初中数学中“含有一个动点的线段和（差）的最值问题”的解题策略

赵玉叶

[摘  要] 文章通过模型研究，分类探讨“含有一个动点的线段和（差）的最值问题”. 一是利用“两点之间线段最短”解决问题;二是利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）“化曲为直”，找到最值;三是在实例中展现此类问题的解决方案和解题步骤.

[关键词] 动点;线段和（差）;最值;对称点

动点问题是初中数学的重难点，线段和（差）的最值问题一般含有一个或几个动点，是经典的一类题型，也会进一步结合后续的几何、函数等知识考查学生，但学生对这部分知识的学习现状不容乐观.

在几何问题中，线段和（差）一般不是简单的数量关系的运算，往往需要构造图形“化曲为直”，最后在点共线的特殊情况下求得最值[1]. 文章从最基本的含一个动点的情形开始探究，归纳此类问题的模型，旨在给出一个细致的思考路径，用这个导火索点燃学生的思维. 我们需要明确，以下问题中虽然都含有一个动点，但我们常常瞄准的不是这个动点，而是这个动点所在的那条“固定”的直线，最终达到“以静制动”的效果.

两类数学模型：“异侧，线段和

最小”“同侧，线段差最大”

模型1  异侧，线段和最小

问题1  如图1所示，直线l的异侧有两点A，B，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小.

首先，明确动点P在定直线l上，以及问题中确定的元素——两个定点A，B，一条定直线l（有一动点）. 其次，明确两个定点A，B的位置——在直线l的异侧. 于是把此类模型直观地命名为“异侧，线段和最小”.

解析  由“两点之间线段最短”可知，当点A，P，B在一条直线上时，PA+PB最小. 任意异于点P的点P′，由“三角形任意两边之和大于第三边”可知，P′A+P′B>AB=PA+PB，点P即为求作的点.

模型2  同侧，线段差最大

问题2  如图2所示，直线l的同侧有两点A，B，在直线l上求作一点P，使得

PA-PB

最大.

同样，先明确动点P在定直线l上，以及问题中确定的元素——两个定点A，B，一条定直线l（有一动点）. 其次，明确两个定点A，B的位置——在直线l的同侧. 于是把此类模型命名为“同侧，线段差最大”.

解析  由“三角形任意两边之差小于第三边”可知，任意异于点P的点P′，都有

P′A-P′B

<AB=

PA-PB

，所以当点A，P，B在一条直线上时，

PA-PB

最大，点P即为求作的点.

[条件 两个定点，一条定直线 结论 模型1 异侧，线段和最小 模型2 同侧，线段差最大 ][表1  “含有一个动点的线段和（差）的最值”的基本模型]

什么时候取对称点

线段和（差）的最值问题常常与对称点结合在一起. 几何题中，已知的点、线往往较多，能够准确迅速地引入对称点来解决问题需要学生有清晰的思路. 那么到底什么时候取对称点呢？很简单，只需要联系以上两个模型即可——“异侧，线段和最小”“同侧，线段差最大”. 在此以问题3为例：

问题3  如图3所示，直线l的同侧有两点A，B，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小.

解析  条件：两个定点，一条定直线;结论：线段和最小，对应模型几？答案很显然，对应的是模型1——“异侧，线段和最短”. 但是题目中的两个定点在同侧，因此在此需要转移定点的位置. 利用点关于直线的对称点的画法，作点A关于直线l的对称点A′，如图4所示，将点A转化成点A′. 由点A与点A′关于直线l对称可得PA=PA′，将PA+PB转化成PA′+PB. 转化后，两个定点是A′，B，定直线是l. 由模型1可知图4中的点P即为求作的点，使得PA′+PB最小，也就是使得PA+PB最小.

由此可知，取对称点可以实现“同侧”“异侧”的转化，且不会改变线段的长度. 如此，在解决线段和（差）的最值问题时，若无法直接套用模型，就可以利用点的对称性转移点的位置，让问题与模型对接.

含有一个动点的线段和（差）的最值问题，解决步骤如下：第一步，找到确定的元素——两个定点，一条定直线;第二步，套用模型（若无法直接套用模型，则作定点关于定直线的对称点后再套用模型）;第三步，利用模型求解.

求解“两定点、一定直线”线段

和的最小值

例1  如图5所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是______.

解析  ①找到两个定点B，E，一条定直线AC;②套用模型1——“异侧，线段和最小”;③作点B关于直线AC的对称点，正是正方形ABCD的顶点D，连接DE，交AC于点P′，如图6所示. 当点E，P′，D共线时，PB+PE的最小值=PD+PE的最小值=P′D+ P′E=DE，结果为10.

例2  如圖7所示，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，P是对角线AC上一动点，则PD+PE的最小值是______.

解析  ①找到两个定点D，E，一条定直线AC;②套用模型1——“异侧，线段和最小”;③作点D关于直线AC的对称点，正是正方形ABCD的顶点B，连接BE，交AC于点P′，如图8所示. 当点B，P′，E共线时，PD+PE的最小值=PB+PE的最小值=P′B+P′E=BE，结果为3.

差的最大值

例3  如图9所示，已知A

，y1，B（2，y2）为反比例函数y=图像上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标为______.

＼11-72.tif>[图9][x][y][O][P][B][A]

解析  ①找到两个定点A，B，一条定直线x轴;②套用模型2——“同侧，线段差最大”;③延长AB交x轴于点P′，如图10所示. 当点A，B，P′共线时， AP-BP的最大值=AP′-BP′=AB，点P′即为所求的点.

例4  如图11所示，已知点A（1，5），B（3，-1），点M在x轴上，当AM-BM最大时，点M的坐标为______.

解析  ①找到两个定点A，B，一条定直线x轴;②套用模型2——“同侧，线段差最大”;③作点B关于直线x轴的对称点B′，连接AB′并延长交x轴于点M′，如图12所示. 当点A，B′，M′共线时，AM-BM的最大值=M′A-M′B′=AB′，点M′即为所求的点.

关于线段和（差）的最值问题，以上是最基础的题型——只有一个动点且题目的背景比较简单. 即使换成复杂的背景，再加入多个动点，其本质是一样的，都只是“对称点”和“三边关系”等几何知识的融合[2]. 只要充分理解和把握问题的本质，抓住关键点、线的位置关系（“同侧”或“异侧”），就能在复杂的问题中找到基本模型，“化曲为直”，最终形成解决问题的基本策略[3]. 总之，这类共性问题需要教师引导学生多思考、多观察、多总结、多归纳，建立模型使之公式化、条理化，便于学生理解、掌握模型并灵活应用.

参考文献：

[1]李若志. 与轴对称相关的线段之和最短问题[J]. 考试周刊，2017（49）.

[2]张宇石. 用三角形三边关系求线段之差的最大值[J]. 中小学数学（初中版），2013（09）.

[3]倪勇. 探究折线段差的最大值问题[J]. 理科考试研究（初中版），2015，22（01）.

3061500589275