基于二叉树模型的农业可转债定价研究——以天康转债为例

方 欣，丁 胜，荀 晨，郭登倩

（南京林业大学 经济管理学院，南京 210037）

1 引言

可转换债券作为一种特殊的金融工具，同时拥有债权和股票的性质，并且两者可以转换。自从可转债诞生以来，国内外就开始了对可转债的定价研究，可转债的定价模型也应运而生。中国1992 年才首次发行可转债，可转债的定价研究也相较于国外稍晚些。

蒋殿春和张新（2002）通过二项分布定价即二叉树定价模型对可转债进行定价研究[1]；陈林轶（2010）对单个工商银行可转债进行了定价分析[2]；张春林和吴双胜(2011)对国内外可转债定价方法以及未来发展方向进行了分析[3]；王天宇（2015）以中国石化可转债为例进行二叉树定价分析[4]。

这些学者的研究都是基于二叉树定价模型对可转债进行研究，也有对单个可转债进行定价分析的，但基本上是金融板块的可转债，对农业可转债定价研究很少。农业是国民经济的基础，是我国的重要产业之一，农业可转债的定价研究也是需要我们研究的重点。本文基于先前学者的研究，以天康转债为例，运用二叉树定价模型对其进行定价研究，并推广至其他农业可转债。

2 二叉树模型应用于可转债

二叉树定价模型是在1979 年，由考克斯、罗宾斯坦、夏普和罗斯等人提出的[5]。由于其模型简单直观，不用过多计算就可以加以运用，所以被广泛运用在可转债定价研究中。本文采取该方法对农业可转债进行定价。

2.1 模型的假设

模型成立需要满足以下条件：第一，无风险套利的机会在市场中不存在；第二，无交易成本和税收；第三，投资者和发行人都是理性的，该模型只考虑可转债既不会赎回也不会回售的情形，所以投资者只有两种选择，要么转换成股票，要么还本付息。

2.2 模型参数的估计假设

首先我们假设t 为当前时刻，T 为到期时间，每经过一个时间段dt，股票价格会变动，分为上涨和下跌两种状态。其中，当前时刻t的股票价格为S，u为股票价格的上涨幅度，d为股票价格下跌的幅度。那么经过一个二叉树步数后，股票上涨后的价值为Su，下跌后的价值为Sd。假设以股票为标的的期权价值为f,那么当股价上涨，期权价值为fu，当股价下跌期权价值为fd。现假设存在一种证券投资组合，组合中有一个看涨期权的空头头寸和一个Δ 股股票多头头寸。那么根据以上参数，可以得到该证券投资组合的价值是：

在一个时间步之后，如股价上涨，则组合的价值为：

如股价下跌，则组合价值为：

无论股票价格处于上涨还是下降状态，证券组合的价格都是不变的，因此需要构造无风险组合。Δ的选择将决定组合的价格。因此应选择满足下述条件的Δ，如下：

因此对于上面建立的无风险组合，利用风险中性原理可得风险中性概率：

根据以上数据，我们可以得到我们在MATLAB中计算可转债价格需要的数据：

其中：r 为无风险利率；σ 为可转债对应股票价格的波动率；Δt为期权有效期的时间间隔；u为股票上涨幅度；d为股票下跌幅度。

图1 二步二叉树期权走势图

3 实证研究

天康转债是由天康生物股份有限公司发行的可转债。它的经营范围主要是农业相关的，如兽药、饲料的生产和销售、农畜产品的销售、食用农产品的销售等。

表1 天康转债信息

3.1 模型中各参数的确定

①r 为无风险利率。本文无风险利率选择了2019年中央银行五年期定期存款利率2.75%。

②σ为波动率，是可转债对应的标的股票价格的波动率。其计算公式为：股票年波动率=每交易日股价波动率方差×√每年的交易日数。通常情况下，选取的数据越多，那么预计的股票价格的波动率越精准，预测的可转债价格也越接近实际[6]。本文选取了目标股票天康生物最近的180个交易日（2019.7.8-2020.4.3）的每日股票收盘价为参考数据，计算出每日的收益率，运用stdev函数求出181个交易日的方差，乘上根号下的180个交易日，就得出了每交易日股价波动率，最后计算得出天康生物股票的年波动率为0.51。

③Δt 为期权有效期的时间间隔。本文将时间间隔设置为百分之一年，天康转债剩余年限为3.54年，那么它的二叉树步数为354步。

3.2 二叉树模型预测效果

所有数据搜集完毕，将数据代入二叉树模型中，用MATLAB 软件运行程序，可以得到2020 年4 月3 日天康转债的理论价格为180.69 元，当日实际价格为176.88 元，偏差不大。于是本文继续代入4月3日前30个交易日的数据，得出天康转债30个交易日的理论价格。运用折线图将理论价格与实际价格相结合，可以更加直观地看出两者的差异[7]。如图2所示。

图2 30个交易日理论价格与实际价格对比

可以看出通过二叉树模型计算出的可转债的理论价格与实际价格虽存在着一些偏差，但基本保持一致。同时我们将其他农业可转债运用二叉树模型进行定价。与求天康转债的理论价格的方法相同，选取2019年7月8日至2020年4月3日的股票收盘价数据，求出波动率。并根据各个可转债不同的剩余年限代入二叉树模型中，可以得到理论价格。并将求得的理论价格与2020年4月3日的实际价格进行对比。得到如下数据。

表2 农业可转债理论价格与实际价格对比

由表2可以看出，其他农业可转债理论价格与实际价格的对比，除宏辉转债外，其他五支可转债的理论价格与实际价格偏差不大。分析宏辉转债偏差加大的原因，可能是在我国实际的资本市场上，并不能完全满足模型的假设。如可转债价格的异常变动，很有可能是庄家操纵股价，从而使股价大幅度波动，偏离市场规律。这样的情况显然不能满足理想假设，才会使得理论价格与实际价格产生较大偏差。还有一个重要原因是在二叉树定价模型中，我们假设了股票上涨或下跌的概率p 是一个常数。但是市场中上涨或下跌的概率每时每刻都会变化，我们无法得到一个确切的数字。同时由于农业行业的特殊性，受到政府扶持力度较大，能够获得较多优惠政策[8]。相比其他行业，更加受投资者的青睐，所以农业可转债的理论价格与实际价格的偏差相比于其他行业会大一点。

由于这些原因导致二叉树预估的可转债理论价格与实际价格有所出入。要改善这一现象，需要对模型进行进一步优化，也需要政府加强对农业可转债的监管，让投资者对农业可转债的投资趋于理性。

4 结论与讨论

本文以天康转债为例，通过构建二叉树模型对其进行定价研究，可以得到2020年4月3日天康转债的理论价格为180.69 元，当日实际价格为176.88元，两者相差不大。为了更加直观地显示运用二叉树模型计算出的理论价格与实际价格的偏差，形成30 个交易日的理论价格与实际价格对比图，研究表明二叉树法得出的理论价格与实际价格基本一致。于是将二叉树定价模型运用到其他农业可转债中，除宏辉转债外，其他可转债理论价格与实际价格偏差不大。该方法能够较精准地为农业可转债定价。

发行可转债对于上市公司来说提供了发展空间和融资渠道，也为投资者提供了多种选择[9]。本文采用了众多学者采用的二叉树模型对可转债进行定价，但基本上采用二叉树模型对于农业可转债的定价很少，而研究农业可转债的定价问题能够提升农业上市公司的国际竞争力，避免由于套利机会的存在从而扰乱农业市场的均衡。

本文对农业可转债的定价研究在一定程度上对农业上市公司发行可转债提供了一定的指导作用，但由于市场上发行的农业可转债较少，本文研究的样本数据较少，可能存在一定的局限性[10]。以及我国的可转债市场不够成熟，市场机制还未建立完善，政策的改变会对农业可转债市场产生巨大的影响，所以本文所得出的结论具有一定的时效性。并且本文的定价模型的数据来源是以标的股票为主的，一般适用于标的股票价格能够准确反映其公司价值的可转债，忽略了从公司价值、经营管理方面对可转债定价的影响。因此，综合考虑可能影响可转债价格的各项因素，并将其代入定价模型中，从而提高模型的严谨性，是本文接下来研究的一个重点。