探讨分类讨论思想在高中数学函数解题中的应用

李英美

摘要：高中数学题相较于初中而言，综合性显著提升，学生在学习过程中会感到有一定的难度。为了帮助学生提高解题效率以及解题正确率，教师可以传授学生函数分类讨论思想。函数是高中数学教学的一条主线，它在高中数学教学中起着举足轻重的作用。在实际应用中，功能知识渗透到很多方面，如物理、化学、计算机等。比如，函数运算可以用于调节电力系统，而函数关系可以用于地质勘探，在此基础上，函数知识的学习在其中扮演了重要角色。

关键词：分类讨论思想;高中数学函数解题

分类讨论思想在对数理问题的研究与求解中，如果问题给出的目标无法统一、以此分析，依据其性质的相似性，将其归类并加以分析最终得出结论，从而最终得到一个完整的解答。它在简化研究对象和发展思维方面起到了很大的促进作用。因而，对学生进行分类思想探讨的数学命题在高考中具有举足轻重的作用。

一、对课本的内容进行深入挖掘

在高中数学课堂上，把“分类讨论思想”的概念贯穿于高中数学课堂，是指导学生进行课堂教学的主要依据。因此，要使其更好地渗透到课堂教学中去，就必须深入挖掘材料的内涵，提炼出分类讨论的思想内涵，将同学们进行类比划分，并逐个地进行讨论，这样才能使学生更好地了解所学的知识。在这一阶段，教师要对教科书的内容进行认真的阅读与学习，并自觉地将“分类”的思想渗透到课堂教学中去。在教学过程中，要给学生清晰的划分目标，突破常规的思维方式，以“分类”思维为导向，有效地提升了学生的整体素质与能力。比如，在讲解“空间几何体的构造”时，老师可结合分类思想的渗透和探讨。在课堂上，老师利用多媒体展示了金字塔，交通锥，方便面盒，电源棒，一次性纸杯，杯子，足球，灯罩，瓷砖屋顶等。让学生将各种物体进行归类，归纳出各种物体的共同点。在此期间，学生能够理解旋转体以及多面体的不同之处及结构特征。通过对棱柱的界定，老师们可以将其归类，如：分为正棱柱、斜棱柱、直棱柱这三种。在此基础上，同学们能够更好地了解到空间几何，并分辨出各种空间几何，从而提到他们的觀察力、分析能力。

二、依照函数类型进行分类讨论

在对高中生的函数进行归类的探讨和解决问题时，应根据函数的类别进行分组讨论，也是一种很好的解题途径。比如，在解决二次函数的问题时，将其划分为分为定轴动区间和动轴动区间两种类型，由于函数类型的不同。在求解问题时，应按功能类别进行分组，以保证问题求解的正确性。一是典型的固定轴线运动区间函数问题，其实质是给每一位问题提供一个比较完备的函数表示。这些问题的发生时间是不确定的。这时，利用分类法的思维来求解这个问题，要做到的就是先确定对称轴线的方位，然后再根据区间的划分来确定合适的答案。

而对于动态轴向的区间问题，则可以得到一个很好的区间，但是要用区间法求解不确定的函数之间的关系。所以，在使用分类法进行问题的时候，我们要考虑的是函数之间的关系，在对中学数学的划分时，要明确的定义函数的种类。

三、运用分类思想、对问题进行分类

采用分类讨论思想，能够有效帮助学生养成慎重思考的习惯。可根据数学对象本质属性的相同点和不同点，将竖向对象划分为若干个种类进行求解.在解决函数问题时，如果难以从整体的角度出发解决问题，那么就可试图从局部的层面入手，对若干子问题进行逐一攻克，进而解决整体问题，即运用分类思想方法，按照既定标准对问题进行分类，而后逐一解决.例如：求函数f（x）=lg（a x -k2x ），（a>0且a≠1，k∈R）的定义域.在该题中，若函数f（x）有意义，则由a x -k2x >0可得（ a 2） x >k.因指数函数的值域为（0，+∞），当k≤0时，该式恒成立;当k>0时，应对（ a 2） x >k两边取对数，根据对数函数的性质可知，在底数>1时，对数函数为增函数;在0<底数<1时，对数函数为减函数.这里指数的底含有参数，应对其进行分类讨论.尤其当a=2时，k<1，当0<k<1时，x∈R;当k≥1时，x∈Φ.对参数的讨论结果，必须运用分类讨论思想、并对其进行归类探究，以保证学生能更好地掌握正确的解题思路和解题方式，从而有效地提高问题的解题精度。

四、将分类讨论思想运用在函数参数值方面

由于函数的特殊性，在函数参数值发生量变，则函数结果也会随之发生变化、所以，在应用分类思想来求解问题时，必须对其进行归类探究，以保证学生能更好地掌握正确的解题思路和解题方式，从而有效地提高问题的解题精度。在例子，如果 k是一个数值，则可以把 y=（k+5）+（x0）作为主要的功能。解析：在此过程中，要正确地应用分类讨论的思路，对参数的变化进行全面的分析，并假定发展函数为主要函数，并找出若干种可能的 k值，最后再进行讨论，以得到最后的结论。通过这种方法，可以使问题更深入、更全面、更精确，有利于提高学生的数学分类思维能力、

五、将分类讨论用于概率问题中

概率问题也是一个复杂的问题，在解决某些问题时，可以采用分类式的方法。例：在一个箱子里，9个号码为1，2，3，4，5，6，7，8和9，这些都是随机的。在选择的两个球体中，号码的乘积为偶数的可能性是什么？从这一问题可以看出，假如把两个奇数移除，奇数的数值依然是奇数。若为偶，则偶为偶。若为奇偶，其乘积为偶。所以，要了解这两个数的乘积为偶数的可能性，就必须把它们归类并把它们相加。若从九个球体中任意选取两颗，其几率是C29，而两个偶数为C24，一奇1为C14，C15，那么最后的结果是（C24+C14c15）/C29=13/18。

总结：

因此，在新一轮的新课改下，把“分类讨论”的概念融入到高中数学的教学中，尤其是在解数列问题、概率问题以及函数问题时、分类讨论这一思想能够使我们解题思路变得更加清晰、在高中数学教育中，要改变教育理念与方式，要根据学生的具体情况，采用科学、合理的教学方式，把分组讨论的理念融入到课堂教学中，从而使学生的学习水平得到全面的提升，从而达到教学目的。

参考文献：

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[2]吴秋霞，卓剑、高中数学函数分类讨论思想解题探析[J].数学大世界（上旬刊），2017（7）.

[3]史雪梅.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].数学大世界（上旬），2018（2）.