从一题多解中感悟椭圆斜率之积问题的多种背景

吴铭豪 黄立

1 问题来源

4解后反思

4.1点参线参，设而不求

对于圆锥曲线中动态背景下的定值问题，基本思路为设出参数来表示与待求目标相关的直线方程或点的坐标，再通过运算消去参数，证明结论.其中设线参和设点参是相同的，两种方法各有千秋，当设线的方程或者点的坐标不当时，可能会使计算过程复杂，导致半途而废.反之，设得巧妙时，能简化运算.设参时要善于发现图形中线与点之间的关系，并紧扣住引元消参的基本运算方向，从而达到事半功倍的效果.

4.2挖掘背景，高屋建瓴

本题具有双割线、相交弦的“蝴蝶型”模型特点，常常考虑到极点极线的背景，可将问题分解成先证过定点、后证定值的问题.在高考解析几何的解答题中，如果能挖掘题目的背景，就能有明确的解题方向.常见的背景有圆锥曲线的第一定义、第二定义、第三定义、垂径定理、中点弦、极点极线、阿基米德三角形、阿波罗尼斯圆、仿射变换等.

4.3特定方法，简化计算

在一些特定背景下，合理運用特定方法往往能简化计算.例如本题可运用点差法、仿射变换、二次曲线系、参数方程、双斜率齐次化等方法.除此之外，圆锥曲线中常用的特定方法还有：遇到定比分点时可运用定比点差法;求轨迹方程时可运用相关点法;遇到切线可用隐函数求导法等.

5结束语

总之，对于解析几何解题训练，苏联数学教育家奥加涅说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.”一些典型的背景和方法，往往是某类题目的题根，平时的训练中尝试地寻找这类试题的生长点、命题背景，探究题源，挖掘命题的题根，可以达到由例及类、触类旁通的目的.

（本文系2020年度福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《核心素养导向下的高中数学教学模式研究》（项目编号JSZJ20082），2021年度福建省电化教育馆教育信息技术研究课题《在线课程的建设与应用研究》（项目编号KT21127）阶段性研究成果）