例谈“绝对值”带来的增效

唐俊才

摘要：“绝对值”是七年级数学教学的一个重点，也是学生学习的一个难点。从距离出发理解绝对值将是本知识点的关键所在，在某种意义上说，距离是理解绝对值概念的核心;距离决定绝对值性质的非负性;距离与数结缘再现数形结合思想;距离是解决绝对值相关问题的敲门砖。拓展“绝对值”理解的广度和深度，势必带来减负增效的结果。

关键词：绝对值;距离;典例

从以教定学的原则出发，绝对值是学生刚步入初中学习的难点，也是我们教学的重点。教师对“绝对值”理解的深度和广度以及教学所站的高度，将直接决定学生收获的是知识，还是能力，还是思想与方法，甚至影响学生后继学习数学的兴趣和信心，也是教学该知识点减量提效的关键所在。为此，这里与大家分享一下我对绝对值得理解和教学。

一、距离是理解绝对值概念的核心。

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。不难看出，这个概念的关键词就是距离，且指两点之间的距离，其中一点是原点，另一点就是所给数对应的点。如-5这个数对应的点与原点0之间的距离是5，实际上就是，因为原点所表示的数是0，所以简写成。这样，实际上就是数5与2对应点之间的距离，学生就不会简单理解为，仅仅看成3的绝对值。对数抽上任意两点间的距离公式学生也就容易理解了。同时，从“距离”出发定义“绝对值”，突出了相反数、绝对值两个概念之间的紧密联系，即互为相反数的两个数就是绝对值相等而符号不同的两个数。

二、距离决定绝对值性质的非负性。

绝对值表示的是数轴上的一段距离，也就是数轴上数对应点与原点之间的线段长度。这就决定了绝对值表示的数不可能为负数。因此一个正数的绝对值只能是它本身，一个负数的绝对值只能是它的相反数，零的绝对值是零，即，当且仅当时，其绝对值最小为0.如“当为何值时，有最小值或有最大值”;又如：“已知，求的值”。实际上都是绝对值的非负性决定其最小值为0，获得解决问题的方法。

三、距离与数结缘再现数形结合思想。

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。所有数学问题都围绕数与形的提炼、演变、发展而展开。在初中，数轴的出现第一次把数与点对应，呈现数形结合思想;紧接着绝对值概念的出现，实际上是把一个数的绝对值演绎成数轴上数对应点与原点之间线段的长度，这里隐含着数与点的对应、距离与数的绝对值对应，这种数学结合思想不是我们老师硬塞给学生，而是通过分析找到形是什么，数是什么，他们之间是怎样对应的？以此让学生自发总结出数形结合思想，达到触类旁通之目的。

四、距离是解决绝对值相关问题的敲门砖。

在绝对值相关问题中，抓住绝对值概念的关键词“距离”，诸多问题都将化繁为简，化难为易。

（一）绝对值的运算问题

例：化简下列各式

分析：此题的核心是绝对值，绝对值的实质是“距离”，所以不管绝对值里面符号多么复杂，其结果一定非负，很容易得出（1）结果为如果绝对值外面有其它符号或数，实际上就是绝对值出来的非负数与绝对值外面的数进行运算，（2）由于，因此绝对值后得出的结果是，再与-2相乘得最后结果。这比利用绝对值的代数意义求解来得更快更准。

（二）绝对值中的实际问题

例：某司机在笔直的东西路上开车接送乘客，他早上从A地出发，如以向东行驶为正方向，他一天的行程记录如下：（单位：千米）

-12，+5，+15，-24，-3，+10，+9

（1）该司机最后是否回到了A地？

（2）若该车每公里好有0.08升，则这车一天共耗有多少升？

分析：（1）从加法的角度分析，和为0即回到A地，否则没有回到A地;从距离角度考虑，东西行驶里程等距即回到A地，也就是看正数的绝对值和是否与负数的绝对值和相等。（2）本小题关键是求一天的行程，而绝对值反映的就是距离。所以里程等于各数的绝对值和。

（三）绝对值中的参数问题

例：已知，求

分析：从一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数思考，得，解得或-2;从距离角度思考，与3对应的点之间的距离为5，那么对应的点就应该在3对应点的左右两边，且距离5个单位，即可求得或-2。

（四）绝对值中的非负问题

（五）绝对值的化简求值问题

例：（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

（2）已知a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，求的值。

分析：（1）根据数轴上个点对应的数，先判断绝对值里面各式的符号，再由绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，去掉绝对值符号即可求得值为-2（2）根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，或-1，或1，所以其值为0。

（六）绝对值中的极值问题

例1：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示点A、B在数轴上分别对应的数为，则A、B两点间的距离表示为 。

【参考文献】

[1]《数学教育》之“绝对值的非负性，以小见大”

[2]《小議绝对值得概念及运用》江苏 刘显伟