基于外荷载修正的箱形梁横向内力分析

王晨光 张元海

(兰州交通大学土木工程学院, 兰州 730070)

箱形梁因其良好的受力性能及便于施工等优点而被广泛应用于现代桥梁工程中.在偏心荷载作用下，箱形梁横向受力特性显著，较大的横向内力往往在箱形梁顶底板与腹板相交处产生纵向裂缝，威胁到桥梁的安全运营.箱形梁横向内力的精确分析常采用平面框架法，即将三维空间结构简化为平面结构进行分析.赵品等[1]在模型试验的基础上，运用框架分析法对波形钢腹板单箱多室箱梁的横向内力进行了分析，结果表明，其顶板的横向内力随着腹板与顶板线刚度比的增大而减小.汪洋生等[2]将美国较早采用的计算矩形截面箱形梁横向内力的TYL法进行推广，分析了斜腹板箱形梁的横向内力.项贻强等[3]采用弹性支承连续梁法研究了多梁式钢-混组合小箱梁的横梁受力性能，该方法计算所得的控制截面横向内力与有限元计算结果的误差在10%以内.Lin等[4]对组合结构中混凝土桥面板与钢梁螺栓连接件在横向弯矩作用下的受力性能进行了研究.Rambo-Roddenberry等[5]采用有限元模型分析了护栏对活载作用下箱形梁横向内力的影响.Recupero等[6]建立了一种考虑纵向剪切变形与横向弯曲变形相互关系的分析模型，以便工程设计人员对箱形梁进行合理配筋.Stefanou等[7]研究了变截面箱形梁在偏心荷载作用下的横向弯矩，以变截面弹性地基梁挠曲微分方程与变截面箱形梁畸变微分方程之间的相似性为基础，提出了一种计算变截面箱形梁横向弯矩的一般方法.Kurian等[8-9]基于大量的三维有限元分析结果，提出了一种计算单室箱梁在车辆荷载作用下的横向内力修正方法.

目前，绝大部分文献采用平面框架法分析箱形梁横向受力特性时，均认为梁体是无限刚性的，而事实上梁体本身具有柔性，剪切变形是柔性体的宏观体现.为了使计算结果能够更加真实地反映箱形梁的实际受力状态，应考虑剪切变形.对外荷载进行修正，是考虑剪切变形对箱形梁横向内力影响的一种方式.

鉴于此，本文提出了一种考虑剪切变形影响的横向内力计算方法，为修正框架法分析箱形梁空间效应提供参考.

1 基于弹性支承梁法的外荷载修正

为了考虑剪切变形对支承反力的影响，在斜腹板箱梁底板上虚设沿跨度方向的弹性支承(见图1).图中，oxyz为形心主惯性轴坐标系；m(z)为作用在顶板上的任意连续竖向偏心荷载(一般将荷载折算为沿桥长的等代均布荷载或用正弦分布代替集中荷载).为了计算弹性支承反力，假设箱形梁梁底反力与梁的竖向位移成正比，即

p(z)=kbdy(z)

(1)

式中，p(z)为梁底反力；k为弹性支承的弹性刚度；y(z)为弹性支承梁的挠度；bd为箱梁底板宽度.

图1 弹性支承梁模型

沿梁跨度方向取一微段，作用在该微段上的力系如图2所示.考虑该微段单元的平衡条件可得

(2)

式中，V为作用在横截面上的剪力.

图2 微段的平衡力系

(3)

(4)

参数η直接反映了箱形梁与弹性支承的相对刚度，间接反映了箱形梁抵抗横向变形的能力.文献[10]探讨了箱形梁畸变理论中反映箱形梁抵抗横截面畸变变形能力的几何参数λ.参数η和λ具有相似的物理意义，且具有相同的量纲m-1.因此，可令

(5)

式中，Iwd为畸变翘曲惯性矩；Iwr为畸变框架惯性矩.

将式(5)代入式(4)，即可求出弹性支承箱梁的挠曲位移，进而由式(1)可求得弹性支承反力.在求解箱梁横向弯矩时，可根据竖直方向力的平衡条件，令作用在薄片框架上的集中荷载与该截面处弹性支承反力相等，以充分考虑箱梁的横向内力沿梁跨度方向的变化.

对于两端设置刚性横隔板的简支箱梁，横隔板的存在使得箱形梁两端截面不能发生横向变形，横向弯矩为零.因此，可认为作用在薄片框架上的外荷载为零，即弹性支承梁两端为刚性支承.此时，弹性支承梁的边界条件为

(6)

以箱梁上满跨作用均布荷载pu为例，通过求解微分方程(4)，并利用相应的边界条件(6)，可得弹性支承梁在两端刚性支承条件下的解为

(7)

令

(8)

则式(7)可写为

(9)

由式(1)可得作用在薄片框架上的外荷载q为

q(z)=puψ(z)

(10)

式中，ψ(z)为框架荷载修正系数.

修正外荷载的物理意义为，考虑梁端横隔板约束后，作用在刚性平面框架上的外荷载与由剪切变形引起的作用力之差，即为计算箱形梁横向内力的实际荷载.

当弹性支承梁两端的支承刚度不大于弹性支承的弹性刚度k时，即弹性支承的梁两端自由时，其边界条件为

(11)

当箱梁上满跨作用均布荷载时，式(4)的解为

(12)

此时，弹性支承梁的梁底反力p1=pu.式(12)表明，当弹性支承梁两端为自由边界条件时，作用在薄片框架上的外荷载与推广的TYL框架分析法中的外荷载相同，即本文方法可退化为推广的TYL框架分析法，此时ψ(z)=1.

2 框架分析

采用框架分析法求解箱形梁横向内力时，沿箱梁跨度方向截取单位长度的薄片框架，其横截面尺寸如图3所示.图中，A、B、C、D分别为箱室的4个角点；bw、bt、bd分别为箱室腹板、顶板、底板的长度；bf为翼缘板长度.在薄片框架底板角点处虚设竖向刚性支承，腹板角点处虚设侧向刚性支承，并将按弹性支承法计算得到的q(z)作用在顶板上，偏心距为e.通过计算得到支承反力和无侧移薄片框架弯矩后，释放虚设支承，并在相应位置处施加大小相等、方向相反的力.将由此引起的横向弯矩与无侧移框架的横向弯矩迭加，得到实际箱梁的最终横向弯矩.

图3 横截面尺寸与虚设支承

释放虚设支承后，作用在薄片框架上的反力可以分解成正对称荷载qs、水平反对称荷载qh以及竖向反对称荷载qv.薄片框架在反对称荷载分量作用下发生刚性扭转和畸变变形，在薄片框架各杆件上产生剪力差.薄片框架所受剪力差如图4所示.图中，V′t、V′d、V′w分别表示薄片框架的顶板、底板、腹板在刚性扭转作用下产生的剪力差；T′t、T′d、T′w分别表示薄片框架的上杆、下杆、腹杆在畸变作用下产生的剪力差.根据箱形梁刚性扭转理论，箱形梁横截面上的剪力流具有连续性，可得

(13)

图4 框架的剪力差荷载

在反对称荷载作用下，薄片框架发生横向变形时，顶板和底板上的反弯点必在其中点处，此处的内剪力用Qt、Qd表示，腹板上反弯点处的内剪力用Qw表示(见图5).假设腹板上的反弯点使其上下两部分的长度之比为1/ζm，其中ζm为与箱梁横截面尺寸有关的系数.根据内剪力和释放虚设支承后反对称荷载的平衡关系，可得

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(14)

(15)

图5 框架内剪力示意图

由薄片框架角点处弯矩平衡条件，可得各板件内剪力之间具有如下关系：

(16)

(17)

由于薄片框架是左右对称图形，其反弯点必位于顶板和底板的中点处，反弯点处弯矩为零.因此，在计算箱形梁畸变变形时，取1/2结构进行分析，建立如图6所示的计算模型.当采用文献[2]中的模型进行分析时，内外力系并不能满足平衡条件.

图6 框架计算模型

如图5和图6所示，根据内剪力Qt、Qd和等效外力荷载F在竖直方向的平衡条件可得

F=Qt+Qd

(18)

将式(16)、(17)代入式(18)可得

(19)

在等效外力荷载F的作用下，薄片框架发生畸变变形，角点A和D移至A′和D′处(见图7).小变形情况下，腹板转角γ3≈0.用ΔAy、ΔDy分别表示横截面上角点A和D在横截面发生变形时的竖向位移，则薄片框架顶板和底板的转角γ1、γ2分别为

(20)

(21)

图7 框架变形图

由几何关系可得框架发生变形时角点A和D的相对转角γA、γD分别为

γA=γ1-γ3≈γ1

(22)

γD=γ2-γ3≈γ2

(23)

箱形梁横截面产生畸变变形时，角点A、B、C、D分别移至A′、B′、C′、D′处，如图8所示.图中，γ01、γ02、γw分别为顶板、底板、腹板产生畸变变形时的转角；Δh1、Δh2分别为横截面产生畸变变形时角点B、角点D的竖向位移；θ为腹板倾角.根据箱形梁畸变理论，顶板、底板、腹板的面内位移Δt、Δd、Δw分别为

(24)

图8 框架畸变变形图

(25)

(26)

求得各板件面内位移后，根据图8所示的几何关系，可以得到箱形梁各角点处畸变角与面内位移之间的关系式为

(27)

(28)

(29)

由框架位移与畸变位移的协调关系得

γ01+γw=γA

(30)

γ02+γw=γD

(31)

将式(30)与式(31)相加，并代入式(22)、(23)可得

γ01+γ02+2γw=γ1+γ2

(32)

将式(20)～(21)、(27)～(29)代入式(32)可得腹杆上的内剪力Qw为

(33)

式中

式中，ζ1为箱梁横截面尺寸系数.

联立已经建立的8个独立方程，即式(13)～(17)、式(25)～(26)、式(33)，可求得释放虚设支承后反对称荷载引起的横向弯矩，再与无侧移框架的横向弯矩相叠加，便可得到最终的横向弯矩.

3 数值算例及参数分析

图9为24 m铁路标准跨简支箱形梁的横截面简图.该箱形梁采用C50混凝土，弹性模量E=34.5 GPa，泊松比μ=0.17.箱形梁顶板、底板、腹板的原度分别为0.30、0.30、0.46 m.双线铁路的线间距为4.6 m，轨枕宽度为2.8 m.箱梁端部设置了内横隔梁，其厚度为1.2 m.为便于计算，将单线ZK标准活载简化成沿跨度方向的竖向偏心均布荷载q2=28.67 kN/m2，其沿横向的分布宽度为2.8 m，均匀地由轨道板传递到箱梁上.横截面上设置计算点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.

图9 24 m标准跨简支箱梁横截面简图(单位：cm)

横截面高宽比对箱形梁横向内力的分布规律具有较大影响.图10为横截面上计算点Ⅰ处的横向弯矩随不同高宽比的变化曲线.图中，b为箱室顶板宽度.在分析过程中，保持箱形梁的顶、底板长度不变，通过改变梁高来实现高宽比的变化.由图可知，箱形梁横向弯矩在跨中横截面最大，向梁端处逐渐减小，且横向弯矩随高宽比的增大而逐渐减小.当h/b<1.5时，横向弯矩的降低幅度较大，且在远离跨中截面处以较快的速度衰减；当h/b>1.5时，横向弯矩降低幅度较小，且在箱形梁跨中大部分范围内基本保持不变.这是因为当箱形梁横截面高宽比较小时，剪切变形对箱形梁横向内力的影响较大；而当横截面高宽比较大时，梁体刚度越大，剪切效应逐渐减小.因此，对于高宽比较小的箱形梁，应考虑剪切变形的影响.

图10 计算点Ⅰ处横向弯矩随高宽比变化曲线

图11给出了分别采用推广的TYL框架分析法和本文方法计算所得的作用在不同横截面处平面框架上的外荷载.由图可知，采用推广的TYL框架分析法计算箱形梁横向内力时，作用在各截面处平面

图11 不同横截面处作用在平面框架上的外荷载

框架上的外荷载均相等，而本文方法计算得到的修正后的外荷载在跨中截面最大，靠近梁端时逐渐减小.

表1列出了计算点Ⅰ处分别按照本文方法、推广的TYL框架分析法与ANSYS有限元法计算所得的不同横截面处的横向弯矩(以框架内侧受拉时为正).由表可知，本文方法计算得到的各计算点处横向弯矩与有限元计算结果吻合良好，计算误差均小于10%.而采用推广的TYL框架分析法与有限元计算结果相差较大，尤其在远离跨中截面处，最大误差可达218.9%.由此表明，本文方法可以较好地分析剪切变形对本例箱形梁横向内力的影响.

表1 计算点Ⅰ处横向弯矩 kN·m/m

(a) 计算点Ⅰ

(b) 计算点Ⅱ

(c) 计算点Ⅲ

图12为不同计算点处横向弯矩沿梁长的变化曲线.推广的TYL框架分析法在计算箱形梁横向内力时采用刚性平面框架，忽略剪切变形对平面框架的影响，故计算所得的箱形梁横向弯矩沿梁跨方向变化幅度较小，仅在靠近梁端处迅速减小.采用本文方法计算所得的箱梁横向弯矩与有限元计算结果沿梁跨方向具有一致的分布规律.

4 结论

1) 采用弹性支承模型对作用在薄片框架上的外荷载进行了修正，以考虑剪切变形对箱形梁横向弯矩的影响.数值算例结果表明，与有限元计算结果相比，采用本文方法计算24 m铁路标准跨简支箱形梁全梁各横截面横向弯矩的计算误差均小于10%.

2) 对本文算例的分析结果表明，横向弯矩随高宽比的增大而逐渐减小.当高宽比小于1.5时，剪切效应显著，横向弯矩降低幅度较大，且在远离跨中截面处以较快速度衰减；而当高宽比大于1.5时，横向弯矩降低幅度较小，在箱形梁跨中大部分范围内基本保持不变.

3) 按本文方法计算所得的24 m铁路标准跨简支箱形梁横向弯矩沿梁跨方向的分布与有限元计算结果吻合，较好地反映了箱形梁横向内力的分布规律.