光滑曲面点接触的理想约束推导1)

赵 振

(北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100191)

1 简介

经典力学中，分析力学采用理想约束的概念实现了对矢量力学的“降维”处理。而理想约束概念的形成也经历了相当长的历史[1]。从物体间相互作用的基本概念来讲，分析力学把矢量力学的“力”转变为“力” 在“约束” 上“做功”。如果所研究约束(组) 的约束力在系统任意虚位移上所做虚功之和为零，此约束(组) 成为理想约束(组)[2-4]。为了描述清楚理想约束，分析力学引入了虚位移的概念。虚位移建立在约束的概念之上，为给定瞬时，约束容许的任何微小位移，也可以采用两组在给定同一时刻、同一位形，且在相等时间间隔内完成的可能微小位移之差来给出[2，4]。如果约束为理想的，其约束力可以不出现在系统的动力学方程中，这样，系统就实现了简化。因此，判断约束是否为理想对于动力学系统的简化十分重要。

如果一个质点沿不含摩擦的光滑表面运动，此表面视作理想约束易于理解。然而，如果是两个外形光滑的刚体接触，判断接触是否能够视为理想约束并不“显然”。分析力学在讲述形状光滑的两刚性面保持点接触时，从接触点的可能微小位移在接触点法方向的分量相等的条件，推导出法向接触力为理想约束力；而纯滚动时，接触点的相对速度为零，可以推导出纯滚动时的接触力为理想约束力[1]。至于为什么接触点法向相对速度为零并不清楚。为了进一步明确接触时可能微小位移在接触点法方向的分量相等，以及接触点相对速度为零的条件，本文从两物体外沿保持点接触具有的几何特征出发[5-6]，推导上述结论。两形状光滑的刚性曲面保持点接触时的几何特征满足：

(1) 两个接触点具有相同的空间位置；

(2) 刚性面在接触点处相切。

本文从上述两个条件出发，给出无摩擦和纯滚动时接触力所做虚功为零的结论。

2 几何描述

如图1 所示。两曲面视为两个刚体的外沿，曲面参数坐标分别设为ξ1，ξ2和ζ1，ζ2。两曲面接触于C 点，记C1在刚体1 上，C2在刚体2 上。法向量n，切平面为T，坐标原点设为O。两曲面上点的位置总可以表示为r1(q1，q2，··· ，qn，ξ1，ξ2，t)和r2(q1，q2，··· ，qn，ζ1，ζ2，t)[5-6]，其中q1，q2，··· ，qn为曲面所在系统的广义坐标。根据接触的几何特征(1)，两个曲面，r1(q1，q2，··· ，qn，ξ1，ξ2，t) 和r2(q1，q2，··· ，qn，ζ1，ζ2，t) 接触于一点，接触点位置满足

图1 两曲面接触于C 点

由于接触点法向单位矢量为 n，根据几何特征(2)，接触点处满足

如果两个曲面保持点接触，式(1) 和式(2) 一直成立。可对式(1) 求导数，不仅考虑广义坐标的变化，还考虑接触点的变化，得

在每一时刻，接触点对应的物质点是明确的。在物质点不变的条件，即(ξ1，ξ2)和(ζ1，ζ2)不变，可以定义这两个接触物质点的相对速度为

把式(4) 代入式(3) 可得

由于式(2) 和式(5) 两边点乘n 可得

这样，我们从两形状光滑的刚性曲面保持点接触时的几何特征出发推导出接触点法向相对速度为零。下面就可按照分析动力学[1]中的推导过程，判断接触约束的理想性。

根据两个接触点的虚位移为任意两个等时可能微小位移之差，接触点相对虚位移为[2]

2.1 无摩擦

如果点接触无摩擦，接触力可以设为Fn1=λn，Fn2=-Fn1。接触力的虚功为

因此，根据式(6)，无摩擦时，形状光滑的两刚性曲面点接触的约束为理想约束。

2.2 纯滚动

如果点接触含有摩擦，但为纯滚动，接触点的相对速度除了法向满足式(6)外，切向速度也为零，即vτ=vr-vr·n=0，于是

设接触力FC1和FC2=-FC1。根据式(7)，它们的虚功之和为

因此，根据式(9)，纯滚动时，形状光滑的两刚性曲面点接触约束为理想约束。

3 结论

本文从两物体接触于一点所构成的共点相切的几何特征出发，推导出接触点相对法向速度为零，然后根据无摩擦和纯滚动的条件，进一步获得接触约束为理想约束的结论。相对于以往，本文推导过程的前提条件更加明确。