一种基于PSO算法的群体决策新方法

刘祖林,张家伟,宋翌,刘芳

(1.广西大学 工商管理学院， 广西 南宁 530004;2.广西大学 数学与信息科学院， 广西 南宁 530004;3.北部湾大学 理学院， 广西 钦州 535011)

0 引言

随着社会和经济的快速发展，决策的环境变得更加复杂化。为了更好地解决复杂环境下的决策问题，常常需要群体的专家或决策者参与决策，而在群体决策过程中，决策者受到人类思维习惯以及自身决策知识和经验不足的影响。为了降低这些主观因素的影响，对方案进行两两比较时给出区间模糊数去反应他们对方案的偏好关系[1]。目前，许多学者已经对群体决策的理论和方法进行了研究,LIU等[2]基于备选方案两两比较的过程，建立了一个序列模型，然后用它去刻画不合理性和不确定性的过程，并用于解决相应的群体决策问题。LIU等[3]提出了一个新的几何一致性指标，然后根据这个指标提出了一个几何一致性诱导有序加权平均算子去聚合群体区间积型互反判断矩阵。刘芳等[4]给出了区间积型互反判断矩阵一致性的定义，并提出了构造一致性区间积型互反判断矩阵的方法。韦保磊等[5]基于决策信息具有主观性和客观性，提出了随机滤波决策方法分离主客观成分，并结合大数定理给出解决群体决策的新方法。群体决策问题的关键在于决策者之间达成一种共识，然后从备选方案X={x1,x2,…,xn}中选择最佳方案。

在群体决策中，各决策者要达成共识，则需要解决两个关键的问题：一是对群体判断矩阵的集成；二是确定决策方案的综合权重。目前，关于一簇判断矩阵的集成方法已有许多的研究成果，如文献[6]构造了诱导有序加权几何平均算子(induced ordered weighted geometric averaging, IOWGA)。文献[7]和[8]分别采用了加权几何平均算子(weighted geometric averaging, WGA)和有序加权几何平均算子(ordered weighted geometric averaging, OWGA)。文献[9]构造了一致性有序加权几何平均算子(consistency induced ordered weighted geometric averaging, CI-OWGA)，并对区间积型互反判断矩阵进行了聚合。文献[10]在IOWA基础上提出了加型一致诱导有序加权几何平均算子(additive consistency induced ordered weighted geometric averaging, AC-IOWGA)。文献[11]基于PSO算法,把一簇互反判断矩阵聚合成区间积型互反判断矩阵。文献[12]基于新的不一致性指标，提出了新的诱导有序加权几何集成算子。二是确定决策方案的综合权重。如文献[13]提出了字典式目标模型(linear goal program, LGP)确定非一致性区间积型互反判断矩阵的权重。文献[14]采用了连续有序加权几何运算获得区间积型互反判断矩阵的权重。文献[15]基于PSO算法，构建了两个基于互反判断矩阵的群体决策模型去获得方案的综合权重。对于上述关于判断矩阵的集成方法，首先定义一个集成算子，然后利用它对判断矩阵进行集成。然而，在集成的过程中需要考虑原始判断矩阵是否具有满意一致性，如果没有，则需要对初始判断矩阵进行调整并使其具有满意一致性，此过程在一定程度上影响了结果的可靠性。随着区间积型互反判断矩阵在群体决策中的应用越来越广泛，对区间积型互反判断矩阵的集成作进一步的研究具有一定的理论意义和现实价值。本文以PSO算法为基础，首先构建一个最大-最小值集成模型，并把一簇区间积型互反判断矩阵集成得到两个新的区间积型互反判断矩阵，然后构造相应的适应度函数去获得具有满意一致性的综合区间积型互反判断矩阵，最后应用文献[16]的方法获得方案的综合权重。

1 基本概念

首先给出互反判断矩阵及其一致性的定义。

定义1[17]若矩阵A=(aij)n×n中的每一个元素均满足关系aij·aji=1,当且仅当i=j时，aii=1(aij>0,∀i,j=1,2…,n.)，则称A=(aij)n×n为互反判断矩阵。

定义2[17]若互反判断矩阵A=(aij)n×n中满足aij=aik·akj(∀i,j,k=1,2,…,n),则称矩阵A=(aij)n×n是一致的。

由于决策环境的复杂性，在实际决策过程中决策者很难给出具有一致性的互反判断矩阵，为了进一步消除维度对判断矩阵一致性的影响，文献[17]提出了一致性比率CR,当CR≤0.1时，表明矩阵A具有满意近似一致性；当CR>0.1,表明矩阵A不具有满意近似一致性。文献[18]中从几何的思想出发，提出了几何一致性指标GCI如下：

定义3[18]假设矩阵A=(aij)n×n为互反判断矩阵，则几何一致性指标为

(1)

文献[18]给出了GCI满意近似一致性的阀值。当n=3时，GCI=0.31;当n=4时，GCI=0.35;当n≥5时，GCI=0.37。

为了更合理的度量复杂环境下决策的模糊性和不确定性对群体决策的影响，下面介绍区间积型互反判断矩阵的相关概念。

式中,

以PSO算法为基础，构建最大-最小值集成模型去集成一簇区间积型互反判断矩阵，并给出解决基于区间积型互反判断矩阵的群体决策的新算法。

2 基于PSO算法的最大-最小值集成模型

假设某个群体决策中有m个决策者E={e1,e2,…,em}和n个备选方案X={x1,x2,…,xn},决策者对备选方案进行两两比较给出了一簇区间积型互反判断矩阵{A1,A2,…,Am}。为了获得一个最优的方案，各个决策者之间需要进行相互的讨论和学习[19]，最终达成一个良好的共识。目前,许多学者给出了群体判断矩阵集成的方法。本文基于区间积型互反判断矩阵的端点值，构造一个构造最大-最小值集成模型对{A1,A2,…,Am}进行集成。

2.1 构造集成模型

令：

2.2 适应度函数

在群决策中为了获得一个合理的最优方案，关键要解决两个问题，一是集成的综合判断矩阵具有满意近似一致性；二是集成判断矩阵与各决策者的初始判断矩阵偏差最小。用函数描述如下：

Q1=GCI(R)或Q1=GCI(L),

(9)

(10)

类似文献[20]，把Q1和Q2表示成线性函数如下：

Q=pQ1+pQ2,

(11)

式中,p,q≥0,通常情况为了同时考虑两个关键因素，限定p>0,q>0。为了获得合理的最优解，则需满足如下的约束条件：

(12)

(13)

υ(t+1)=ω·υ(t)+c1·r1·[p(t)-x(t)]+c2·r2·[q(t)-x(t)],

(14)

x(t+1)=x(t)+υ(t+1),

(15)

式中,ω表示从0.9→0.4的惯性权重；υ(t)表示t时刻粒子的速度；c1,c2分别表示自我认知系数和社会学习系数；p(t),q(t)分别表示t时刻粒子局部和全局的最优位置；r1,r2∈(0,1) 的任意实数。

2.3 群决策算法

群决策算法如下：

Step 5:对step 4的区间数权重进行两两比较得到一个可能度矩阵P=(pij)n×n。

Step 6:对可能度矩阵P采用消去行-列[22]的方法获得方案的优先级。

3 数值结果分析与讨论

假设群体决策中有3个决策者E={e1,e2,e3},从4个备选方案X={x1,x2,x3,x4}中选择最优方案。现在每个决策者对备选方案两两比较并分别给出相应的区间积型互反判断矩阵如下所示：

当运行PSO算法时，取粒子数量为100粒，迭代次数为100次，分别取p=1,1.5和q=1,1.5,得到适应度函数值与迭代次数的关系如图1所示。

图1 适应度函数值与迭代次数的关系Fig.1 Relationship between the fitness function value and the number of iterations

从图1可以看出，当p,q的值固定时，适应度函数值随着迭代次数的增加而减小，随后趋于一个固定的数值；当固定q值时，适应度函数值随着p值的增大而增加，随后趋于一个固定的值；当固定p值时，适应度函数值随着q值的增大而增加，随后趋于一个固定值，并且这个定值比p=q时更大。因此，取p=q=1时，对公式(9)至公式(15)执行PSO算法得到相应的互反判断矩阵R,L如下：

运用公式(16)可得：

ω1=[0.292 6, 0.546 6],ω2=[0.194 7, 0.261 6],

ω3=[0.104 0, 0.177 5],ω4=[0.087 8, 0.335 2]。

对区间数权重ω1,ω2,ω3,ω4进行两两比较得到一个可能度矩阵如下：

4 结语

文中主要针对群决策中决策者给出的偏好类型为区间积型互反判断矩阵的决策问题进行了研究。以PSO算法为基础，构造了一种新的模型对区间积型互反判断矩阵进行集成，最后通过数值例子进行分析，并与已有的方法进行了比较，进一步的说明了此模型的合理性和可行性。在今后的学习中，将该方法进一步的推广到解决关于区间加型互反判断矩阵和三角模糊数判断矩阵的群体决策问题。