一极板带有垂直导体脊的平行板电容器

殷 勇，王福谦

（西南交通大学希望学院基础部，成都 610400）

0 引言

有关文献［1-10］分别讨论了极板上带有直缝隙、半圆柱凸起及球缺形突出疤等几种平行板电容器的电场及其电容，并对非平行板电容器的电场和电容进行了研究。但对一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的研究，相关文献还未见报道。本文拟利用保角变换分析一极板带有垂直导体脊的平行板电容器内电场的分布规律，给出电势和场强分布函数，并讨论了导体脊对该电容器电容量和耐压能力的影响。

1 电容器极板横截面的保角变换

设平行板电容器的一极板上带有垂导体直脊，导体脊沿着平行于该电容器极板一边缘方向伸展，图1为其横截面，将该平面取为复平面z。

图1 一极板带有垂直导体脊的平行板电容器横截面

在z平面上，带有垂直导体脊的电容器极板的横截面位于x轴上，导体脊的位置为（a，0），高度为h，另一极板为平板，极板间距为1。忽略边缘效应，该电容器内部的电场可视为二维场。为方便研究一极板带垂直导体脊的平行板电容器内部的电场分布，可首先通过保角变换［11］：

将原来一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的横截面，映射为ζ平面上极板间距为1的平行板电容器的横截面，如图2 所示。

图2 变换后平行板电容器的横截面

2 电场分布及其数值模拟

2.1 电场分布

对于变换后的平行板电容器，其内部的电场为均匀场，即在ζ平面上的电场为均匀场，故电容器内部的电势为

式中：E0为平行板电容器（不带垂直导体脊的平行板电容器）内均匀电场的电场强度。

由式（1），有：

式（4）为一极板带有垂直导体脊的平行板电容器内电场的电势分布解析式。由式（4）可得一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的电场的复电势为：

由复势与场强的关系，可得一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的场强的复数形式为：

2.2 场分布的数值模拟

为给出一极板带有垂直导体脊的平行板电容器电场分布的直观图像，以验证本文所得结论的正确性，下面用数学软件Matlab 对该电场分布进行数值模拟［12-13］，其电场线和等势线的分布如图3～6 所示。由图3～5 可见，由于电容器极板上垂直导体脊的出现，改变了原来的场分布，使正常的平行板电容器的平行直线族电场线发生化变，而成为程度不同地脱离直线形状的场线分布，等势线（面）也产生弯曲，在导体脊附近明显地成为曲线（面）。这说明，由于电容器极板上导体脊的出现，电场的分布发生了变化，变为非均匀电场，并且导体脊的高度h越大，对场的影响程度越大。当垂直导体脊消失时，电容器内的电场分布又回到原态（见图6）。由图3～6 可以看出，每一条电场线均垂直于等势线（面）及导体表面，这一分布图线科学合理，与预期结果一致。

图3 一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的电场

图4 一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的电场

图5 一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的电场

图6 一极板带有垂直导体脊的平行板电容器的电场

3 导体脊对平行板电容器耐压能力的影响

由图3-5 中的电场线分布情况可以看出，在一极板带有垂直导体脊的平行板电容器内，导体脊顶部的场强最大，明显地大于远离脊处的近似均匀电场的场强。图1 中电容器下极板导体脊顶部的坐标为x ＝a、y ＝h，为计算简便计，取x ＝a ＝0，将此坐标值代入式（6），则得该处的场强复数形式为：

因电容器极板为‘无限大’，电容器下极板低脊位置总可以看作是位于其下极板的中点的，故取a ＝0 是合理的。由式（6）可得此电容器内导体脊顶部的场强Em与正常平行板电容器的场强E0的量值之比为

表1 |Em| ／E0 及Um／Um0随h的变化情况

由表1 可见，即使h很小，导体脊顶部的场强也大于原来的均匀场。这说明，极板上垂直导体脊的出现，将使平行板电容器的耐压能力降低，电容器的性能受到影响。

4 垂直导体脊对平行板电容器电容量的影响

设一极板带有导体脊平行板电容器的极板的长和宽分别为L1和L2，极板间距为d ＝1，且满足d2＜＜L1×L2，因为如图1 所示的下极板接地，故对式（4）取x＝0、y ＝1，可得该电容器两极板间的电压为

电容器的带电量可通过对上极板（平板）上的电荷面密度的积分得到

对式（10）利用Matlab 软件作数值积分［14-16］求出极板带电量，就可得知在极板面积和间距一定的情况下，极板上导体脊及其位置对平行板电容器的电容量的影响，相关数据见表2。

由表2 可见，由于一极板上垂直导体低脊的出现，平行板电容器的电容量将增大，且导体脊越高，电容量的增加量越大；且电容器的电容量还与导体脊在极板上的位置有关，导体脊愈靠近极板边缘，其对电容量的影响越小；若导体脊高度很小时，即当h→0 时，则C→，回归到正常平行板电容器的情形，为预期可结果。

表2 C／C0 随h及a的变化情况

5 结语

计算机数值模拟研究已成为继实验研究和理论分析之外的第3 种研究手段，本文将理论分析与计算机数值模拟相结合，通过保角变换讨论了一极板带有垂直导体脊的平行板电容器内电场的分布规律，利用Matlab软件实现了场分布的可视化，并分析了其耐压能力和电容量随导体脊高度的变化情况。本文为边界复杂的静电场边值问题的求解，提供了一种思路和方法，可供异形电容器的性能的分析借鉴和参考。