浅谈金融学中的数学模型

徐忠霏 武汉大学经济与管理学院

一、金融的数理化发展进程综述

亚当·斯密的著作《国富论》标志着经济学以一门独立学科的姿态登上了学术的舞台；而金融学作为经济学的一个重要的组成部分，在经济学的漫长发展过程中，也逐渐分离成为一门独立的学科。如果说经济学是一门研究由于资源的稀缺性而导致资源配置和利用问题的学科，那么金融学的研究对象则是将这个范围聚焦于讨论货币和信用为中心以及由此衍生出的相关金融中介（商业银行、证券公司、保险公司等）与市场（货币市场、资本市场、衍生品市场等）。金融学在自身的不断演变的过程中不断与其他学科相结合，其中与数学的结合使金融学由定性描述的经验分析走向定量描述的数量分析，并诞生了诸如数理金融学、金融工程学、金融计量经济学等交叉学科，而同时金融学本身也在运用大量的数学模型和数学方法分析传统金融学无法精确描述和解释的问题。

金融理论的数理化开始于20 世纪初。在这个时期，金融理论逐渐不再完全依靠定性分析，开始使用一些数学方法和技巧来研究金融学问题。在这一时期，有以柯布-道格拉斯生产函数为开端的用函数和微积分方法来研究经济与金融问题，促使了诸如效用、储蓄、供求函数等的产生；偏微分方程的两种推导过程也在这一时期被提出，这是后期研究期权定价时重要的维纳过程的雏形；利率的证券价格弹性模型也在1938 年建立。

1952 年马科维茨的博士论文《投资组合的选择》是现代金融向数理化发展的第一个突破口。基于投资组合理论和一般均衡理论的资本资产定价模型（CAPM）及其衍生的套利定价理论（APT），产生了现代意义上的较为科学的金融投资理论，被广泛应用于投资实践，如证券估值、资本资产评估、资本预算决策等。此后在1954 年阿罗和德布鲁在论文《竞争经济中均衡的存在性》、麦肯齐在论文《论格雷厄姆国际贸易模型及其他竞争经济的均衡》中分别独立地系统论证了现代一般均衡理论的存在性，即著名的阿罗-德布鲁（Arrow-Debreu）一般均衡理论，被认为是现代金融学的理论来源之一。同一时期，1958 年莫迪利亚尼和米勒在《资本成本、公司财务和投资管理》中提出了M-M 理论，即证明了公司的资本结构（债权与股权之比）和市场价值不相干。该理论为研究公司金融里的资本结构问题提供了一个有用的起点和分析框架，首次在文献中提出无套利原理，为后续权衡理论、米勒模型等的发展奠定了基础。

60 到70 年代是数理金融理论逐渐丰富起来的时代。一方面，在1975 年，布朗森提出了资产组合平衡模型，放松了货币模型对资产替代性的假设，认为各种资产之间并不具备完全的可替代性，至少存在资产收益的差别；另一方面，B-S 期权定价模型作为现代经济学中最重要的研究成果之一，为包括股票、证券、货币等在内的新兴衍生品金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

80 年代以来至今，金融学的数理化进程日臻成熟、成果不断涌出。不仅仅是金融学者需要掌握丰富的数学知识，而且金融学也直接引进了大量从事数理统计、运筹学与控制论、甚至是物理建模和统计物理方面的学者。在这一阶段，已有的理论体系进一步丰富和完善。各种新理论的出现都逐渐对各种假设条件的要求变得不那么苛刻了，这增强了新理论实用性和解释能力。在期权定价和实物期权方面，基于B-S 模型及其衍生改进的二项式模型和蒙特卡洛模拟，市场在实践中产生了大量估价技巧，并带动了相关金融衍生品的大量出现和证券交易机制本身的蜕变。1986 年麦克唐纳和西格尔提出了实物期权并在随后得到了应用。在80 年代和90 年代里，利率现期结构的模型被大量提出，如CIR 模型、HJM 模型、BGM 模型等；到现在，一般投资银行都雇有专门从事高级期限结构数学模型研究的专家，数学模型的广泛运用大大提高了金融机构预测和决策的科学性。此外，在最优消费投资组合、倒向随机微分方程、金融计量方面都有很多研究成果出现。

二、现代金融理论中的经典数学模型

（一）资产组合理论

资本组合理论重点分析个体在不确定性的条件下如何支配金融资产，使财富得到最适当的投资，同时降低风险。马科维茨在一系列既定假设前提下通过上述分析得出：风险控制是资产配置中的核心问题，分散化投资是能在各项资产的收益相关程度很小的条件下最大限度的降低风险水平。资产组合理论有一定的缺陷，即是实证分析的缺位，没有具体衡量风险收益关系的标准。为了让资产组合理论的思想更加直观精确的表达，夏普等人引入了资本资产定价模型。

（二）资本资产定价模型

资本资产定价模型是在一系列严格的前提假设下，基于资产组合理论，对资产组合在收益和风险的权衡中形成的均衡价格的最优求解，并分析和预测资产收益和风险的关系。该理论导出了界定风险与回报率之间的关系式，并引入了β 系数（某种资产组合的收益与市场收益的协方差比整个市场收益的方差）来衡量表达式中该资产或资产组合的系统性风险，这个表达式就是著名的证券市场线（SML）。该模型最重要的工作就是进一步量化了无法测量的风险这一指标。CAPM 在实际运用中存在计算收益风险所需计算量非常大和模型中的证券市场线里影响收益和风险的因素过于简略等两个主要问题。为了解决上述问题，因素模型应运而生。

（三）因素模型与套利定价理论

APT 的研究的内容与CAPM 一脉相承，不同的是前者在用收益率作为因素的同时还引入了其他因素共同解释收益和风险的关系，建立在收益率对各种因素变动的反应程度这一条件下。该模型引入多因素来解释收益率的变动，并且放宽了假设条件，所以可以看作是广义的CAPM 模型。

（四）期权定价模型

期权是一种权利，就是买方在到期日之前可以以执行价格（期权合约规定的价格标准），选择或拒绝买进或卖出特定商品的一种权利。期权分为欧式和美式，前者必须在到期日选择执行期权，而后者可于到期日前任何时候执行。期权定价模型（B-S 模型）主要聚焦于欧式期权的定价问题。该模型有一个重要的理论基础，即股票价格服从几何布朗运动。而伊藤定理认为，布朗运动是最基本的一般扩散过程，所以可以将衍生性金融产品价格表达成已知标的资产价格的随机过程。在无套利机会、无交易费用等一系列假设条件下通过偏微分方程相关理论，可以得出一个不分股利的欧式看涨期权的定价公式。借由欧式无股利看涨和看跌期权的平价关系可得相同条件下欧式看跌期权的定价公式。在应用此模型时很多情况下需要求解复杂的偏微分方程，而由于期权形式的多样性和复杂性，这有时候是一项烦琐甚至是无法完成的工作。鉴于此，期权价格的近似求解方法受到更多关注。

（五）二项式期权定价模型

二项式期权定价模型是为了简化B-S模型在一些情况下复杂的形式和计算而近似求解期权价格的方法。该模型概念推倒简明、计算方式简单、适用情型广泛，但是对于实际的期权价格评估需要大量计算机仿真模拟计算过程，复杂量大，并且得到的结果没有B-S 定价模型精确。

三、现代数理金融理论的发展趋势与展望

金融学在数学化快速发展的过程中逐渐暴露出了很多问题，招致了其他学科的挑战，为了修正和弥补自身存在的问题，数理金融引入了以下理论和方法：

（一）非线性方法

非线性方法用来描述由于假设条件放宽后的一般有效市场，即分形市场。这种已经被运用在流体力学里的理论可以把没有规律的运动定量化，借以找到运动规律。这种运动可以被近似的等价于证券市场等金融市场上的一些无规律波动，通过成熟的非线性方法可以在数量级上描述金融价格的一般均衡。

（二）现代经济概率统计理论

概率论与数理统计一直是金融学研究的一种最基本的方法。围绕着这些研究对象所建立的金融计量经济学模型本质上就是用概率统计来解决实际经济问题。在投资组合理论的基础上，一些描述收益与风险之间关系更为确切的数学方法被引入来修正原有模型：以协方差和方差间的波动为基础的ARCH 模型和利用似然函数来估计波动的SV 模型。这些都在现代金融计量中得到重要的应用。此外，现代概率论和运筹学结合中被广泛运用在其他领域里的最优停时原理也被金融学所吸纳。在金融决策（比如在交易成本一定的债券投资、风险控制等），一些数理学家运用这种方法取得了意想不到的结果，他们旨在让复杂传统的金融模型在概率论的处理下得以简化，得到更广阔的应用。

（三）现代控制理论

现代控制理论中的脉冲是一种描述如同脉搏般波动的冲击现象，如电压或者电流。而随着金融研究的不断深入，学者们发现诸如股票、基金、期货期权等证券交易产品的波动图并非如传统理论里说的那样是连续有界的，而大部分情况是离散间断的。因此脉冲的离散信号模型在某种程度上更符合金融市场上交易的真实变动情况。此外，随机最优等新兴的控制学理论也被吸纳到了消费、投资、经济增长等领域的研究之中。

（四）人工智能技术

把以退火遗传、BP 神经网络、专家系统等一系列智能型新算法运用在传统意义上的数学方法上，可以更有效且准确的进行金融风控和金融决策，并且在理论研究中开辟了全新的课题，是金融学与其他学科的研究方法的重要结合范例。

（五）微分对策理论

B-S 模型导出期权定价公式的过程中用到了偏微分方程相关方法，其前提条件是假定股票价格波动服从维纳过程。但是随着金融市场的发展，越来越多的期权被观测到并不服从这一传统意义上的分布。因此有学者引入了微分对策原理，把博弈论与微分学结合，能够使这一前提得到很大程度的稀释同时又简化了B-S 模型中导出定价公式的传统烦琐计算。这些使得其能够解释更多的现实期权问题。

（六）鞅理论

鞅理论也是用于简化期权等证券价格运算的重要新工具。前文中提到股票价格的波动服从维纳过程，即布朗运动分布。此过程可以近似于鞅随机过程。因此运用鞅测度的相关方法可以得出一个相对有规律可循的计算模式；同时这样的处理方法避免了由于原来过于严格的假设前提所丧失的模型适用性。这些以鞅理论为基础的期权等证券定价理论逐渐流行于当今的金融工程研究中。