用扩展的试探函数法求解非线性演化方程组

谢元喜

(湖南理工学院 物理与电子科学学院，湖南 岳阳414006)

0 引言

随着人类社会的不断进步和计算技术的飞速发展，许多现代科学研究的核心已逐步从线性问题转向非线性问题，而非线性科学问题的解决很大程度上取决于如何求解那些反映非线性问题本质的非线性演化方程.于是许多学者在如何求解非线性演化方程方面产生了浓厚的兴趣，并提出了一些求非线性演化方程显式精确解的方法[1～7]，但这些方法大多只能用来求解非线性演化方程.受限于数学理论和方法的缺乏，目前涉及到如何求解非线性演化方程组的研究很少.

文[8]中提出一种求非线性演化方程精确解的新方法.作为一种尝试和探索，本文对文[8]进行一定程度的改进，并将它扩展到求解非线性演化方程组上，进而求得变形Boussinesp 方程组和 Whitham-Broer-Kaup 方程组的显式精确解.

1 方法描述

本文探讨如何求解非线性演化方程组

的显式精确解.为方便求解上述方程组，引入变换

其中U0和H0为待定常数，u(w)、h(w) 和w(x，t) 均为试探函数.这里w(x，t) 仍采用与文[8]相类似的形式，即为

试探函数u(w) 和h(w) 必须根据具体的方程组灵活选择.选好试探函数后，再进行有关计算，即可求得非线性演化方程组的显式精确解.下面利用该方法求出变形Boussinesp 方程组和 Whitham-Broer-Kaup方程组的显式精确解.

2 方法应用

2.1 变形Boussinesq 方程组

变形Boussinesp 方程组在许多物理理论以及工程实际中有着重要应用，其一般形式为

为方便求解方程组(4)，选取试探函数为

其中a、b、d、e为待定常数.

由式(2)、(3)、(5)容易求得

将式(6)代入式(4)，得到关于w的多项式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系数等于零，可得如下一组超定非线性代数方程

用Mathematic 解上述非线性代数方程组，得

将上述常数代入式(6)，并考虑式(3)，可得

取b=d=1，并利用等式

由式(7)可得变形Boussinesq 方程组(4)的精确解为

取b=d=-1，并利用等式

由式(7)可得变形Boussinesq 方程组(4)的精确解为

显然，解(9)和解(11)与文[9]求得的解完全等价.

2.2 Whitham-Broer-Kaup 方程组

Whitham-Broer-Kaup 方程组在研究浅水波的色散上具有极其重要的意义，其一般形式为

其中α、β为表征不同色散程度的常数.

为方便求解方程组(12)，考虑选取试探函数

其中a、b、d、e为待定常数.

由式(2)、(3)、(13)不难求得

将式(14)代入式(12)，得到一关于w的多项式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系数等于零，可得如下一组超定非线性代数方程

用Mathematica 解上述非线性代数方程组，得

将上述常数代入式(14)，并考虑式(3)，可得

取b=d=1，并考虑式(8)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程组(12)的精确解为

取b=d=-1，并考虑式(10)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程组(14)的精确解为

显然，解(16)和解(17)与文[10]求得的解完全相同.

3 结论

本文对文[8]中所提出的求非线性演化方程精确解的方法进行了改进，并将它扩展到求解非线性演化方程组上，从而便捷求得变形Boussinesp 方程组和Whitham-Broer-Kaup 方程组的显式精确解，所得结果与已有结果完全等价.理论上来说，只要选取合适的试探函数，就可应用本文的方法求得其他非线性演化方程组的显式精确解.