具有变指数的退化抛物方程解的唯一性

詹华税, 袁洪君

(1. 厦门理工学院 应用数学学院, 福建 厦门 361024； 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

1 引言与主要结果

考虑具有变指数的退化抛物方程

(1)

解的存在唯一性问题, 其中:ρ(x)=dist(x,∂Ω)是距离函数,Ω∈N是C2上具有光滑边界∂Ω的有界区域;α>0是常数;是Lipschitz函数;a(s)是一个严格单调上升的连续函数. 当a(s)=s,α=0时, 关于方程(1)解的存在唯一性研究已有很多结果[1-5]. 当α>0时,ρα|x∈∂Ω=0, 方程(1)在边界上退化, 于是除了初始条件

u|t=0=u0(x),x∈Ω

(2)

和齐次边界条件

u(x,t)=0, (x,t)∈∂Ω×(0,T)

(3)

外, 有时可用局部边界条件

u(x,t)=0, (x,t)∈Σp×(0,T)

(4)

代替条件(3), 这里Σp⊂∂Ω或Σp=Ø, 即不用边界条件可得到方程(1)解的唯一性. 文献[6-10]分别在上述条件及不同的边界条件下讨论了方程(1)解的唯一性问题.

定义1如果

(5)

且初值条件在

意义上成立, 并且u在迹意义下满足部分边界条件(4), 则称u(x,t)为方程(1)的具有初始边界条件(2),(4)的弱解.

定理1如果b(s)是Lipschitz函数,u(x,t)和v(x,t)分别是方程(1)具有不同初值u0(x),v0(x)的两个弱解, 假设α

(6)

p+-p-<1,

(7)

则

(8)

定理2设u(x,t)和v(x,t)分别是方程(1)具有不同初值u0(x),v0(x)的两个弱解, 当α>p+-1时, 假设g(x),p(x)满足

|g(x)ρ-α/p(x)|≤c,

(9)

及|bi(u)-bi(v)|≤c|A(u)-A(v)|, 则对任意的t∈[0,T), 有

2 主要结果的证明

2.1 定理1的证明

下面证明定理1. 与空间区域的直径比较, 设λ是一个足够小的正数, 令

(10)

其中Ωλ={x∈Ω:ρ(x)α/p(x)>λ}.

选择Sn(φ(a(u)-a(v)))作为检验函数, 则

首先, 有

(12)

(13)

此外, 利用文献[8]的方法可以证明

(16)

再次, 下式显然成立:

(17)

最后, 在式(11)中先令λ→0, 再令n→∞. 由式(12)～(17), 可得

利用Gronwall不等式, 有

定理1得证.

2.2 定理2的证明

选择χ[τ,s](a(u)-a(v))φ作为检验函数. 这里对于任意固定的s,τ∈(0,T),χ[τ,s]是[τ,s]上的特征函数,φ(x)由式(10)定义. 记Qτs=Ω×[τ,s], 则有

首先, 因为|ρxi|≤|ρ|=1, 所以

由α>p+-1及式(19)得

(20)

其次, 有

再利用条件(9)及|bi(u)-bi(v)|≤c|A(u)-A(v)|, 可推出

其中, 根据引理1中3), 式(22)中的p1=p+或p-,q1=max{q(x)}或min{q(x)}.

对q(x)≥2和q(x)<2两种情形分别讨论, 由式(23)易知, 存在常数l<1, 使得

(23)

成立.

此外, 显然有

(24)

于是, 只要在式(18)中令λ→0, 则由式(19)～(24), 可得

由式(25), 利用文献[14]推广的Gronwall不等式, 可得

所以由τ的任意性, 有

证毕.