加强知识联系，提升解题能力

温莹

[摘  要] 随着新课改的不断深入，以“题海战术”提升解题能力的时代已然成为过去. 文章认为建立知识联系的方法有单元系统化、专题系统化与学科系统化. 同时，文章以一道综合题的教学为例，具体谈谈建立知识联系、提升解题能力的操作方法.

[关键词] 解题能力;知识联系;解题教学

新课标提出：“学生能力的培养应以解题为突破口，让学生在解题实践中提升各项能力与数学核心素养. ”可见，培养学生的解题能力是数学教学的核心内容之一. 而解题能力又属于一种个体独特的心理形成物，具有一定的特殊性. 实践证明，从知识之间的联系着手，引导学生逐层深入地建构完整的知识体系，可帮助学生形成可持续发展的解题能力.

建立知识联系的方法

不少学生都有这样的困扰：到初中后数学内容纷繁复杂，方程、函数、几何等千变万化的知识点让不少学生感到数学学习就是一团乱麻，说不清、道不明，剪不断、理还乱. 其实，数学是一门系统性的学科，只要定期整理、练习、巩固，就可以建构成新的知识体系，体系一旦建成，解题能力就会得以发展.

（1）单元系统化：针对一些相对独立的知识点，教师可鼓励学生以单元为单位，进行一定的归纳与总结，形成一个“知识链”. 学生在“知识链”的提炼中，逐渐在大脑里编织成一张新的以单元为单位的知识网，而每个知识点则是这张知识网的结点.

（2）专题系统化：专题系统化主要是指打破教材所设定好的单元或章节体系，将同类的知识点或解题思想归纳在一起进行提炼、总结，以形成新的知识体系，让学生能更好地解决同类问题. 例如，化归思想是解题中常用的数学思想方法之一，常涉及配方法、待定系数法、代入法、由抽象到具体的方法等. 我们可以将这些方法运用到涉及化归思想的问题，归纳在一起进行专题复习，以提高学生的解题能力.

（3）学科系统化：学科系统化是指站到一定的高度，从总体上审视学科结构. 将数学看成一个整体的系统（如一棵树），而这个系统又由几个子系统（树干）组合而成，子系统又由更小的子系统（树枝）构成，这些更小的子系统由一个个的知识点（树叶）所组成.

解题教学建立在学科系统化的基础上，会让学生充分领略数学学科独有的魅力，了解其基本原理，从而在大脑中建构成完备的数学知识体系，为形成举一反三的解题能力奠定基础.

教学案例

原题  如图1所示，四边形ABCD为☉O的内接正方形，已知AB=4且PC与PD分别为☉O的两条切线，切点分别为C，D. （1）求☉O的半径;（2）若已知点E为BC边的中点，连接PE，则PE的长度是多少？（3）如图2所示，点M为BC边上的任意点（点B，C除外），若以M作为直角的顶点，作∠AMN=90°，与直线CP相交于点N，求证：AM=NM.

1. 学情分析

本题主要考查学生对正方形和圆的综合认识. 其中，问题（1）比较简单，只要有一定的基础，就能顺利结题;问题（2）的难度适中，符合大部分学生的认知水平;问题（3）对于大部分学生来说，有一定的困难. 笔者发现不少学生直接放弃了问题（3）的解答，也有小部分学生虽作了一些尝试，但最后仍以失败告终.

基于学生原有的认知，要求證AM=NM，通常以添加辅助线、构造全等三角形为思维的切入点. 但全等三角形、圆和正方形在教材或教学中属于不同板块的内容，它们不在同一时期学习，与学生最近发展区的距离有点远. 这就需要教师将不同专题的内容融合在一起，建构新的知识体系. 本题最大的挑战在于如何添加辅助线.

为此，笔者充分发挥了本题的教学价值，具体谈谈如何在解题教学中建立知识之间的联系，以突破学生的思维障碍，获得解题技巧，提高解题能力.

2. 常规的解题方法

问题（1）：只要结合正方形的判定定理与切线的性质，即可获得☉O的半径.

问题（2）：一般利用垂径定理得OE⊥BC，∠ECO=45°，再运用勾股定理即可求得PE的长度.

问题（3）：在AB边上取点F，使得BF=BM，利用问题（1）的答案求出∠MCP=135°，由全等三角形的性质与判定定理即可得到AM=NM. 解决此问时，一般通过截长的方法构建全等三角形，但也有学生尝试运用补短法，想利用∠AMN为直角构造出“K字形全等”的方法来求证，但在证明过程中遇到了新的障碍.

3. 建立知识之间的联系，探寻解题技巧

常规解题中，大部分学生都是通过截长法或补短法的运用，将线段AM与NM放到三角形中证得其全等而解决问题. 这种解题思路的侧重点在于全等三角形与正方形，而本题的题设条件既然给出了圆这个图形，是否能充分利用这个条件呢？

若将线段AM与NM构造到同一个三角形（△AMN）中再求证，只要证明该三角形为一个等腰直角三角形即可. 本题中的点A，M，C，N共圆是一个隐含条件，只要发现这个条件，解题将变得轻松. 为了让学生充分感知知识之间的联系，使得数学思维呈递进式发展，笔者设计了以下教学过程：

（1）知识链接.

①如图3所示，点P为线段AB上的一点，且AP=BP=CP=DP，若∠CPB=60°，则∠BDC的度数是多少？

②如图3所示，△ABC与△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，P为线段AB的中点，若∠CPB=60°，则∠BDC的度数是多少？

③如图4所示，△ABC与△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，P为线段AB的中点，若∠DPC=60°，则∠DBC的度数是多少？

设计意图  通过知识链接①，调动学生回忆关于用圆的定义来证明四点共圆的具体方法，契合学生的最近发展区. 知识链接②和知识链接③既是知识链接①的变式拓展，又为学生提供了四点共圆的常见图形，在学生的思维中种下相应的数形结合思想. 该知识链接的过程为学生形成良好的解题方法做好了铺垫.

（2）发散思维.

如图5所示，学生在以上知识链接③的思考过程中，感悟到点A，M，C，N都在以NA为直径的圆O′上.

此时，学生的思维逐渐变得活跃，出现了以下教学对话：

生1：由=可得∠NAC=∠NMC=∠MAB，因此∠NAM=∠CAB=45°.

生2：其实不需要这么麻烦，根据知识链接①可知∠MCN=135°，同时四边形AMCN又是圆O′的内接四边形，因此∠NAM=180°-135°=45°.

生3：我还有更加简单的方法，根据同弧所对的圆周角相等的原理，可直接获得∠MNA=∠MCA=45°.

设计意图  学生的思维在知识链接的引导下得以有效扩散，解题思路与方法一个比一个简洁、高效，此时课堂氛围达到了本节课的高潮，每个学生都对本题产生了浓厚的兴趣. 在此基础上，笔者趁热打铁，提出了新的拓展应用，鼓励学生进行思考，以完善学生的知识结构，为帮助学生建构完备的知识体系夯实基础.

（3）拓展应用.

如图6所示，BC，AD分别是△ABE两边上的高，已知AB=2，∠E=60°，且点P为AB边的中点，求△DCP的面积.

设计意图  本题作为“拓展应用”题，旨在帮助学生巩固本节课所学的知识，让学生在知识的链接、思考与拓展中掌握解题技巧，深化对旧知的认识，同时建构新的解题思路与方法，为今后解决类似的综合题夯实基础.

教学思考

1. 由浅入深，引发顿悟

解题教学的关键不在于教会学生解一道题，而在于帮助学生建构解题方法与思想，让学生从一道题中获得新的感知与感悟. 因此，教师在解题教学时，不能就题论题，而应由浅入深地帮助学生回顾旧知，契合学生的最近发展区进行教学才能激起学生共鸣，从而自主发现解决问题的方法.

有些跨度大、范围广的综合题往往令一些学生措施不及，出现思维卡壳也是情理之中的现象. 在本题的解答教学中，笔者则是以三个知识链接点进行预热，帮助学生一起回顾怎样用圆的定义或性质证明四点共圆，并通过基本图形引发学生思考，学生的思维被激活后，就会产生新的感悟. 这为学生后期遇到复杂图形时发现四点共圆做好铺垫.

2. 立足变通，促进发展

学生的发展是教育的主要目的. 充分挖掘题目的教学功能，不仅能体现题目的教学价值，更重要的是能让学生变通思维，让学生认识到解题通法虽有效，但遇到具体问题时应具体、特殊对待，若一味地执着于通法通解的“死胡同”，则会僵化思维，无法形成触类旁通的解题能力.

总之，加強知识之间的联系，对提高学生的解题能力具有重要作用. 但任何能力的提升，均需经历一个漫长而遥远的过程. 因此，作为教师应根据学生的实际情况与教学内容，有针对性地进行长期训练与培养，鼓励学生自主感知、感悟解题技巧，提升解题能力.

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