沥青混合料级配分形分析与路用性能研究

李胜

(湖南省交建工程集团有限公司， 湖南 株洲 412007)

分形理论旨在对自然界中不稳定、无序、非平衡状态目标的自相似程度、不规则程度进行定量分析，在不规则材料描述方面，分形理论比传统几何语言具有更大的优越性。沥青混合料组成成分相似，具有一定的自相似性，满足分形理论对研究目标的基本原则，可利用分形理论对沥青混合料进行分析。

1 分形理论简介

在几何数学中，n段长为r的线段可组成长为1的直线段，即n×r=1；n个边长为r的小正方形可组成面积为1的正方形，即n×r2=1；n个体积为r的小正方体可组成体积为1的正方体，即n×r3=1。可见，传统几何数学中，r的幂次D即为几何体的空间维数，可表示为：

(1)

在海岸线长度测量过程中，若尺子长度为r1，度量次数为N1，则海岸线长度L1≈N×r1；若尺子长度为r2(r2N1)，则海岸线长度L1≈N×r1；若尺子长度为rn，度量次数为Nn，则海岸线长度Ln≈N×rn。由于度量过程中忽略了度量尺中间的曲线长度，最终海岸线度量值L1

lgL∝blg(1/r)

(2)

设尺子长为r，度量次数为n，则海岸线长L=n×r，得：

(3)

lgL=lgn+lgr

(4)

由上述公式可推出D=1-b(b为海岸线长度与测量精度之间的比例关系，从某种意义上说是两者在坐标图上对应关系的斜率)，得：

(5)

若D=1，则海岸线在传统几何学意义中表现为光滑曲线，L=L0；若r=L0，则L=L0；度量尺长r趋向于零时，海岸线长L趋向于无穷大，此时采用传统几何学将无法对其进行准确描述，亟待寻求其他参数进行表征。

分形理论突破传统几何学中空间维数为整数的界限，提出分维空间的概念，分析自然界中无规则又自相似的物体。将式(5)推广，可得：

A(r)=A0(r/rmax)E-D

(6)

式中：E表征研究目标的空间维数，E=0时，研究目标为点，A(r)和r表征研究目标点的个数；E=1时，研究目标为线，A(r)和r表征研究目标的长度值；E=2时，研究目标为面，A(r)表征研究目标的面积，r表征研究目标的长度；E=3时，研究目标为立体，A(r)表征研究目标的体积，r表征研究目标的长度；A0为E=D时A(r)的值；rmax为码尺最大长度；D为分维数。

具有无规则又自相似性的形态广泛存在于自然界中，如山川、云朵等。分形理论认为，若所研究目标满足式(6)，则研究目标可采用分形维数D来度量其空间结构的无序程度，即式(6)可看作分形理论的数学表达式。

根据相关研究成果，集料粒径、沥青混合料传统设计理论均具有一定分形特征，可采用分形理论表达式表征。集料粒径分布的分形表达式如下：

(7)

级配分形函数的分形表达式如下：

lgP(x)∝(3-D)lgx

(8)

N法的分形表达式如下：

lgP(x)∝nlgx

(9)

I法的分形表达式如下：

lgP(x)∝-3.32lgilgx

(10)

K法的分形表达式如下：

lgP(x)∝-3.32lgKlgx

(11)

粒子干涉理论的分形表达式如下：

(12)

贝雷法(PCS为第一控制筛孔、SCS为第二控制筛孔、TCS为第三控制筛孔)的分形表达式如下：

(13)

(14)

(15)

由式(9)～(15)可知：各级配理论均具有一定相通性。这是因为无论何种理论，其最终目的都是使沥青混合料内部组成结构更合理，表现出更优良的路用性能。

2 矿料级配设计

2.1 粗集料逐级填充试验

对单一粒径粗集料进行逐级填充分析，可得到各档粒径材料对混合料整体的影响效果。采取逐级填充的方式对所组成的混合集料进行密度试验，同时参照土工CBR试验进行承载比试验。以密度与承载比试验结果作为评价依据，得出粗集料内部各粒径集料最优比例构成。试验流程见图1。

由图1可知：混合料最大密度与最大承载比并未同时出现，若仅以最大密度作为级配设计最终目标，级配各项性能难以达到最佳状态，仍存在较大优化空间。

图1 逐级填充试验的流程

对试验确定的8个不同内部组成比例的粗集料进行编号，通过式(5)分别计算其对应的分形维数，计算结果见图2、图3。

由图2～3可知：随着粗集料分形维数Dc的增加，密度与承载比均呈现先增大后减小的趋势。推荐粗集料分形维数取值范围为1.09～1.388 5。

图2 密度与Dc的关系

图3 承载比与Dc的关系

2.2 细集料逐级填充试验

胶浆理论认为，细集料在沥青混合料中主要起填充作用，为使细集料对粗集料骨架间隙填充效果达到最佳，细集料内部空隙率应足够小。对细集料进行逐级填充试验，使细集料达到最大密实状态，并对该状态下细集料内部各粒径分布进行分析。试验流程见图4。

图4 细集料逐级填充试验的流程

通过细集料逐级填充试验，可得到细集料达到最大密实状态时细集料各档的通过率。对各筛孔尺寸与对应的通过率取对数后建立坐标系，并进行线性拟合，求得其回归方程为lgP(x)=0.474lgx+1.730 96，相关系数R2=0.973，二者之间拟合度较高。根据式(5)，此时细集料分形维数Df=3-kf=2.526 2(kf为细集料回归曲线的斜率)。

2.3 粗、细集料混合比例的确定

控制关键筛孔4.75 mm通过率为30%，将前文所得各粗、细集料进行混合料，得到8组内部组成不同的矿质混合料。分别对8组混合料进行密度与承载比试验，试验结果与其分形维数计算值D′的关系见图5、图6。

图5 密度与分维数D′的关系

图6 承载比与分维数D′的关系

由图5、图6可知：随着分维数的增大，密度整体呈现增大趋势，矿质混合料逐渐趋向于密实；承载比整体呈现减小趋势，混合料骨架作用越来越强。

2.4 最佳沥青用量的确定

通过马歇尔试验确定各组矿质混合料的最佳油石比，计算最佳油石比下各档粒径集料的通过率及对应的分形维数D，结果见表1。

表1 最佳油石比下各档集料通过率及分维数

3 沥青混合料的路用性能

3.1 高温稳定性

釆用车辙试验与单轴贯入试验对比研究上述沥青混合料的高温性能，试验结果见表2。动稳定度、无侧限破坏荷载与分维数D的关系见图7。

表2 沥青混合料车辙试验与贯入试验结果

由图7可知：沥青混合料动稳定度与无侧限破坏荷载的相关性较好，同一级配动稳定度大，则其破坏荷载较高。随着分维数D的增大，动稳定度及无侧限破坏荷载均小幅下降。究其原因，分维数D越大，混合料越密实，混合料中粗集料的骨架效应降低，表现为沥青混合料高温性能小幅下降。

图7 沥青混合料级配与高温稳定性指标的关系

3.2 低温抗裂性

采用小梁弯曲试验进行沥青混合料低温稳定性研究，试验结果见表3。

表3 沥青混合料低温弯曲试验结果

由表3可知：通过逐级填充试验所确定的沥青混合料均具有良好的低温稳定性能，且随着分维数D的变化，混合料的低温性能变化较小。D值较小时，混合料骨架结构较理想；D值较大时，混合料中沥青胶浆含量较多。因此，不同分维数的沥青混合料均表现出良好的抗低温性能。

3.3 水稳定性

水稳定性是指沥青混合料抵抗水损害的能力，常用试验方法有浸水马歇尔试验与冻融劈裂试验。以浸水马歇尔试验评价所设计沥青混合料的水稳定性，结果见表4。

表4 沥青混合料水稳定性试验结果

由表4可知：各级配沥青混合料均具有良好的水稳定性能，且与分维数D具有较好的相关性。随着D的增加，沥青混合料的残留稳定度呈上升趋势。表明混合料中各粒径集料越密实，其抵抗水损害的能力越强。

4 结论

(1) 传统级配设计方法可采用分形表达式表征，传统级配设计方法均具有分形特征，采用分形理论进行沥青混合料级配设计具有一定的可行性。

(2) 混合后的粗集料密度最大与承载比最大时对应的各粒径组成比例不尽相同，在级配设计中仅以最大密度作为设计目标难以使矿质级配达到最优，有必要进行优化。

(3) 粗集料分维数Dc与密度之间存在良好的相关性，随着Dc的增大，集料密度与承载比先增大后减小，推荐粗集料分维数的取值范围为1.09～1.388 5；细集料分维数Df为2.526 2时，可得到最大密实度的细集料混合料。

(4) 沥青混合料的分维数D与其路用性能之间存在良好的相关性，进一步证明分形理论在级配设计中的可行性与优越性；综合考虑沥青混合料各项路用性能，混合料分维数的取值范围为2.538～2.550 5。