一类四阶常微分方程周期边值问题的正解

王天祥,李永祥

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1 引言

本文讨论四阶非线性常微分方程

正解的存在性,其中f:[0,1]×[0,+∞)×R3→[0,+∞)连续.该问题描述了静态弹性梁在周期边界条件下的形变,f中的未知函数项u表示梁形变的位移,u0表示隅角,u00表示弯矩,u000表示剪切力刚度.而在弹性梁模型中,只有正解才有实际意义.

四阶常微分方程周期边值问题在非线性振动,流体力学和非线性弹性现象等诸多领域有着广泛的应用,因而受到了许多学者的研究[1–16].主要应用的非线性分析的工具和方法有锥上的不动点指数理论 [1–3,6,16],Krasnoselskii不动点定理 [6,7,15],单调迭代技巧[4,5,9,12–14],拓扑度方法 [8]等.

对非线性项f不含导数项的简单四阶周期边值问题(PBVP),文献[1]中作者利用锥上的不动点指数理论获得了四阶周期边值问题

正解的存在性和多重性.文献[2]在周期边界下对四阶微分算子L4u=u(4)−βu00+αu在F4={u∈C4[0,1]|u(i)(0)=u(i)(1),i=0,1,2;u(3)(0)≥u(3)(1)}中建立了强极大值原理,并用锥上的不动点指数理论,在α,β∈R满足条件

时,获得了四阶周期边值问题(PBVP)

正解的存在性.文献[3]中作者利用锥上的不动点指数理论获得了四阶变系数周期边值问题

正解的存在性.

对非线性项f含有u00项的四阶周期边值问题(PBVP)

文献 [12]在上下解存在的情形下,利用Banach压缩原理,获得了周期解的存在性与唯一性.文献 [13]应用单调迭代方法在f(t,u,v)关于u,v满足单边Lipschitz条件时,获得了PBVP(1.6)解的存在性结果.文献[14]利用建立的新极大值原理和Fredholm抉择,用上下解方法获得了PBVP(1.6)解的存在性结果.文献[16]推广了文献[2]中的结果,用锥上的不动点指数理论获得了四阶周期边值问题(PBVP)

正解的存在性.以上工作讨论的均是非线性项f不含未知函数的导数项或仅含二阶导数项u00的特殊情形,而在较为复杂的弹性梁模型中,非线性项中可能会出现u0与u000.对非线性项f含有u0,u00,u000的完全四阶周期边值问题(1.1),未见有人研究.本文利用锥上的不动点指数理论,在允许非线性项f(t,x0,x1,x2,x3)关于x0,x1,x2,x3超线性增长的不等式条件下,获得了四阶周期边值问题(1.1)正解的存在性.

2 预备知识

记I=[0,1],R+=[0,+∞),C(I)表示定义在I上的全体连续函数按范数构成的Banach空间.

根据文献[2]中的引理3,微分算子Lu=u(4)(t)−βu00(t)+αu(t)在周期边界条件下满足极大值原理,且有下面引理.

3 主要结果