用Westergaard应力函数求解I-II复合型平面裂纹问题的研讨

蒋玉川 蒲淳清

*(四川大学建筑与环境学院，成都610065)

†(四川众恒建筑设计有限责任公司，成都610072)

在一般断裂力学教材中，求解I–II复合型平面裂纹的方法有多种，常见的是叠加法，即先分别求解I型和II型裂纹问题，然后再将二者叠加得到原问题的解。也可以直接从I–II复合型裂纹入手，采用复变函数中的保角变换法，将裂纹问题变成无限大弹性体单连通的孔口问题，或者采用Fourier积分变换来求解[1-3]。无论是采用保角变换法或Fourier积分变换求解I–II复合型裂纹问题，其方法都较为复杂，推导过程冗长。另外，还可以采用Westergaard应力函数求解I–II复合型平面裂纹问题，即从Muskhelishvili应力函数与Westergaard应力函数的数理逻辑联系入手构建求解 I–II复合型平面裂纹问题的Westergaard应力函数，但其过程繁琐，不好理解[4]。为此，我们寻求一个更为简单的Westergaard应力函数来求解I–II复合型平面裂纹问题，即以I型和II型的Westergaard应力函数为基础，再加上一个调整项，作为I–II复合型平面裂纹问题的应力函数，该方法推导过程简单，物理概念清晰，所得结果与一般断裂力学教材和文献中的结果一致。同时，应用叠加原理将裂纹面上有作用力的情形转化为裂纹外边界受力的情形[3]，给出了解决裂纹面上有作用力的I–II复合型平面裂纹问题的解题方法，在断裂力学的教学中有一定参考意义。

1 基本问题与应力函数的选取

图1所示为无限大平板处于平面应力的一般状态，中心具有贯穿性裂纹2a，在x轴方向作用有均布拉应力p2，在y轴方向作用有均布拉应力p1，并沿平板四周有均布剪应力q的作用。试分析裂纹尖端区域附近的应力分布情况。

图1

应力函数的选取，我们以I型和II型的Westergaard应力函数为基础，再考虑x向和y向的不均匀性，选取实变函数的二次项进行调整，最后选取应力函数为

其中，f(z)为复变解析函数；为一次积分；为二次积分。

2 裂纹尖端区域的应力场

2.1 应力分量

所选应力函数相应的应力分量为

2.2 解析函数f(z)的表达式

根据问题的边界条件，解析函数选取为f(z)=，再根据边界条件确定应力函数式(1)中的各常数A，B，C的值。

(2)当x=0，y→∞，z→∞，f(z)=→p1，且由σy=p1，定出B=0，由τxy=q，定出A=-q/p1。

(3)当y=0，-a＜x＜a，即裂纹表面，则z=且有σy=0，τxy=0。

由此可见，在常数A=-q/p1，B=0，C=(p2-p1)/2时，解析函数选的形式，应力函数式(1)满足图1所示裂纹问题的边界条件。

2.3 裂纹尖端区域附近的应力场

将上述各常数A，B，C的值代入式(2)，并如图1所示，裂纹尖端区域的应力场用比较方便的新坐标ξ来描述，则应力分量

根据文献[2]，将

代入式(3)得到用极坐标表示的应力分量

2.4 裂纹面上有作用力的情形

如图2(a)所示无限大平板，并在两端面受有均布拉应力p和四周受均布剪应力q的作用，由于板中不存在裂纹，所以应力强度因子等于零。我们现在在板的中心取一个长为2a，宽接近于零的脱离体，相当于在无裂纹无限大板(图2(a))上开一裂纹，其边界上受力应当与无穷远处受力相同，如图2(b)所示，由于脱离体宽度趋近于零，所以脱离体左右两边受力也趋于零。将图2(b)上的作用力反作用在开的裂纹的边界上，如图2(c)所示，则图2(a)与图2(c)受力是等价的，或者说，图2(c)外边界上的力使裂纹开展，内边界上的力使裂纹闭合，叠加起来在裂纹尖端附近区域产生的应力等于零，也就与图2(a)等价了。

根据叠加原理，图2(c)的受力又等价于图2(d)和图 2(e)的受力的叠加，而图 2(e)的受力又等价于图 2(f)的受力的反号。又由于图 2(c)的受力等价于图2(a)的受力，所以在裂纹尖端附近区域产生的应力等于零，则，图 2(c)的受力等价于图 2(d)的受力减去图2(f)的受力并在裂纹尖端附近区域产生的应力等于零。因此，图2(f)在裂纹尖端附近区域产生的应力等价于图2(d)在裂纹尖端附近区域产生的应力，这样就把裂纹表面的受力情形转化为外边界的受力情形，于是就可以按前面所述方法进行分析，即在式 (4)中令p1=p，p2=0，q/=0，相应于图 2(d)的情形，也就是图 2(f)的情况。由于，，因此，图2(f)裂纹尖端附近区域的应力分量

式(5)与按Fourier积分变换求解的结果相同。

图2

2.5 几种特殊情况

(1)当p1=p2=p，q/=0，则应力分量为

式(6)与按保角变换解出来的结果相同。

(2)当p1=p2=p，q=0，且则应力分量

(3)当p1=p2=0，q/=0，且，，则应力分量

式(7)和式(8)的结果与文献[2]的结果相同。

3 结论

本文简述了用 Westergaard应力函数求解复合型平面裂纹问题的全过程，即将I型和II型的Westergaard应力函数直接相加，再加上二次实变函数作为调整项，以便满足边界条件，从而导出了裂纹尖端区域应力分量的表达式。该方法物理概念清晰，推导过程简单，不失为分析I–II复合型平面裂纹问题的一个好方法。同时，应用叠加原理将裂纹面上有作用力的情形转化为裂纹外边界受力情形，给出了解决裂纹面上有作用力的I–II复合型平面裂纹问题的解题方法，本文在断裂力学教学中有一定参考意义。