线性问题研究具有重要意义。

1 绪 论

中国目前的岩土体水力学研究，为实际应用和方便处理考虑，基本选用线性数学模型。线性数学模型通常将渗流运动和物体状态简化处理，因此助推岩土体水力学近些年快速发展[1]。但实际渗流由多种因素复合影响而成，绝大多数的渗流分析均呈非线性，故材料的非线性问题在岩土体水力学研究中为基本问题，具有十分重要的研究价值。

2 渗流基本原理和数学模型

连续介质渗流区域非线性问题以二维非稳定流的饱和渗流模型为例，4种表达方程式[2]如下：

1)Boussinesq方程：在自由面进行流量补给，并将缓变形式简化为水平向渗流，在区域地下水活动研究中应用广泛。

(1)

2)Laplace方程：自由面既可进行流量补给，同时为下降流速的限值条件，表达式为：

(2)

3)扩散方程：自由面不进行流量补给，该方程仅针对自由面微弱变化的均质土坝，表达式为：

(3)

4)固结方程：因考虑到土体具有压缩性，常应用于粘土筑坝的固结，表达式为：

(4)

3 算例分析

3.1 移动网格法

连续介质渗流的二维有限元模型分为2种不同单元进行划分，三角形单元和8节点四边形等参单元[3]。算例为一均质土坝，坝面宽6m，上、下游水位分别为4m和3m，计算模型示意图，见图1。

图1 计算模型示意图

边界条件：渗流边界BC无补给，AD为封闭边界。

模型进行三角形单元划分时，共划分18个单元，16个结点；八节点四边形单元划分时，共划分为9个单元，40个结点，三角形单元网格剖分，见图2；八结点四边形等参元网格剖分，见图3。

图2 三角形单元网格剖分 图3 八结点四边形等参元网格剖分

通过程序模拟计算，得到2不同单元的渗流自由面结点水头计算结果值，区域渗流自由面结点水头对比值，见表1。

表1 区域渗流自由面结点水头对比值

3.2 单元渗透矩阵调整法[4]

该法的无压渗流分析单元划分原理同基本网格法。算例为一均质土坝，高8m，宽4m，上、下游水位6.0m和1m，该均质土坝模型，见图4。

图4 均质土坝计算模型

边界条件：BC边界无流量补给，流量为零，CD边界流量可能溢出，AE为封闭边界。本算例先选用四边形单元剖分模型，共剖分24个单元，93个结点。四边形单元网格剖分，见图5。

图5 四边形单元网格剖分

为保证迭代的稳定性和结果的精确性，进行5次迭代后计算得出溢出点水头值5.68m，渗流自由面各节点水头统计值，见表2。

表2 渗流自由面结点水头统计值

由结果可得，在相同节点不同数解值有较大差距数，故在四边形单元基础上再次进行三角形网格加密，共划分单元48个，结点35个，三角形单元网格剖分，见图6。

图6 三角形单元网格剖分

本次求解进行10次迭代后得到渗流面溢出点水头值为3.23m，模型的渗流自由面和节点水头结果见图7和图8，渗流自由面各节点水头统计值，见表3。

图7 计算模型渗流自由面

图8 节点水头等值线图

表3 渗流自由面结点水头统计值

由上述结果可得，网格加密的渗流求解更加贴合实际，为更好证明自编程序的合理性，重新运用四边形单元加密划分模型，本次单元划分单元150个，节点501个，模型单元划分结果见图9。迭代9次后得到自由面水头值为3.78m，计算模型渗流自由面，见图10；节点水头等值线图，见图11；渗流自由面结点水头值，见表4。

表4 渗流自由面结点水头值

图10 计算模型渗流自由面

图11 节点水头等值线图

图9 模型四边形单元网格剖分

由表4可知，单元进行加密后的2解相差减少，对比上述方法的计算结果，本法更加吻合实际。

3.3 复核单元高斯点法[5]

对上算例进行复核单元高斯点法求解，得到计算结果如下：渗流自由面节点水头统计值见表5；对比不同方法的代表水头结果见表6，经迭代9次后得到自由面水头值为3.35m。不同方法得到的渗流自由面上典型点水头值及误差见，计算模型渗流自由面和节点水头计算值见图12和图13。

表5 渗流自由面结点水头值

表6 渗流自由面代表节点水头计算统计表

图12 计算模型渗流自由面

图13 节点水头等值线图

通过上述结果表明，复合单元高斯点求得的渗流面节点位置更贴合实际，误差仅为5.2%，远<单元渗透矩阵调整法，二者均能体现渗流区域震荡，在实际应用中均有自身的利用优势，但在同样的前提条件下，复合单元高斯点具有更适宜的合理性应用。

4 结 论

文章在连续介质渗流区域非线性问题求解的基本原理基础上，建立不同算例进行建模，采用3种不同方法有限元计算对应算例的渗流区非线性问题，得出不同模型的渗流自由面和代表节点水头值，认为在相同条件下，复合单元高斯点法更能贴合实际应用，同时验证了自编程序的合理性和准确性。