解三角函数问题构图三法

袁海泉

三角函数是中考的热点，其中一种常见题型是不给出直角三角形，需要构造出相应边、角所在直角三角形来求解. 现举例介绍解此类问题的三种构图方法，供同学们参考.

一、利用网格构图求解

例1（2020·四川·南充）如图1，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）.

A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]

解析：如图1，作BD⊥AC于D，設正方形网格边长为1，

由图1可得AB = [13]，∠BCD = 45°，∵BC = 1，

∴BD [=22]，∴sin∠BAC [=BDAB=2213=2626].

故选B.

点评：若∠BCD是非特殊角，则可利用勾股定理及等面积法求出BD.

二、类比构图求解

例2（2020·贵州·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，设AC = 1，则tan15° [=ACCD=12+3=] 2 [- 3]. 类比这种方法，计算tan 22.5°的值为（ ）.

A. [2+] 1 B. [2-] 1 C. [2] D. [12]

[A][D][C][B][30°][15°][图2][A][B][图3][D][22.5°][45°] [C]

解析：如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，

延长CB至点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，

设AC=BC=1，则AB=BD [=2]，∴tan 22.5° [=ACCD=11+2=2-] 1，

故选B.

点评：22.5°是特殊角45°的一半，利用题目提供的tan15°求法，可以类比构造双直角三角形来求解.

三、应用特殊角构图求解

例3（2020·广西·南宁）如图4，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40 n mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.

（1）渔船航行多远距离小岛B最近？（结果保留根号）

（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20[6] n mile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）

解析：（1）如图4，过B作BM⊥AC于M，

由题意可知∠BAM = 30° + 15° = 45°，则∠ABM=45°，

在Rt△ABM中，∵∠BAM=45°，AB=40 n mile，

∴BM=AM=[22]AB=20[2] n mile，

∴渔船航行20[2] n mile距离小岛B最近.

（2）∵BM=20[2] n mile，MC=20[6] n mile，

∴tan∠MBC=[MCBM]=[206202]=[3]，

∴∠MBC=60°，∴∠CBG=180° - 60° - 45° - 30°=45°，

在Rt△BCM中，∵∠CBM=60°，BM=20[2] n mile，

∴BC=2BM=40[2] n mile.

故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40[2] n mile.

点评：对于一个非直角三角形，已知其中的两角和一边，可过第三个角的顶点作高，将该三角形转化为两个直角三角形，再利用三角函数相关知识求解直角三角形.

（作者单位：江苏省兴化市临城中心校）