基于GM模型的岩体透水率预测

黄 勇， 田绍华， 周麟桐

（1.河海大学地球科学与工程学院，南京 211100； 2.中铁二院工程集团有限责任公司，成都 610036）

裂隙岩体透水性的确定是水利水电、交通、矿山以及核废料处理等各类地下工程不可缺少的一项内容，其大小将直接反映工程建设区的地下水流运动规律、地下洞室渗流和涌水量问题、污染物扩散以及地下工程的防渗排水措施设计等［1-3］. 钻孔压水试验资料显示，随着深度的增加，岩体透水性越来越小，但缺少明确的定量关系. 另外，由于裂隙、断层等地质构造的影响，岩体透水性表现为强烈的非均质各向异性，虽然岩体透水性总体趋势是随深度增加而减小，但局部存在透水性增大的现象，对地下水的防渗、排水以及工程安全带来不利影响，因此，对岩体渗透性的预测研究具有重要的工程实际意义.

岩体透水性一般通过压水试验来确定，但钻孔压水试验要求条件较高，周期长，特别是高压压水试验，因此，一些学者提出了估算岩体透水性的方法，如刘继山［4］提出了单裂隙受正应力作用下的渗流公式，表明岩体的渗透性与裂隙隙宽和应力有关. 仵彦卿［5］获得了岩体裂隙应力与渗流的分形几何关系，并推导了岩体在不同方向应力作用下裂隙的渗流公式. 胡继华等［6］指出低渗透性页岩的岩体透水率与地应力总体上服从负指数关系. 平扬［7］通过钻孔压水试验获得了岩体透水率和P～Q曲线的变化规律，并分析了不同自重应力以及岩性等因素对裂隙岩体渗透性的影响. 殷黎明等［8］提出了岩体渗透系数随地应力变化的经验公式. 乔伟等［9］指出岩体渗透系数和钻孔单位涌水量随地应力呈相同的负指数规律逐渐减小. 陈康达等［10］指出岩体透水率与深度、RQD以及波速具有很好的相关性. 蒋小伟等［11］研究了岩体平均渗透系数与RQD和平均变形模量间的关系，郭永春等［12］建立了覆盖型岩溶的透水率与潜蚀塌陷裂隙开度之间的定量关系. 杨勇等［13］基于某尾矿库初期坝的压水试验资料，探索了岩体透水率与完整性系数和BQ值之间的关系. 陈君等［14］利用钻孔压水试验和钻孔电视图像资料，建立考虑埋深、RQD以及FSD等指标的渗透系数估算模型. 王锦国等［15］采用R/S 分析方法对钻孔压水试验资料进行了分析，给出了能反映岩体透水性特征的分维数，通过对不同水电工程中压水试验的分析，探讨了不同岩性、构造条件下裂隙岩体透水性的分形特征和渗透系数参数的取值.

1 方法

1.1 灰色系统GM（1，1）模型简介

灰色系统理论由中国学者邓聚龙在1982年创立，是一种研究“小数据”、“贫信息”不确定问题的新方法［17］，主要通过对部分已知信息的挖掘，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控. 灰色系统理论认为，客观世界的现实系统中展现的数据必然蕴含某种内在规律，关键是通过一定的方法去挖掘利用这一规律. 运用灰色系统理论解决实际问题的重要步骤是找到数据序列的算子，使得数据经过算子作用后体现出一定的规律性. 因此，特别适用于数据有限、复杂、影响因素较多，而且具有不确定性问题的分析和评价［18］.

为GM（1，1）模型的均值形式，其本质为一个差分方程，即

其中

式（4）为GM（1，1）模型均值形式的微分方程，求解该方程即可得到X()1的时间响应函数，即X()1与自变量间的函数关系. 对非负数据序列，先求出其一次累加生成序列，再构造相应的紧邻均值生成序列，通过式（5）估计参数a、c 的值，再代入微分方程进行求解.

1.2 岩体透水性与埋深的关系推导

由质量守恒定律，忽略岩体本身的透水性，可以得出岩性致密的裂隙岩体渗透系数与结构面宽度之间的关系，即裂隙立方定律［19］：

式中：K 为渗透系数，单位为m/s；b 为结构面开度，单位为m；g 为重力加速度，单位m/s2；μ 为动力黏滞系数，单位为m2/s；L 为裂隙间距，单位为m.

在地下岩体内部，地应力对结构面宽度有影响，在裂隙岩体内部，地应力随深度增加而增加，从而使裂隙宽度减小. Brown和Hoek对大量实测资料的统计分析，提出了垂向地应力与埋深的经验公式［20］，即

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式中：h 为裂隙岩体的埋深，单位为m；σn单位为MPa.

孙广忠［21］提出的指数形式的结构面法向闭合变形法则为

式中：bm0为结构面最大闭合量；kn=bm0k0，称为法向刚度系数，单位为MPa/cm，k0为初始法向刚度系数；bm为结构面的闭合量，令结构面开度为b，可知b=bm0-bm，即结构面开度可表示为

将式（10）代入式（7），得

由式（11）可知，渗透系数与深度之间存在负指数关系，上式可以简写为：

其中

式中：m 主要由裂隙面几何特征确定；n 主要由裂隙岩体的力学性质决定. 殷黎明等［22］通过压水试验结果研究显示，当压水试验的压力为0～2 MPa时，岩体透水率和渗透系数具有很好的线性关系（1 Lu≈1×10-5cm/s）.因此根据式（12），也可以认为岩体透水率与深度之间满足负指数关系，符合GM（1，1）模型的适用条件，可以借助GM（1，1）模型预测岩体透水率随深度的变化.

2 结果与讨论

惠州抽水蓄能电站位于广东省惠州市博罗县城郊，为一座周调节的纯抽水蓄能电站. 该工程上水库位于工程区东侧中高山区，库区为高程700～800 m左右的山间盆地. 为确定帷幕灌浆的深度和下限，于2016年9月在上水库及厂房区进行钻孔压水试验，并获取了岩体的完整性和渗透性等参数. 本次研究的目的是利用已有钻孔的压水试验资料，基于GM（1，1）模型，建立透水率随深度的定量关系，从而预测不同深度的透水率变化. 通过本模型的方法预测不同深度透水率，可以减少勘探孔布置，节省工程成本.

本文以ZK2002和ZK2085为例，探讨GM（1，1）模型对岩体透水率的预测计算. 这两个孔主要位于地下厂房区附近，能反应厂房区岩体透水性的变化，通过两个钻孔建立的预测模型，能够为厂房区的防渗设计提供相关依据. 其中，ZK2002位于地下厂房A东北方向、地下厂房B西北方向断层f 273附近，该孔压水试验区段岩性为：6.4～11.6 m，黑褐色煌斑岩，弱风化，岩石新鲜；11.6～32.70 m为褐灰色弱风化混合岩，32.70～50.55 m为灰-褐灰色微风化混合岩. ZK2085位于厂房斜井段，各段岩性为：1.25～15.7 m，全风化条带状混合岩，褐灰色，岩石风化成砂质黏土状；15.7～29.0 m，弱风化条带状混合岩，灰白夹深灰色，岩质坚硬，裂隙较发育，局部极发育；29.00～33.50 m，微风化条带状混合岩，灰夹白色，岩质坚硬，发育少量裂隙，充填绿泥石及方解石为主；33.50～40.11 m，弱风化混合岩，灰色，岩质较硬；40.11～55.6 m，微风化混合岩，岩质坚硬，岩芯长柱状；55.6～67.7 m，微风化混合岩，灰白色为主，岩质坚硬，岩芯长柱状为主；67.70～77.65 m，微风化条带状混合岩，裂隙不发育；77.65～155 m，微风化条带状混合岩夹混合岩，裂隙不发育，钙质渲染为主，少量绿泥石化.ZK2002岩体实测透水率随深度的变化见图1.

从图1中可以看出，岩体透水率随深度呈明显衰减规律，在岩体深部逐渐趋向一个较小的稳定值，为了计算方便，将岩体埋藏深度以整数代替，即以5 m为1个长度单位，分别将5、10、…、30 m处的岩体透水率看作x（n）（n=6），根据图1获取各深度的岩体透水率，得到数据序列X（表1）. 对X 中的数据系列x（n）取自然对数，得新数据序列为X(0). 对上述序列建立GM（1，1）模型，其时间响应函数为

图1 ZK2002透水率随深度变化图Fig.1 Permeability variations of the ZK2002 with depth

对式（14）进行累减还原，得

设预测透水率为y，则可以表示为如下形式

将各序列数据代入，得到GM（1，1）模型对岩体透水率的计算值，将X 中的透水率作为标准值，其计算值与标准值间的误差见表1. 其中岩体在深度5～30 m（n=6）的透水率值为模型的验证结果，35～45 m 的数据为GM（1，1）模型对岩体透水率的预测值. 从表1中可以看出，除了在个别深度外（h=10 m、15 m、30 m），模型的计算值和实测值绝对误差一般不超过1 Lu，相对误差不超过10%，表明可以用GM（1，1）模型对岩体透水率进行预测.

表1 基于GM（1，1）模型ZK2002的岩体实测透水率和预测透水率对比Tab.1 Comparison between measured and predicted permeabilities of ZK2002 rock mass based on GM（1，1）model

岩体透水率随深度增加总体趋势减小，两者之间存在负指数关系（式12）. 但是随着深度（h）的增大，式（12）中指数项越来越大，使得根据公式计算的岩体透水率趋近于0，与实际透水率存在一定差距. ZK2085孔深大约160 m，其岩体透水率的经验公式可以表示为：

当x=18.65代入式（17），得y=3.54，与实际岩体透水率吻合较好；若将x=147.7 代入，得y →0，而此时的岩体透水率并不为0 Lu（图2）.

实际上，通过计算表明，当深度大于70 m时，实测岩体透水率是计算透水率的200倍，因此，当岩体埋深较大时，不能采用负指数经验公式来预测岩体透水率，但可以采用GM（1，1）模型来计算. 随着埋深的增加，岩体处于微、弱风化，岩体内部裂隙不发育，趋向于闭合，深度对透水率的控制作用减弱. 因此，当深度较浅时，岩体透水率相对较大，采用拟合的负指数形式的经验公式（式12）直接对透水率进行计算，精度较高；当深度较大，透水率较小且有一定波动时，根据灰色系统理论的特点，考虑本文建立的灰色系统GM模型对透水率进行计算和预测是比较合适.

根据GM（1，1）模型，对ZK2085 钻孔的透水率进行计算，并与实际岩体透水率进行比较，从表2 中可以看出，当深度大于70 m 时，预测的岩体透水率与实测值误差较小，表明可以用GM（1，1）模型来预测岩体的透水率.

图2 ZK2085透水率随深度变化图Fig.2 Permeability variations of the ZK2085 with depth

表2 ZK2085岩体实测透水率和预测透水率对比Tab.2 Comparison between measured and predicted permeabilities of ZK2085

3 结论

1）根据立方体定律、质量守恒定律和裂隙宽度与应力的关系，推导了岩体渗透性与岩体埋深之间存在负指数关系，由于裂隙岩体渗透性与压水试验获取的透水率存在正相关，因此，可以认为岩体透水率与岩体埋深满足负指数关系. 通过2个钻孔的实测岩体透水率的拟合，也验证了它们之间的关系.

2）从推导的岩体渗透性与岩体埋深之间的关系可以看出，随着深度的增加，指数函数值越来越大，此时计算的岩体透水率趋近于0 Lu，与实测岩体透水率差别较大，ZK2085的数据也验证了这一点. 因此，当岩体深度较小时，可以用经验公式计算岩体的透水率，当深度较大时，需要采用其他方法来计算岩体的透水率.

3）本文采用GM（1，1）模型预测了岩体的透水率，其优点是通过少量数据和信息来提取和挖掘研究对象的内部规律. 不论岩体的埋深较小（ZK2002）还是较大（ZK2085），用GM（1，1）模型预测的岩体透水率与实测值都吻合较好，表明该模型可以用于岩体透水率的预测，特别是岩体埋深较大时，可以避免由于经验公式计算的岩体透水率的较大误差.