随机3种群时滞食物链系统的持久性和非持久性

李海红，李海霞

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林 长春 130118；2.长春光华学院商学院，吉林 长春 130031)

0 引言

生态系统不但与当时的因素有关，也与时滞效应有密切的联系.为了更好地还原生态背景，人们将时滞引入种群动力学模型[1-2].

本文研究的3种群时滞食物链系统可表示为

(1)

系统(1)描述了后者捕食前者的3种群时滞食物链模型，这里假设中层和顶层捕食者拥有捕食能力的时间为τ[3]，猎物成熟时间为τ，捕食者仅捕食成熟猎物.在系统(1)中引入随机扰动，得到随机时滞系统：

(2)

本文主要研究在白噪声干扰下随机时滞系统(2)的持久性和非持久性.

1 系统(2)的持久性

首先给出随机系统在均值意义下持久性的定义[3].

定义1.1称系统(2)在时间均值意义下是持久的，若有

引入系统：

(3)

引理1.2若假设1成立，则系统(3)的解满足如下结论：

证明由文献[5]和假设1得

(4)

应用伊藤公式，系统(3)的第2个式子可变形为

dlogΦ2(t)=(-r2+b21Φ1(t-τ)-b22Φ2(t))dt-σ2dB2(t).

进一步可得

(5)

注意到

则

(6)

由文献[4]的引理1.3和假设1可得

dlogΦ3(t)=(-r3+b32Φ2(t-τ)-b33Φ3(t))dt-σ3dB3(t)，

由带扰动的非自治的Logistic方程解的形式[6]，可得

x(t)≤Φ(t)，

(7)

其中Φ(t)为随机时滞微分方程(3)的解.

综上，再由文献[4]的引理1.2，下述结论显然成立：

定理1.1若假设1成立，则系统(2)的解x(t，ξ)满足

进一步有：

定理1.2若假设1成立，则系统(2)的解x(t，ξ)满足

证明由系统(2)可得

类似有

且

则

且由(7)式可知

(8)

2 系统(2)的非持久性

分两种情况分析随机系统的非持久性.

情形1r1<0.

由伊藤公式，系统(3)的第一个方程可变形为

dlogΦ1(t)≤(r1-b11Φ1(t))dt-σ1dB1(t).

则

类似有：

显然，由情形1的证明过程可得

类似有

由上述讨论可得如下结论：

定理2.1若假设1成立，x(t，ξ)是系统(2)的解，则有：

3 数值模拟

由Milstein方法，得到系统(2)的离散方程：

其中ε1，k，ε2，k，ε3，k是服从N(0，1)的高斯随机变量.选取适当的参数，通过Matlab软件，模拟计算下列实例：

(1) 确定性系统和随机系统(2)的持久性.选取初始条件和系数为(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.通过Matlab软件计算，得到确定性系统和随机系统(2)的持久性(图1).图1表明，当白噪声很小时，选取恰当的参数使其满足定理1.2条件，则系统(2)的解将在均值意义下持久.

图1 确定性系统和随机系统(2)的持久性

(2) 3个物种将依概率灭绝.选取初始条件为(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=-0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.易验证其满足定理2.1结论(1)，选取参数满足r1<0.由Matlab软件模拟系统解的图像(图2).由图2可知，当白噪音很大时，捕食者和被捕食者均依概率死亡，这在确定性系统中是不会发生的.

图2 定理2.1当r1<0时，解的非持久性

图3 定理2.1当时，解的非持久性