数学文化视角下概念教学的实践与思考

缪凌颖

1问题的提出

随着中高考的改革，数学文化俨然成为关注热点，但受应试教育的影响，大多数教师认为，“数学文化的考察就是找一道古算题让学生做一做就行了，考试时直接看翻译，难度不大，要把精力放在其他地方.”可见广大教师对数学文化的理解存在一定的偏差，数学作为人类文化的重要组成部分，其价值囊括科学、应用、审美、人文四个维度，可见，数学不仅要有理性还应有人文性.《课标（2017）版本》指出：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.因此，数学文化融入教学的重要内涵就是数学学科素养的培育、数学史的合理渗透和数学活动的开展.

概念教学是数学教学的重要组成部分，想上好概念课不容易，因为数学概念的形成对学生抽象能力提出了较高的要求，而数学概念的抽象能力培养是伴随着相关活动经验的积累而逐步提高的，因此让学生充分参与概念的建构，感受数学概念形成和发展中的是非曲直，不仅能让学生感悟研究数学概念的一般套路，也对数学核心素养的发展和理性精神的培育大有裨益.2019年10月31日，在福建省蔡德清名师工作室组织的“数学文化教育教学”专题活动中，笔者有幸开设一节题为《认识二元一次方程组》的数学文化交流课，受到专家们的好评，认为学生活动真实高效、课堂文化氛围浓厚、关注学科素养发展等.如何让学生在概念学习过程中感受数学文化？如何让概念的探究与文化的渗透相得益彰呢？下面笔者结合课堂中的几个教学片断，谈谈数学文化视角下概念教学的实践与思考.

2数学文化视角下的教学实践与分析

2.1理解教材做好目标定位

在这节课的备课阶段，笔者翻阅了北师大版七年级、八年级、九年级的教材中与方程相关的章节，发现教材编写不仅体现螺旋上升式的理念，而且十分重视方程学习方法的渗透，体现为每一个方程章节都遵循认识方程——解方程——应用方程的学习顺序.其次，教材的单元设计也多处体现数学史的融合，例如，章前图的鸡兔同笼与教材中的牛羊问题，彰显历史性的同时又显得饶有趣味.另外，二元一次方程（组）是一元一次方程学习的后续与发展，对多元高次方程（组）、一次函数和不等式的学习起着承上启下的作用，而八年级的学生已经系统地学习过一元一次方程，对方程学习的一般过程有自己的体会，面对现实中的简单问题已经初步具备抽象建模的意识，这些相关知识与活动经验都为本节课开展类比学习提供了良好的基础，基于以上分析，确立如下的目标：（1）经历“历史趣题”的探究进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，进一步积累方程学习的活动经验;（2）经历二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念的形成过程，会判断一组数是否是某个二元一次方程组的解;（3）积极参与二元一次方程组应用的活动，通过与一元一次方程的对比，感受二元一次方程组的优越性.

2.2创设情境明确研究对象

好的情境是教学得以顺利开展的必备条件，情境创设通常有两个目的：一是回顾相关知识和方法，而是促使当前的问题情境与学生既有的认知结构产生关联或者冲突，从而激发学生的求知欲.所以情境的创设应成为知识生长的沃土，而选用数学史上的方程趣题来引入教学不仅能让学生经历抽象建模的过程又可以让学生再次感受方程是刻画现实世界数量关系的产物，体会方程的实用价值.

新课开始，笔者在简要介绍《孙子算经》以后，出示问题1：“鸡兔同笼问题”：今有鸡兔同笼，上有8头，下有26足，问鸡、兔各几何？要求学生用一元一次方程解答，继而以此题为例回顾一元一次方程的相关知识.接着追问，既然这个问题有两个未知量，若把鸡和兔的只数分别表示成x和y，又能列出怎样的方程呢？类似地，请学生设出两个未知量研究“欧几里得问题”——问题2：骡子和驴驮着酒囊行走在路上.为酒囊重量所压迫，驴痛苦地抱怨着：“你这么年轻，才比我多驮两袋.”听到驴的怨言，骡子说：“你为什么满腹牢骚，抱怨的应该是我才对呀！因为，如果你给我一袋酒，我负的重量就是你的两倍.”好心的数学大师，请告诉我，他们所负酒囊各有几袋？

教学分析通过对鸡兔同笼问题和欧几里得经典问题的思考，引导学生列出新方程，明确本节课的研究對象.这样的历史趣题，以动物对话的形式生动活泼地呈现问题情境，让学生在情境中找到探究之乐，体会现实应用价值，感受数学文化的魅力.

2.3抽象本质生成关键概念

数学概念的获得是观察、比较、分析、抽象、概括和辨析等一系列高阶思维活动的结果，在本节课的概念获得方式属于概念的同化，因此要遵循如图l的流程：

例如，在本节课探求二元一次方程及其解的概念的环节，教师先是提出问题3：观察上一环节所得到的4个方程x+y=8，2x+4y=26，x-y=2，x+1=2（y-1），这些方程和一元一次方程有什么区别？请尝试给它们下定义并说明理由.在组织学生讨论以后，学生代表1发言：我认为叫二元一次方程，因为它们都有两个未知数.生2补充：还要注意所含未知数的项的次数都是1.教师引导学生明确：方程定义有两个关注点——“元”与“次”，并出示问题4：x+y+z=5;xy=7;2m+n=4是二元一次方程吗？如果不是，应该叫什么名字？很快学生就达成共识：它们分别是三元一次方程、二元二次方程和二元一次方程.

紧接着，提出问题5：满足x-y=2，且符合实际意义的x，y值有哪些？请把它们填入表1.

学生填表后，教师追问这样的x，y值有几组？引导学生类比一元一次方程的解形成二元一次方程解的概念，另外，教师还请学生分享填表经验，让学生认识到可以先写出一个x的值或者y的值再根据一元一次方程确定另一个，不仅渗透了对应的思想而且与一元一次方程也建立了联系.

教学分析由两个数学史上的经典趣题探究引出二元一次方程，引导学生观察归纳方程的本质特征，将感性认知上升为理性认识，让学生借助一元一次方程的知识自我迁移形成二元一次方程的概念，以正反例的辨认来加深学生对“元”与“次”的认识，让学生深入理解概念的内涵，明确本质属性，体现了数学发展的科学性.问题5让学生尝试、感受二元一次方程的解的不确定性和对应思想为后续的《二元一次方程与一次函数》学习埋下伏笔.

二元一次方程组及其解的概念探究也是如此，限于篇幅不再赘述.

教学分析《九章算术》是中国古代数学的经典著作，对世界数学的发展产生了深远的影响，教师通过对它的介绍，让学生感受中国古代数学文化的实用价值并提升民族自豪感.利用两种设元方法用来引导学生思考“二次购物”问题，让学生经历两种方法的对比，明确二元一次方程组在面对复杂现实情境时的优越性，其直观的思维与简洁的表达让难点的突破变得十分自然，凸显了新知学习的必要性，体现数学因现实需求而不断扩充发展的文化.另外，经历列表尝试解方程组的过程使学生认识到其解法研究的必要性，为下节课二元一次方程组的解法教学留下悬念.

2.5整理反思纳入知识系统

学生畅谈收获，师生梳理形成知识网络.

最后教师以一首小诗小结本节课：鸡兔同笼各多少，牛羊携手直几金.二元方程通今古，抽象建模得始终.

教学分析以开放式和归纳式的小结来引导学生的自我反思，从知识、方法、文化价值上进行拓展和延伸，符合课堂的主题定位.教师以诗歌的形式引领学生一起回顾知识的发生过程，厘清知识之间的逻辑关系，点出学习方程的方法，将零散的知识纳入学生原有的认知结构，使课堂富有文学味.

3教学思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》中明确指出：二元一次方程（组）的教学应关注实际问题情境，体现建模思想，把实际问题情境的作为教学的出发点和落脚点.因此，作为二元一次方程（组）的概念教学应遵守从实际问题中抽象研究对象的学习方式，更能体现学习的意义.本节课概念多、任务重，容易出现概念浅表呈现的情况.因此教学必须从宏观处合理布局，利用数学文化背景下的实际问题情境、组织高效的课堂活动，使学生完整的经历概念的生成过程并厘清逻辑关系.

3.1立足相關概念的自然生成，发展数学的核心素养

章建跃博士认为：概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动.在概念形成的初始阶段一定要让学生充分观察归纳方程的本质特征，放慢教学节奏让学生用自己的语言描述，通过与认知结构中的一元一次方程比较，形成认知冲突，让类比学习自然生成.从现场反馈来看，学生不仅能抓住方程概念的灵魂——“元”与“次”而且迁移效果也很好.其次，针对于这种描述性定义的教学应充分让学生感受概念抽象过程中的直观与严谨，强调概念的辨析和应用的辅助作用，其他概念的形成也是遵循这样的流程.因此，二元一次方程相关概念的形成不仅是学生发展数学抽象、数学建模等核心素养的过程，更是教学生用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界的过程.

3.2彰显文理交融的文化特色，感受数学的人文魅力

固然数学的理性与逻辑令人折服，但这不代表数学课堂只能留下冷冰冰的推理与计算.让数学家、数学史、诗歌等这些富有人文气息的元素也融入课堂中，让文和理共同为提高学生的数学素养服务，从而实现文理的完美交融.这节课以《孙子算经》的鸡兔同笼来引出二元一次方程的相关概念探究，以《九章算术》的牛羊直金来感受其实用性，这些活动无疑让学生感到数学文化的魅力，有效提高学生的学习动机水平.从课后的学生问卷分析来看，有97.2%的学生认为数学史融入课堂对本节课的学习很有帮助，100%的学生认为数学史能有效提高学习兴趣.以诗歌的形式小结，有94.4%的学生感到印象深刻.因此，让学生感受数学的人文侧面，改变学生的数学观并欣赏数学的美妙之处.

3.3树立章节一体的教学观念，体会知识的理性关联

章节起始课是章节的剧情预告片，应做到既见树木又见森林，因此它所承载的任务不单是二元一次方程相关概念的认识，还应引起学生对方程的研究模式的思考，由一元一次方程的研究过程迁移到二元一次方程的研究过程，让知识的发生与应用显得水到渠成，这样的教学不仅避免了概念的单一化又能让学生体会新知与旧知之间的关联，逐步建立起章节的初步框架，丰富自身的数学概念系统.例如，本节课立足二元一次方程概念，在学生尝试求解的过程体会与一元一次方程之间的关系，在研究两个未知量间的关系时又感受到函数的对应思想.当然，遗憾的是对二元一次方程组的解法关联略显不足，从课后问卷统计中发现有5名学生表示希望教师多拓展关于二元一次方程组的解法.其实在牛羊直金问题上可以引导学生思考利用两组等量关系得到羊的单价分别表示y=8-2x/4，y=12-5x/2，而生3将其两者划等号就是“消元”的过程.

3.4落实学生活动的主体地位，营造和谐的课堂文化

课堂文化的是学生学习环境建设的重要内容，只有学生乐于思考、勇于表达、积极合作、和谐交流才能让深度学习真实发生.本节课立足于特定的学习任务情境，为学生创设阅读、观察、思考、辨析、交流等学习活动平台，在教师的组织下由学生自己去探索概念、去关联知识.例如，小老师上台讲解、古文翻译、自己谈学习体会等环节都很好地落实了学生学习的主体地位.而教师能稚化自己的思维和学生一起感受知识的发生，分享学习感受，以平等的姿态鼓励学生的学习，倾听学生的表达等，这些举措也为营造和谐的课堂文化做出了贡献.值得商榷的是对于“驴骡酒囊”情境中体现出的一种相互埋怨的情绪笔者的处理显得不够成熟，试着改变两者的身份，设计出一种互帮互助的情境可能会让德育的渗透显得润物细无声，实现人文教育与科学教育的和谐平衡.

4且行且思

总之，尽管数学文化的研究由来已久，但在初中数学课堂中的落实还有很长的路要走，两者的深度融合应成为广大教师的努力方向.只有当数学文化真正植根课堂，融入教学实践，数学才变得富有柔情和灵动;只有当数学文化成为人人认同的教育思想，数学课才能引领学生向求真、求善、求美的境界不断发展，真正实现立德树人的教育目标.