“一题多变与一题多解”在培养学生思维能力中的应用

林海明

摘  要：数学教学注重培养学生的思维能力，而“一题多变与一题多解”就能提升学生的思维能力，特别是散发式的思维能力。培养思维能力，既是培养学生的理解能力，又是提高学生的分析能力，这对学生的帮助非常大。因此，本文将从“一题多变与一题多解的数学价值”“培养开放式思维力”“提高分析能力”三个角度对“一题多变与一题多解”在培养学生思维能力中的应用做简单的探讨。

关键词：一题多变;一题多解;思维能力

【中图分类号】G633.6    【文献标识码】A       【文章编号】1005-8877（2020）30-0187-02

The application of "one question changing and one problem multi solution" in cultivating students' thinking ability

LIN Haiming  （Fujian Zhangpu No.1 Middle School，China）

【Abstract】Mathematics teaching focuses on the cultivation of students' thinking ability，and "one problem changing and one problem solving more" can improve students' thinking ability，especially the sporadic thinking ability. The cultivation of thinking ability is not only to cultivate students' understanding ability，but also to improve their analytical ability，which is of great help to students. Therefore，this paper will make a simple discussion on the application of "one question changing and one problem solving multiple solutions" in the cultivation of students' thinking ability from three aspects of "the mathematical value of one problem changing and one problem solving multiple solutions"，"cultivating open thinking ability" and "improving analysis ability".

【Keywords】One problem is changeable;One problem has many solutions;Thinking ability

数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。也许对大部分学生而言，数学这门学科是一道难题。因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。高中数学教师在讲解例题时不仅要给学生讲解解题技巧，还要引导学生如何抓住题目的主干和关键词，如何找到解题思路，这也是培養学生数学思维力的一部分。

1.“一题多解”以及“一题多变”的数学价值

“一题多解”指的是从多个角度去分析一个数学题，然后找到题干，多种方法去解决数学题目。这种方法可以帮助学生拓展数学解题思路，增强数学知识之间的联系，引导学生运用多种方式、多种方法解决数学题目。高中数学教师在教学过程中，要运用“一题多解”的方式进行教学，培养学生在解决数学问题时要从多个角度去思考，从多个角度去解决数学问题。教师引导学生从多方面寻找思路，同时找到每种题目中的联系条件。展开多种方式对数学题目进行表达，只有这样的方法才能提升学生的逻辑思维能力，具备这种思维也便于学生具备科学的数学思维，然后将此应用到更加广泛的数学解题过程中，这也是对数学能力的一种提升，也便于学生更好地解题。

“一题多变”指的是在数学解题练习过程中，将原来数学题目中的已知条件进行变换，或者已知条件不变，将问题进行改变。或者也可能是已知条件不变，让学生自行添加条件解决问题，这也是解决高中立体几何问题的常用方式。采用多变的方式进行教学，主要是对数学题目或者数学例题进行多种方式的改变。让学生从不同方面、不同情形下进行考虑。这也是高中数学教学反思的一种方式，它要求学生从出题者的角度去考虑这个数学问题。这种“一题多变”的解题方式能够很好的培养学生观察问题、归纳类比等多种数学思维力，还可以让学生能够对有些问题进行更加深入的思考，让他们能够针对那些难题形成更好的解题思维，以便能够更好地应用到实际解题过程中。

2.“一题多变与一题多解”在培养学生开放式思维能力

一题多解，解法优化;一题多变，变中求同;多题一法，同模同法。这是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法，对各个数学知识模块进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生数学思维能力的培养。在数学课堂中，教师可以适当地通过对同一问题的不同表述方法，培养学生分析和解决实际数学问题的能力。本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的结论，并介绍对问题变式的改编方法的思考。数学教学离不开数学解题，学生在提高数学成绩过程中常常使用“题海战术”，这种方法其实是非常不科学的。真正提高数学成绩的方法应该是做到“少而精”，少做题，找到题目的精髓。学生在解决一个问题时要做到举一反三，教师要培养学生采用开放式的思维模式进行做题。

例如，高中数学教师在讲解三角函数时，可以给学生渗透一题多解的方式：若函数f（x）=x-1/3sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）。A、【-1，1】B、【-1，1 /3】C、【-1 /3，1 /3】D、【-1，1 /3】。

解法一：f（x）=x-1/3sin2x+asinx的导数为f'（x）=1-2 /3cos2x+acosx，由题意可知f'（x）≥0，1-2/3cos2x+acosx≥0，然后设t=cosx，就可以解出该题。

解法二：可以应用结论“奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。”由题意可知，函数f（x）=x-1 /3sin2x+asinx的定义域为（-∞，+∞），且-f（x）=f（-x），所以f（x）就是奇函数，而导函数就是偶函数。非常容易的可以得到答案就是C。

3.“一题多变与一题多解”在提高分析问题能力

对于难度比较大的数学题，教师同样可以引导学生采用“一题多解与一题多变”的方式进行解决。而运用一题多变的数学方法进行解题时，要找到题干中的相同点，或者要找到已知条件的联系，引导学生从不同角度去解决问题，提升学生的分析问题能力，为学生提升数学成绩奠定良好的基础。

例如，高中数学教师讲解单调性的例题时，教师可以采用一题多变的方式进行讲解：已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x>0时，f（x）<0。（1）求证：f（x）=-f（x）。（2）判断f（x）的单调性。证明：令x=y=0，可以得到f（0）=f（0）+f（0）=0，令x=-y，得到f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x）讲解完这个题目之后教师可以给学生布置一个变式：已知函数是定义R上的增函数，且满足f（x /y）=f（x）×f（y），求f（1）的值，教师引导学生用“一题多变”的方式做题。

4.“一题多变与一题多解”在提升学生的反应力

横看成岭侧成峰，当心掉进隐蔽的陷阱。从不同角度、按不同思路、用不同方法 给出同一道习题的解答。笔者在教学过程中实施 “一题多解”调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下让学生对同一个题目尽量做到“一题多解 ”，努力将自己思维变灵活，经过多次反复练习后，做到根据题目中列出的已知条件，快速而灵活地选择解题切人点，节省做题时间，这也是数学思考问题中比较常见的方法，需要教师好好去把握，一旦出现一些比较难的问题时，需要及时地给予学生解答，让他们对于数学能够产生更多的兴趣。

例题：“如果关于x 的方程sin2 x+cosx+α= 0有实根，求实数α的取值范围”。

初见题目感觉题目短小 ，但是却隐藏着一个令不少学生忽视的陷阱。不少学生提笔就算方程中不就是在求吗，用到了学过的知识 ，即三角函数sinx，COSX.学过这两者之间的关系的，即sin2 x = 1一 COS2x，题目中的方程变形就可以了：COS2x 一 cosx一1一α= 0①

题目中要求有实根 ，其实就是在找cosx对应的实数，则另m =cosx，这样方程① 就化成了m2 -m-1一α=O②

不少学生很自信的认为方程 ② 就应该有实数根，他们下定论的理由就是判别式△= 4a+5≥从而就得出了实数α的取值范围：α≥一（5/4）.一些学生认为解题完成 ，但是他们还不知道自己已经掉入命题人所设置的陷阱之中。

找陷阱：当 α≥一（5/4）时，一定有△≥0，m2一m一1一α=0一定有实数根，这个陷阱就出现了：

cosx =m有实根，是不是m2一m一1一α=0就一定有实数根.掉进陷阱的同学没有注意到 ：余弦函数的值域是 COSX?[-1，1]，故m2一m一1一α=0有实根，我们根本不能保证 cosx=m一定在[一1，1]内，关键点在此，所以不小心的学生肯定掉入深深的陷阱里了。

挖陷阱：引导学生一题多变的形式转化：将方程变成m2一m一1一α=0有位于[一l，1]中的实数根时，求实数α的取值范围.这样由方程 m2一m一1一α=0得：α∈[一（5/4），1]U[一（5/4），一1]=[一（5/4），1]时，原方程有实数根.通过一题多变的方法解题避开陷阱，用到了“一元二次方程求根公式”，用到了“解两个无理不等式组成的不等式组”，用到了“集合的交集和并集 ”。

5.結语

总而言之，高中数学教师要注重对于学生思维能力的培养，教师可以给学生讲解“一题多变与一题多解”的数学价值，同时数学教师在讲解例题时要多给学生渗透“一题多变与一题多解”的解题方式，培养学生开放式的数学思维能力，提高他们对于问题的反映力，思考能力，提高分析问题能力，为学生的数学学习之路奠定一个良好的基础。为提升总体数学成绩奠定良好的基础。

参考文献

[1]王静.一题多解与一题多变在数学中的应用[J].神州，2017：136-136

[2]徐承娇.一题多解对学生思维能力的培养[J].中学数学教学参考，2017：45