提升数学教育硕士教学设计水平途径——以“单项式除以单项式”教学设计为例

淮北师范大学数学科学学院(235000) 盖荣倩 张 昆

弗赖登塔尔说,“为教好学生数学,就要懂得怎样教”,即对一名数学教师来讲,知道“如何教”比“教什么”更为重要,这就要求各大高校在培养未来数学教师的过程中投入更多的精力[1]. 随着硕士研究生的扩招,相信过不了多久,教育硕士研究生将会成为各中小学的主要师资力量,由于他们即将扮演的是千千万万中小学生数学学习过程中方向标的角色,因此数学教育硕士教学设计水平的提升将会是当今社会需要着重关注的热点问题. 那么,数学教育硕士的教学设计水平如何才能得到提升呢?

1 教学设计水平提升的具体途径

教学设计是数学教学的呈现方式[2],好的教学设计直接影响数学课堂实施效果. 数学教学设计是教师将教材中的数学知识点通过合适的教学法投射到学生认知结构中的过程设计,因此数学教育硕士在进行具体知识点的教学设计时需要很好地兼顾教材分析、学情分析、教学法分析三者之间的关系,其中,教材分析是构成数学教学设计及其课堂实施的逻辑起点[3],学情分析是在教材分析的基础上仔细推测学生在学习某具体知识点时心理活动的起承转合历程,二者整合的结果构成了教学法分析的基础,显然以上三种分析过程也是教学设计的形成过程.

苏格拉底在“产婆术”中通过向学生提出问题来引导学生自己进行思考并得出结论,同样在进行教学设计时,数学教育硕士也可以通过设置问题来使教学达到启发学生思考的最优效果,其中最关键的一步便是设置合适的“初始问题”(所谓“初始问题”是教师为引导学生认识某个知识点而提出的适合学生本阶段认知结构和心理活动的问题),“初始问题”的提出又源于“合适根据地”(学生认知结构中已经存有的组织具体发生新数学知识的合适素材的那个特定旧数学知识点,称为“根据地”,其中将那种最适合于具体素材的“根据地”称为“合适根据地”[4])的确立,如何确立“合适根据地”呢? 这就需要数学教育硕士在了解教材具体知识内容、整体知识结构以及学生心理活动特点的基础上选择合适的教学法,才能找到学生学习某具体数学知识点的“合适根据地”,设置合适的“初始问题”,以提高教学设计的有效性,达到的较高层次的教学设计水平.

然而,“纸上得来终觉浅, 绝知此事要躬行”, 本次研究若只是用理论描述而不用具体教材进行分析体现,难免会显得苍白,很难达到预期的效果,故这里选择了人民教育出版社出版的《义务教育教科书·数学》(以下简称“人教版教科书”)和上海科学技术出版社出版的《义务教育教科书·数学》(以下简称“沪科版教科书”)中的同一知识点“单项式除以单项式”进行分析比较,可以发现: 在引入新课方面,人教版教科书通过“计算12a3b2x3÷3ab2”的问题引入新课,沪科版教科书是以思考题“怎样计算15a4b3x2÷3a2b3”引入新课, 二者都是以单项式除以单项式的具体问题引入新课;在教学方法方面,二者都是引导学生把“单项式除以单项式”转化为“单项式乘以单项式”,从而得到问题结果;在归纳总结方面,二者也都是充分发挥学生的感性思维,引导学生观察所得等式存在的规律,最终得到运算法则. 可见,以上两版教材在整体知识内容安排上差异较小,故笔者最终选择了沪科版教科书七年级下册“单项式除以单项式”这一教学内容为例,展示“数学教育硕士教学设计水平提升”的具体过程.

2 教学设计水平提升过程

为方便本次研究过程的呈现,这里将数学教育硕士教学设计水平提升的具体过程分为三个阶段: 初步阶段——寻找“合适根据地”设置“初始问题”;提高阶段——启发学生萌生数学观念生成数学方法;完善阶段——关注学生主体性完善教学设计. 下面依次分阶段进行分析.

2.1 初步阶段: 寻找“合适根据地”设置“初始问题”

教育硕士们经过思考,基于教材中所给的思考题“怎样计算15a4b3x2÷3a2b3? ”对“单项式除以单项式”进行教学设计并发表观点,现将主要内容实录如下: (下文中所提到的“教硕”是指学科教学(数学)专业在读教育硕士,分别用数字1-5 进行标记区分)

教硕1: 先引导学生将“单项式除以单项式”转化为“单项式乘以单项式”, 即( )·3a2b3= 15a4b3x2, 再分别列出( )×3 = 15,( )×a2= a4,( )×b3= b3,( )×1 = x2对学生进行启发, 学生可以比较容易地得到括号里分别填5,a2,1,x2,从而得到单项式为5a2x2,即15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

教硕2: 学生在小学阶段已经学习过分数,知道分数线具有除号的作用,因此教师可以引导学生将“单项式除以单项式”转化成分数的形式,即利用学生认知结构中已经存在的约分思想,把本节课的知识同化到他们已有的认知体系中去,从而促进学生认知结构的建立.

注: 以上两位教育硕士的教学法都源于教材分析中的宏观分析,关注点在于知识点与知识点之间的联系,把学生思维限制在某个单元中,这只是学生认知结构中的“根据地”,但并非“合适根据地”,不利于学生真正理解数学知识发生、发展过程的实质. 作为一名数学教师,要想找到学生学习某具体数学知识点的“合适根据地”,就要学会运用教材分析中的微观分析,分析每一个要素的功能、作用.

教硕3: 引导学生将“单项式除以单项式”转化为“单项式乘以单项式”(学生之前已经学过的知识),即( )·3a2b3=15a4b3x2,考虑到存在教师所教授班级的学生数学基础较差,不能观察出括号内应填单项式的情况,教师可以告诉学生运用待定系数、待定指数法的思想提出假设: 设括号里的单项式为kambnxp,从而得到kambnxp·3a2b3=15a4b3x2,通过列方程3k =15,am+2=a4,bn+3=b3,xp=x2求解可以得到k =5,m=2,n=0,x=2,由于b0=1,故括号里的单项式为5a2x2,最终得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2. 具体如图1(所设计成的PPT 进行了相应的压缩,下同).

图1

通过以上案例可以看出,当数学教育硕士教学设计水平处于初步阶段时,教硕1 和教硕2 的观点只是以之前学习的知识点为“根据地”将教材中的新知识传递给了学生,在这个过程中对学生思维意识的培养产生了较小的影响,也就是说,这种教学设计仅仅只是针对特定知识点进行设计,并没有贯穿学生数学学习的全过程. 但值得肯定的是,教硕3 的观点在前两者的基础上有了很大的创新,他运用待定系数、待定指数法的思想(“合适根据地”)进行教学设计,能够激发学生数学思维的火花,具有很好的数学教学价值,在实际数学教学中,数学教师们所缺少的就是这种能够提高学生数学思维能力的教学法. 可见,基本数学思想不会白纸黑字写在教科书上,而是蕴含在数学知识的形成、发展过程中,蕴含在数学问题的剖析、解决过程中,教学中教师要能够透过知识看思想,通过合理设计,引导学生逐步感悟数学思想[5].

2.2 提高阶段: 启发学生萌生数学观念生成数学方法

在初步阶段中,教师只是引导学生运用待定系数、待定指数法的思想求出了特定的单项式除以单项式的值,但并未扩展到全部单项式除以单项式的求解方式,即运算法则. 难道学生在今后遇到这种问题时依旧要运用这种比较繁琐的方式进行求解计算吗? 显然,这是不现实的. 因此,教师在帮助学生找到“合适根据地”的同时,也要启发学生萌生数学观念,生成数学方法,即引导学生总结归纳出“单项式除以单项式”的运算法则,以便于学生在今后的学习中能够直接使用.因此,教育硕士们经过思考与讨论,对这个知识点的教学过程做了进一步补充.

教硕4: 在教硕3 教学实施所得到的结果15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2基础之上,引导学生观察系数、同底数幂分别在被除数、除数、商三个位置上的关系(学生之前已经学习了同底数幂的除法法则). 先观察系数15÷3 = 5,再观察同底数幂a4÷a2=a2;b3÷b3=1,学生可以发现: 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式;另外,还剩下字母x 这种特殊情况未被描述,教师可以引导学生分析x 只出现在被除式和商中,最终总结得出: 对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 具体如图2.

图2

通过以上案例可以看出,当数学教育硕士教学设计水平处于提高阶段时,教硕4 能够在教硕3 的教学基础之上进行补充,引导学生把之前所学的知识点自然而然地运用到对当前知识点的理解过程中,学生不仅对前面所学的知识点进行了复习巩固,加深印象,而且能将前后知识点联系起来,把新知识纳入自身已有的认知结构中去,促进了对新知识的理解;此外,在教师的引导下,学生通过观察总结出“单项式除以单项式”的运算法则,更能加深其对这个知识点的记忆,应用起来也更得心应手. 可见,本阶段数学教育硕士能够相对完整地完成某个知识点的教学设计,但在某些细微之处还存在问题,例如: 板书设计不规范、重难点突出不明显、一味灌输数学思想等方面,还需要进行进一步修改和完善,才能更好地完成这个知识点的教学设计.

2.3 完善阶段: 关注学生主体性完善教学设计

针对上述两个阶段教学实施过程中出现的一些问题,教育硕士们对“单项式除以单项式”的教学设计进行了思考与完善,最后,由教硕5 进行教学演示,具体教学过程如下:

首先,教师带领学生一起分条回顾“单项式乘以单项式”的运算法则,并进行板书(板书的必要性在于防止数学基础较差的学生无法回忆起这个知识点,从而跟不上课程节奏),自然地引出“单项式除以单项式”的课程内容;

其次,运用教材中所给的思考题: 怎样计算15a4b3x2÷3a2b3? 引发学生思考, 显然, 学生之前没有学过“单项式除以单项式”的运算法则, 无法进行计算, 这时教师可以提示学生“除法是乘法的逆运算”并简单举例示范, 引导学生将“单项式除以单项式”转化为“单项式乘以单项式”, 即( ) · 3a2b3= 15a4b3x2, 接下来, 教师引导学生猜想: 括号中可能包含哪些元素?[6]学生可以比较容易地得出元素的集合为: 系数, 字母a,b,x(提示: 商中的元素不可能比被除式中的元素多) , 此时, 教师可顺势引导学生运用待定系数、待定指数法的数学思想提出假设: 设这个单项式为kambnxp(在初步阶段中, 教硕3 是采用灌输式教学法直接告诉学生待定系数、待定指数法的数学思想, 并没有对学生进行适当的引导, 很难形成学生自己的数学思维意识) , 从而得到kambnxp· 3a2b3= 15a4b3x2, 再通过列方程3k = 15,am+2= a4,bn+3= b3,xp= x2求解可以得到k = 5,m=2,n =0,x=2,由于b0=1,故括号里的单项式为5a2x2,最终得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

最后, 教师引导学生观察得到的式子15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2(考虑到部分数学基础较差的学生可能无法找到观察的切入点, 因此教师可以提示学生主要观察系数、同底数幂分别在被除数、除数、商三个位置上的关系,并以“单项式乘以单项式”的运算法则格式为参照),先观察系数15÷3 = 5,学生可以发现: 系数的商作为商的系数;再观察含有同底数幂的两组等式a4÷a2=a2;b3÷b3=1,学生可以发现: 同底数幂的商作为商的因式(此前学生已经学习过同底数幂的运算法则);另外,还剩下字母x 这种特殊情况未被描述,教师可以引导学生分析x 只出现在被除式和商中,最终教师引导学生总结出: 对于在被除式中含有的字母,连同它的指数一起作为商的一个因式. 具体如图3:

图3

本阶段教学设计相比较前两个阶段主要从以下三个方面进行了完善: 首先,在PPT 设计方面,更加简洁明了,学生能够据此明确本节课的重点和难点,便于形成清晰的认知结构体系;其次,在数学思想引入方面,将“直接告诉学生”的灌输法转变为“让学生自己去猜想、假设”的引导法,充分体现了学生是学习的主体,教师是学生学习的引导者. 最后,在归纳运算法则方面,给学生一些提示进行引导而不是直接告诉学生现成答案,为学生的观察活动提供了很好的切入点,同时也照顾到了数学基础较差的学生,充分体现了数学教学要面向全体学生. 以上完善之处尽显义务教育数学课程标准的课程基本理念,有利于激发学生对数学学习的兴趣,使学生理解和掌握基本的数学知识和技能,体会和运用基本的数学思想和方法,获得基本的数学活动经验[7].

3 结语

在“数学教育硕士教学设计水平提升”的整个过程中,数学教育硕士从教材的宏观分析转变为微观分析,从教数学知识转变为教数学思想,从讲授式教学法转变为启发式教学法,在这个过程中不仅找到了适合学生学习某具体数学知识点的“合适根据地”,引导学生主动去探索数学新知,还将数学思想贯穿于课堂教学的全过程,启发学生数学思维意识,从整体上看教学设计水平呈现出一种逐步上升的趋势. 可见,数学教学设计是一门艺术,需要教师用心钻研教材,深入了解学生的认知结构和心理活动特点,仔细推敲学生在学习某一特定知识时心理活动绕不过去的关键环节,在教学中加以铺垫、渲染、烘托,启发学生进行猜想和假设,形成自己的认识和理解,从而激发学生的数学学习兴趣,发展学生的数学思想,触动学生的数学灵感,更好地启发学生数学思考,进而优化思维素质,提高解决问题的能力[8]. 唯有如此,数学教育硕士才能真正提升教学设计水平.