基于数学建模核心素养视角的数学测评研究

王雅妍 陆吉健

[摘  要] 中考是教育评价的综合体现，作为初中阶段较大规模的教育考试，有着重要的研究价值. 文章以杭州市近五年中考数学试题为例，进行基于数学建模核心素养的数学测评研究，分析了五套卷中数学建模核心素养的考查情况. 同时选取五套试卷中的典型试题进行分析，感受数学建模核心素养在试题中的具体体现.

[关键词] 数学建模核心素养;测评研究;典型试题

研究背景

我国《义务教育数学课程标准》（2011版）中首次提出了数学的10个核心概念，分别是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，而这10个数学核心概念相对应着高中六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算和数据分析. 其中数学建模作为六大核心素养之一，在我国初中数学的教学中发挥着十分重要的指导价值和现实意义. 数学建模起着承上启下的作用，学生通过数学建模更好地归纳所学知识规律，同时为数学素养的培育奠定基础[1]. 文章基于数学建模核心素养视角，以杭州市近五年中考数学试题为例进行针对性的测评研究.

对试卷结构与数学建模核心素

养的考查

1. 试卷整体结构

2017年至2021年，杭州中考数学试题满分均为120分，共23道题. 其中选择题10道，共30分;填空题6道，共24分;解答题7道，共66分. 试题中体现出许多核心素养元素，对学生的基础知识的掌握、解决问题的能力、探究问题的能力及逻辑推理能力有一定的考查.

2. 数学建模核心素养的考查

根据喻平的核心素养框架，针对数学建模核心素养划分为三个水平，即知识理解、知识迁移、知识创新三个层面，如表1所示.

通过以上水平划分，对五套试卷进行详细分析，从题目考查的内容知识点出发，综合评定试题考查的数学建模核心素养水平层次，并将题目对应分值进行划分[3]. 最后对杭州市近五年数学中考试题中数学建模核心素养水平值进行标定. 由于近五年杭州市数学中考试题数量较大，无法一一列出，在此选取杭州市2021年数学中考卷部分试题，分析如下.

例1，2021年杭州数学中考第4题考查分析：题目主要考查了不等式的性质，属于基础题. 题目分值为3分，在考查数学建模核心素养之余，还同时考查了数学抽象、直观想象核心素养，所以在此标定为M1-1.

例2，2021年杭州数学中考第6题考查分析：题目主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程模型，分析题目中的数量变化，属于中档题. 题目分值为3分，在考查数学建模核心素养的同时，也考查了逻辑推理及数学运算两个核心素养，所以标定为M2-1.

例3，2021年杭州数学中考第10题考查分析：题目主要考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及一次函数的性质，要求能够综合运用数学函数模型表示数量关系，属于知识创新水平. 题目分值为3分，在考查数学建模核心素养的同时，考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，所以标定为M3-0.75.

为全面分析杭州市近五年数学中考试题的数学建模核心素养考查情况，对五套试卷共115题数学建模核心素养考查题目进行汇总，如表2所示.

根据以上数学核心素养水平框架，对杭州市近五年五套数学中考卷考查的数学建模核心素养水平标定分值进行统计[4]，然后依照各个年份转化为数学建模核心素养占整套试卷总分的权重值（保留三位小数），近而汇总三个水平下数学建模核心素养的考查权重结果. 经过各年份分类处理，结果汇总如表3所示.

在数学建模核心素养考查权重表中计算了三个水平下数学建模（M）的考查权重值及近五年考查均值与总和，经过分析讨论，可以看出以下结论：数学建模核心素养在近五年内基本上呈递增的趋势，且在數学建模知识迁移层面上考查比重较大. 这说明，近五年来杭州数学中考试题，学生对在数学建模核心素养上的综合能力以及在现实生活数学问题中分析建立数学模型的能力越来越受到重视. 史宁中曾把数学基本思想归结为3个核心要素：抽象、推理、模型[5]. 根据考查权重均值，数学建模素养权重占12.2%，试题在考查学生知识创新层面即利用数学模型解决现实问题的能力上略有欠缺. 2021年杭州中考数学建模权重虽有小幅下滑，考虑到数学建模素养考查的综合性较强，题目难度较高，所以在数学建模素养方面的命题仍有一定挑战. 但值得一提的是，近五年试题中注重学生在新情境下综合利用多种知识方法进行数学建模的素养培养，成为中考核心素养考查背景下一抹数学建模素养的亮眼之处.

典型试题分析

1. 数学建模基于现实数学情境

经过统计发现，杭州近五年数学中考题中对基于现实问题对所学数学模型加以应用的考查频次较高，且多为选择题、填空题的形式，如2019年第4题，2018年第6题及2017年第7题等. 以下选取部分试题进行分析.

【2021年杭州中考第6题】某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次. 设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x>0），则（    ）

A. 60.5（1-x）=25

B. 25（1-x）=60.5

C. 60.5（1+x）=25

D. 25（1+x）=60.5

分析  本题数学建模核心素养体现在综合运用数学模型表示新情境里的数学关系，用建模的数学方法认识分析实际问题. 题目以参观景点的现实问题为背景，要求学生根据题目表示的实际问题抽象建模一元二次方程模型. 数学建模核心素养较强的学生能筛选题目中描述的数量关系，从增长率入手，确定等量关系，由现实情境建立正确的方程模型. 而数学建模核心素养较薄弱的学生，容易在等量关系的确定上出现错误，影响到模型的正确建立. 因此，在学生数学模型核心素养的形成过程中，要加强学生在实际问题中灵活运用数学模型、确定数量关系的能力，学会用建模的数学方法分析现实问题.

【2018年杭州中考第15题】某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（单位：千米）随行驶时间t（单位：小时）变化的图像. 乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/时）的范围是_________.

分析  该题用建模的数学方法分析现实问题，考查一次函数的图像、性质及实际运用. 学生根据所学函数模型，对现实问题进行分析，根据函数图像从速度层面出发，提取数量关系，建立不等式模型进行求解. 本题在考查一次函数基础上，同时考查了路程、速度与时间之间关系式的应用，以及列一元一次不等式组解决实际问题的应用. 因此，在学生数学建模核心素养教育的过程中，需要注重从现实问题出发，培养学生综合运用数学模型的能力.

2. 数学建模与代数模型相结合

基于上一部分对数学建模核心素养考查的分析，进一步从知识领域方面出发，发现在数与代数部分中考查数学建模核心素养的概率较大，所占权重较高. 因此，以下选择近五年杭州中考中较典型的数与代数部分试题进行分析.

【2020年杭州中考第10题】在平面直角坐标系中，已知函数y=x2+ax+1，y=x2+bx+2，y=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac.设函数y，y，y的图像与x轴的交点个数分别为M，M，M，（    ）

A. 若M=2，M=2，则M=0

B. 若M=1，M=0，则M=0

C. 若M=0，M=2，则M=0

D. 若M=0，M=0，则M=0

分析  本题数学建模核心素养体现在用数学符号建立不等式，用函数表示问题中的数量关系和变化规律，并考查了平面直角坐标系、二次函数的图像和性质以及点在函数图像上的运用等相关的知识点. 数学建模核心素养较强的学生可以提炼出题目中函数模型的数量关系，灵活运用一元二次方程根的判别式及不等式模型进行分析解答. 而数学建模核心素养较弱的学生容易混淆题目所给出的模型数量关系，从而无法正确建立不等式模型关系，影响对正确答案的判断. 因此，在数学模型核心素养的形成过程中，需要加强学生在新的情境下灵活运用所学数学模型、分析模型中数量关系的能力.

【2019年杭州中考第8题】已知一次函数y=ax+b和y=bx+a（a≠b），函数y和y的图像可能是（  ）

分析  本题主要考查了学生对一次函数图像变化与比例系数关系的掌握情况，在考查数学建模核心素养的情况下同时考查了逻辑推理核心素养以及数学运算核心素养，要求学生能在新的情境下运用所学过的函数模型，并分析模型中的数量关系. 学生根据题目中所给出的函数模型进行筛选分辨，通过一条直线判断a，b的符号，再根据符号判断另外一条直线的图像情况，从而选出正确答案. 但数学建模核心素养较弱的学生无法通过数学符号关系正确建立一次函数模型，或是无法根据函数模型进行筛选优化，最终导致结果出错. 因此，学生在数学建模核心素养形成过程中，需加强学生在新情境下对模型的灵活应用.

数学建模核心素养的培养

通过近五年杭州中考数学试题的研究分析，可见数学建模核心素养考查的比例总体呈上升趋势. 信息社会对数学建模解决问题提出了更高的要求，更加注重在不断积累、优化、螺旋上升的数学学习中学生数学建模素养的培养[6]. 然而很多学生的数学模型思维薄弱，难以从文字语言、图像信息中选择、建立正确的数学模型，且缺乏从具体到抽象的实践经验. 因此，在学生形成数学建模核心素养的过程中，教师应该要更加注重创设思维情境，帮助转化数学模型，总结模型特点及建模过程的一般步骤与经验，使学生学会准确抓取有效信息，提高学生灵活地运用自己所学数学知识的能力[7] . 数学建模是数学学科核心素养的重要因素，强调在课堂教学中通过培养学生的观察能力、表达能力、思考能力和综合运用能力，有效发展学生的数学思维，培养学生的数学建模素养[8]. 而在国际PISA和ATC21S等中学生能力测评研究中，也已开始利用线上测评平台进行涉及较长篇幅的数学建模素养能力测评[9]. 因此在教学中，使学生体验数学抽象过程、体验数学建模过程是重要的一环. 对于从现实生活情境中转化而来的数学问题，让学生探索思考从现实原型中对其进行抽象分析并建立数学模型的过程，积累实践经验，进一步使学生感受到数学来源于生活，激发学生对于数学的学习兴趣，也极大地培养了学生的探究创新精神和灵活应用能力.

参考文献：

[1]黄敏. 认知视角下的初中数学建模[J]. 数学教学通讯，2021（05）.

[2]朱先东，吴增生. 核心素养视角下对数学测评的研究——以2017年浙江省中考试题为例[J]. 数学教育学报，2017，26（05）.

[3]李华，胡典顺. 基于数学核心素养评价框架的试卷测评研究——以2019年高考全国卷为例[J]. 数学教育学报，2020，29（02）.

[4]陈振坤，贾积身. 数学核心素养为导向的测评研究——以2020年高考数学全国卷为例[J]. 河南科技学院学报，2021，41（04）.

[5]刘祖希. 访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J]. 数学通报，2017，56（5）.

[6]陆吉健，丁姣娜.数学核心素养的高考测评及其培养[J]. 中学数学杂志，2020（01）.

[7]蔡丽明. “数学建模”核心素养在初中数学助学案课堂中的构建[J]. 数学教学通讯，2021（14）.

[8]余叶军. 在教学实践中理解初中数学建模——核心素养的视角之下[J]. 数学教学通讯，2021（08）.

[9]高琼，陈薏仁，陆吉健. 数学核心素养的中考测评分析及思考——以近五年杭州市中考为例[J]. 中學数学教学参考，2021（14）.