深井提升钢丝绳纵向振动抑制策略

丁梦磊，余文辉，丁兴亚，沈 刚

(1.中国船舶重工集团公司第七一三研究所，河南 郑州 450000；2.中国矿业大学 机电工程学院，江苏 徐州 221116)

引言

钢丝绳作为工程应用中最为常见的曳引绳，具有轴向强度高、自重轻以及易收纳等特点[1]，在电梯系统[2-3]、矿井提升系统[4-5]、医疗器械[6]、起重机械[7]等众多领域中有着广泛的应用。但同时，由于钢丝绳在横向方向的柔性以及长距离拉伸时表现出的弹性，加之外界对其施加的激励和干扰，使得钢丝绳在工作时会表现出复杂的动态响应特性，这也使得钢丝绳末端连接的物体也表现出非期望的动态响应特性[8]。

在深井提升系统中，钢丝绳是保证提升系统安全运行的一个关键构成单元。但在实际的提升运行过程中，钢丝绳本身由于生产制造误差、钢丝绳及绳槽的磨损以及钢丝绳在摩擦滚筒上的滑动、蠕动等因素会引起钢丝绳的横向及纵向振动，同时钢丝绳的弹性形变、提升容器与罐道的阻尼干扰加之井内的空气阻力都会增大钢丝绳的横纵向振动，致使钢丝绳承受强复变载荷，从而降低钢丝绳的使用寿命，甚至引发提升系统失控、断绳等重大恶性事故，同时也会影响乘坐人员的舒适性。

关于提升钢丝绳的振动抑制问题，国内外学者已做了大量研究。WANG等[9]将节点应变率引入钢丝绳的振动模型中，设计了综合考虑刚体运动和弹性变形的线性二次调节控制器，实现了对钢丝绳的振动抑制。ZHANG等[10]针对柔性空间结构在外界干扰和参数不确定情况下的振动抑制问题，提出了一种主动振动控制方法，同时设计了一种基于神经网络的状态观测器来估计柔性结构的模态速度。XING等[11]针对通过通信信道传输控制信号和考虑执行器性能下降的问题，提出了基于对数量化器的输入量化边界振动控制方案。HE等[12]考虑了变长度、变速度和约束边界输出的钢丝绳横向振动抑制问题，通过设计扰动观测器来消除外部边界扰动的影响。SANDILO等[13]研究了一般初始条件下变长度、变速度、变张力的垂直平移介质的横向振动抑制问题。

基于此，本研究以深井提升系统为研究对象，采用改进的PD控制算法实现提升钢丝绳的纵向振动抑制。

1 数学建模

本研究涉及的是一类双容器双罐道的深井提升系统钢丝绳振动主动抑制问题。为了对该系统进行动力学分析，首先需要建立系统的动力学模型，简化模型如图1所示。

图1 深井提升系统简化模型

图1中天轮下安装有液压作动器。提升系统运行过程中，提升容器上安装的加速度传感器将容器的振动加速度反馈回控制系统，同时经过积分运算，得到容器的振动速度和振动位移。控制器即可根据期望的振动及反馈的振动位移等信号求解控制输入，并通过电液伺服系统完成振动位移的补偿，实现振动抑制。

假设该提升系统采用的是刚性罐道，则提升容器只会有纵向振动，而没有横向振动。在t时刻，位于垂直提升主绳空间位置x处某一质点的纵向振动位移为u(x,t)，该点的动态张力P(x,t)为该点的准静态张力T(x,t)与弹性力EAε(x,t)之和，其数学表达式如下：

P(x,t)=T(x,t)+EAε(x,t)

(1)

式中，EA—— 钢丝绳抗拉刚度，N/m

ε(x,t)—— 钢丝绳空间位置x处、t时刻的正应变，ε(x,t)=ux(x,t)

以垂直提升主绳作为研究对象，在进行系统振动建模时先做以下假设：

(1)假定提升钢丝绳为匀质钢丝绳，即线密度为常数；

(2)钢丝绳的伸长形变与张力的关系服从胡克定律；

(3)不考虑空气阻力的影响。

然后，基于Hamilton原理推导垂直提升主绳纵向振动方程。

系统动能为：

(2)

式中，ρ—— 提升主绳的线密度

v—— 提升速度

JD—— 天轮的转动惯量

RD—— 天轮半径

ma—— 提升容器的时变质量

我们将尾绳质量视为集中于容器底部的集中质量，因此，其数学表达式为：

ma(t)=m+ρt(Zmin+s(t))

(3)

式中，m—— 容器及载物重量

ρt—— 尾绳的线密度

Zmin—— 容器在最低点时尾绳的最小悬垂长度

系统势能为：

u(0,t)]

(4)

式中，T(x,t)为在t时刻垂直提升主绳空间位置x处质点的准静态张力，可表示为：

T(x,t)=(ma(t)+ρx)g

(5)

系统虚功为：

δW=c1(v+ut(0,t))δ(u(0,t)+s(t))+

c2(v+ut(l,t))δ(u(l,t)+s(t))+

f(t)δu(l,t)

(6)

式中，c1,c2—— 分别为提升容器和天轮处的阻尼系数

f(t)—— 液压作动器施加给天轮的激振力

应用Hamilton原理：

(7)

联立式(2)、式(4)和式(6)，结合系统几何边界δW(0,t)=δW(l,t)=0，运用变分理论与分部积分算法，可以求得垂直提升主绳的纵向振动的自由振动方程为：

0

(8)

c2(v+ut)=0x=l

(9)

x=0

(10)

对式(5)分析可得：

T(0,t)=mag

(11)

T(l,t)=(ma+ρl)g

(12)

Tx=ρg

(13)

将式(11)～式(13)带入式(8)～式(10)进行简化，可以得到：

0

(14)

f+c2(v+ut)=0x=l

(15)

x=0

(16)

式(14)～式(16)即为深井提升系统的动力学模型，基于此进行下文的控制器设计。

2 振动抑制控制器设计

如图2所示即为提升钢丝绳振动抑制的控制原理。

图2 提升钢丝绳振动抑制的控制原理

为了设计提升钢丝绳的纵向振动控制器，首先定义如下的误差项：

e=s(t)-sd(t)=u(0,t)

(17)

即提升容器端的纵向振动位移为系统的控制误差，控制输入的设计准则是让控制误差最终收敛到0。

定义如下的Lyapunov函数：

V=E1+E2

(18)

式中，

(19)

(20)

其中，E1为钢丝绳的动能与势能之和，表示对钢丝绳纵向振动的抑制指标；E2中的前2项分别为天轮的动能以及提升容器的势能，后2项表示了控制的误差指标。

对E1，E2分别求导：

(21)

结合式(14)，可以得到：

(22)

同时，可以得到：

=(ma+ρl)gut(l,t)-magut(0,t)-

(23)

(24)

将式(22)～式(24)带入式(21)，可以得到：

(v+ut(0,t))]+(ma+ρl)gut(l,t)-

magut(0,t)+ρgvl

(25)

对式(20)求导，可以得到：

(26)

则：

=EA[ux(l,t)(v+ut(l,t))-ux(0,t)(v+

ut(0,t))]+(ma+ρl)gut(l,t)-magut(0,t)+

=(v+ut(l,t))[f(t)+c2(v+ut(l,t))+ρv(v+

(27)

分析上式，设计控制律为：

f(t)=-c2(v+ut(l,t))-ρv(v+ut(l,t))-

(28)

将式(28)带入式(27)，可以得到：

(29)

3 振动抑制仿真研究

为了验证所提算法的有效性，运用MATLAB仿真软件对本研究的算法进行仿真研究。仿真中深井提升系统的物理参数如表1所示。

表1 深井提升系统仿真物理参数

提升系统的提升速度与提升加速度曲线如图3和图4所示。

图3 深井提升系统提升速度曲线

图4 深井提升系统提升加速度曲线

无控制器时深井提升系统提升容器处的纵向振动曲线如图5所示。从图中可以看出，提升容器在整个提升过程中纵向振动较为明显，且有逐渐增大的趋势，提升后期，振动幅值增大明显，容易引起提升系统不稳定，也增大了危险发生的可能性，同时也会降低乘坐人员的舒适性。当加入本研究设计的改进PD控制器后，提升容器端的纵向振动获得了明显的抑制，振动曲线如图6所示。对比图5和图6可以发现，提升过程前段，改进PD控制算法对于容器端纵向振动的抑制效果并不明显，但是在振动幅值更大的提升过程后段，改进PD控制器获得了良好的振动抑制效果。

图5 无控制器时提升容器处的纵向振动

图6 改进PD控制下提升容器处的纵向振动

4 结论

本研究针对深井提升系统钢丝绳纵向振动问题，基于李雅普诺夫理论，提出了一种改进的PD振动抑制算法，通过MATLAB软件仿真验证了所提算法的有效性。同时，我们也可以看到，采用该PD控制器并没有在提升后期将纵向振动完全消除，这跟本研究建立模型的精确性以及算法本身的局限性有关。