究概念之本 悟教学之道

陈宝真

[摘  要] 数学概念是数学思维的基本元素，是数学推理、建模的基础. 概念教学应该从学生的生活现实或数学现实出发，学生通过复杂的认识活动，主动参与概念的抽象过程，并将这种体验迁移和推广到后续的学习中.

[关键词] 概念教学;数学现实;逻辑连贯

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式[1]. 数学判断、推理、论证建立在数学概念基础之上，数学概念是数学抽象思维的最基本元素，因此初中数学概念教学在师生教与学活动中起到了相当重要的作用. 许多教师忽视了概念教学的重要性，在概念教学中直接给出定义，归纳出几条注意事项，再通过反复练习提升学生的认知水平;或给出的情境不够贴切，有刻意安排之嫌，无法帮助学生揭示概念的本质[2];或新知概念的引入没有根据学生已有的知识储备，做不到前后知识的内在关联、逻辑连贯. 文章从概念的引入、形成、辨析等方面阐述了如何创新性地开展数学概念教学.

概念的引入，提供数学知识产

生的路径

概念的引入是概念教学的第一步，教师要让学生认识到学习数学概念的必要性. 在概念的引入环节，引导学生体验如何从感性认识上升到理性认识，把握事物的本质从而生成概念. 教师要依据不同的教学内容，有针对性地选用不同的引入途径.

1. 从生活现实出发，反映数学的实际需要

学生在日常生活中接触的事物或实际问题，很多可以成为引入数学概念的感性材料. 教师引导学生在丰富的具體事例中进行观察、比较、分析，抽象出它们在数量关系和空间形式上的共同特征，突出其本质属性，舍弃非本质属性. 这样生成的概念更具形象性、直观性，便于学生理解.

比如教学正比例函数概念时，首先给出5个常见的实际问题，由这些问题得到关系式，再由关系式抽象出正比例函数概念.

问题1：判断以下两个变量之间的对应关系是否是函数关系. 如果是，请写出相应的解析式，并寻找它们之间的共同特征.

（1）正方形的周长y随边长x的变化而变化.

（2）小明每小时能平均阅读15页书，小明读书页数y（页）随读书时间x（时）的变化而变化.

（3）小峰骑自行车去上学，每分钟行驶0.2 km，小峰骑车行驶路程s（km）随行驶时间t（min）的变化而变化.

（4）小杜去商店购买铅笔，铅笔的单价为0.6元，购买铅笔的费用w（元）随购买铅笔的数量n（支）的变化而变化.

（5）关不紧的水龙头每分钟会滴90滴水，每滴水约0.06 ml，关不紧的水龙头滴水v（ml）随时间t（min）的变化而变化.

经讨论，得出以上5个对应关系的共同特点是：①都有自变量;②都是函数关系;③都有常量.

问题2：这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式？

学生：这5个函数都是常量和自变量的乘积形式，都可以表达为y=kx（k≠0）.

至此，自然地提出了正比例函数概念.

正比例函数概念的形成，让学生经历从形象到抽象、从直观感知到提出概念的过程中，并在充分感知的基础上进行概括，使学生倍感亲切.

2. 由数学现实引入，体现数学自身的逻辑结构

有些数学概念需要从数学自身的逻辑结构出发，体现数学知识发生发展过程中的必然结果，随着学习不断深化，在已有知识的基础上生长出新的概念.

比如在“分式”教学过程中的部分实录：

师：只用运算符号（加、减、乘、除）将2，a，b连接成数学式子，每位同学各写出4个不同的式子.

学生动手写出含2，a，b的代数式，问题的开放性为学生数学思维的拓展提供了空间.

教师将3位学生写的式子展示出来：

学生1：2ab，，，2a-b.

学生2：a+2+b，+b，，a+.

学生3：a+2b，，，a（b+2）.

师：能否将这12个数学式子进行分类，哪些式子是我们已经研究过的？

师生共同回顾已学过的整式的相关概念，找出其中的单项式和多项式，还有一部分不是整式的数学式子.

师：a+是多项式吗？

学生4：a是单项式，但不是单项式，所以a+不是多项式.

师：，a+，，等这些式子不是整式，但它们有哪些共同特点？

这样的课程设计既有利于学生对整式、单项式、多项式等有关概念的复习与巩固，又通过认知冲突使新概念的产生水到渠成.

概念的形成，揭示数学的本质特征

概念教学可从生活现实或数学现实出发，利用学生的知识经验和认知水平，通过层层递进的“问题串”的引导，新知就在知识经验的基础上主动建构起来，学生的思维将经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程.

比如“相交线”教学过程中促使概念形成的“问题串”设计.

问题1：如果将两根木条的中间钉在一起抽象成一个几何图形，是怎样的图形？我们能否动手画出来，并用数学语言来说明.

问题2：两条直线相交，形成的小于平角的角有哪几个？

追问：将这些角两两组合后能得到几对角？

问题3：你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？

问题4：从角的两要素（顶点和边）出发，观察∠AOC和∠AOD，它们有怎样的位置关系？

让学生感知两个角（如∠AOC和∠AOD）“相邻”和“互补”的关系：若∠AOC和∠AOD的顶点重合，有一边重合，则这两个角“相邻”;同时，若这两个角的另一边互为反向延长线，则这两个角“互补”. ∠AOC和∠AOD既相邻又互补，则称∠AOC和∠AOD互为邻补角，即其中一个角是另一个角的邻补角.

追问：图中还有哪些互为邻补角？

问题5：你能写出∠AOC和∠AOD的数量关系式吗？

问题6：邻补角与补角有何区别与联系？

问题7：类比∠AOC和∠AOD关系的探讨，那么∠AOC和∠BOD有怎样的位置关系？

从角的两要素（顶点和边）出发，引导学生直观感知，体会两个角的“相对”关系，要求学生尝试用几何语言来表达，得出对顶角的定义.

追问：图中还有哪些互为对顶角？

问题8：互为对顶角的∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？

在思考、操作后，很多学生通过度量的方法便能直观得到其数量关系.

追问：能用说理的方法推出结论吗？

让学生经历动手操作、独立思考、直观想象、抽象概括、推理论证等过程，感受从实验几何到论证几何的自然延伸，体会概念的产生和发展过程.

概念的辨析，把握数学知识的 内涵和外延

许多数学概念叙述简练，有的还用式子来表示，比较抽象. 对于这样的概念，教师要认真揭示其中每一词、每一句的真实含义，让学生从不同角度、不同层面认识概念，并从与其他知识的联系中获得概念的内涵，达到全面准确掌握概念、灵活运用概念的目的.

“只含有一個未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程”，这是一元二次方程用文字叙述的定义，教师要引导学生将文字语言转化为数学符号语言，于是得到：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0），这是一元二次方程的一般形式. 数学符号语言更能体现数学的简洁美. 式子中，x是未知数，a，b，c是字母系数，字母a，b，c的具体含义要厘清，区分二次项与二次项系数、一次项与一次项系数. 通过系列问题让学生加深对一元二次方程的理解：

（1）一元二次方程的一般形式中左右两边有何特点？

（2）为什么一元二次方程的一般形式中要有a≠0这个条件，b，c可不可以为0？

（3）方程2x2-x+3=0的一次项系数是1吗？

（4）你能写出一元二次方程的特殊形式吗？

在概念辨析中，学生能否恰当举出数学概念中的相关元素，所举的元素是否具有典型性和全面性，这可以作为判断学生是否掌握了概念的一种方法. 既可以通过正例加深学生对数学概念内涵的理解，也可以通过反例说明数学概念外延的准确范围. 在较复杂的实例中，让学生抓住概念的本质，将抽象的概念和具体实例有机结合，消除歧义，最终加深对概念的理解.

比如学生可以通过判断题的辨析和根据条件写方程的形式加深对一元二次方程概念的理解：

（1）判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：

①x2+x=2;           ②2x2=5;

③=;            ④x2+2y-1=0;

⑤9x2-5=（3x+1）2; ⑥ax2+bx+c=0.

（2）以-2，3，0三个数作为一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多地写出满足条件的不同的一元二次方程.

两点思考

1. 概念教学要基于学生、基于课堂

数学概念需要学生自主建构，课堂是学生自主获取知识、形成能力的主阵地，教师要考虑学生的年龄特征、认知水平和知识储备，关注学生之间的差异，设置层层递进、引发学生思考的“问题串”. 通过追问、甚至学生自主提问，引导学生探究概念的形成过程. 发挥学生的主体作用，给学生充足的思考和表达的时间和空间，教师要善于等待，静待花开. 面向全体学生，课堂提问空间要大，要协作学习，让不同层次的学生都能得到相应的发展.

2. 概念教学要培育数学核心素养

数学概念是数学思维的最基本元素，是形成数学判断、推理和计算论证的基础. 在概念教学中，要明确学习的概念在教材中的地位和作用，要深刻剖析数学概念的来龙去脉：为什么要引入这个概念？如何引入这个概念？怎样抽象形成概念？怎样用数学语言来表达？要明确几种数学语言的表达方式和相互转化，要善于挖掘概念教学中所蕴含的数学方法与数学思想，将这些方法与思想迁移和推广到后续的知识学习中. 这样的数学教学条理明晰、脉络清楚、前后一致、逻辑连贯，体现了数学教学的逻辑性和整体性. 从而实践用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界的理念，在潜移默化之下培育学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]郝会江. 抓好概念教学  提高初中数学教学质量[J]. 神州， 2018（14）.

[2]赵锡勋. 经历概念形成  培养思维品质[J]. 中学数学教学参考， 2019（18）.

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