2021年高考“直线和圆的方程”专题命题分析

王瑞雪

摘  要：针对2021年高考数学试卷中直线和圆的方程相关试题，从以下几个方面论述了对直线和圆的方程多层次、多角度考查的基本特点：立足基础知识，考查通性、通法;注重思维过程，突出能力立意;知识内涵深刻，考查核心素养;拓展知识广度，体现选学内容. 同时，提出了高考复习的教学建议.

关键词：直线和圆的方程;数形结合思想;核心素养

几何与代数是高中数学课程内容的四条主线之一，解析几何是其重要组成部分. 直线和圆的方程是解析几何初步的主要内容，包括直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等. 直线与圆的位置关系历来是高考考查的重点，这部分内容充分体现了“用代数语言描述问题，借助几何图形形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释、解决问题”的过程，也是通过方程综合运用运算方法解决问题的过程.

一、考点分析

2021年高考数学试卷中有关直线与圆的方程的试题，重点关注图形几何特征的代数转化，并注重通性、通法，同时适度体现灵活运用图形等技巧，渗透数形结合和分类讨论的思想. 在向新高考平稳过渡的过程中，突出数学学科核心素养立意，注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查. 与2020年高考中有关直线与圆的方程的试题相比，全国甲卷和全国乙卷中增加了直线与圆的方程的解答题，全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷、浙江卷、上海卷、天津卷、北京卷相关部分的试题结构有所变化，上海卷增加了一道填空题，其他试卷增加了一道选择题，占分比重有所提高，全国卷难度略有提高，其中，全国甲卷和全国乙卷文、理科的区别度进一步降低. 2021年高考数学试卷共10份，涉及解析几何内容的考查情况如下表所示.

[卷别 题型、题号 分值 全国甲卷（文） 选择题5，填空题16，解答题21 22 全国甲卷（理） 选择题5，填空题15，解答题20 22 全国乙卷（文） 选择题11，填空题14，解答题20 22 全国乙卷（理） 选择题11，填空题13，解答题21 22 全国新高考Ⅰ卷 选择题5，选择题11，填空题14，解答题21 27 全国新高考Ⅱ卷 选择题3，选择题11，填空题13，解答题20 27 北京卷 选择题5，选择题9，填空题12，解答题20 30 天津卷 选择题7，填空题12，解答题18 25 浙江卷 选择题9，填空题16，解答题21 25 上海卷 选择题14，填空题3，填空题11，解答题20 30 ]

二、命题思路分析

2021年高考数学对直线与圆的方程的考查，仍然立足基础知识，在方法上注重通性、通法，对学生数学学科核心素养的考查有了进一步提升. 命题紧扣《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求，让教师充分认识到《标准》是考试评价的主要依据，从而引导教师在教学中认真落实《标准》.

1. 立足基础知识，考查通性、通法

例1 （全国新高考Ⅰ卷·11）已知点[P]在圆[x-52+][y-52=16]上，点[A4，0，B0，2，] 则（    ）.

（A）点[P]到直线[AB]的距离小于[10]

（B）点[P]到直线[AB]的距离大于[2]

（C）当[∠PBA]最小时，[PB=32]

（D）当[∠PBA]最大时，[PB=32]

【评析】此题考查直线与圆的位置关系这一基础知识. 在解题过程中学生需要理清相关的几何特征. 对于选项A和选项B，要利用圆心到直线的距离和半径的关系得到动点P到直线AB距离的最大距离和最小距离;对于选项C和选项D，要理清当∠PBA最小或最大时，PB与圆相切这一几何特征，求出PB的长. 充分体现了对借助几何图形形成解题思路这一解析几何通性、通法的考查.

例2 （天津卷·12）若斜率为[3]的直线与y轴交于点A，与圆[x2+y-12=1]相切于点B，则[AB]的值为        .

【评析】此题看似平常，实则对学生的基础知识和数形结合思想有不同层次的要求. 学生可以设出直线，利用与圆相切求出直线方程，从而求出点A和点B的坐标来解决问题;也可以利用斜率为[3，] 得到直线的倾斜角为60°，利用直线与圆相切中直角三角形的边角关系，求得线段AB的长;还可以结合两种方法来解决问题. 此题能有效考查学生是否能够灵活运用相关知识、数形结合思想、代数法和几何法来解决问题.

2. 注重思维过程，突出能力立意

例3 （全国新高考Ⅱ卷·11）已知直线[l：ax+][by-r2=0 r>0]与圆[C：x2+y2=r2，] 点[Aa，b，] 则下列说法正确的是（    ）.

（A）若点A在圆C上，则直线[l]与圆C相切

（B）若点A在圆C内，则直线[l]与圆C相离

（C）若点A在圆C外，则直线[l]与圆C相离

（D）若点A在直线[l]上，则直线[l]与圆C相切

【评析】此题考查了点与圆之间的位置关系的代数转化形式，以及直线与圆的位置关系的判断. 通过点在圆上、在圆内、在圆外，得到对应的代数等式关系和不等关系作为已知，来判断圆心到直线的距离与半径的大小關系，从而得到直线与圆的位置关系. 此题较好地考查了学生数形转换的思维过程，通过几何位置关系得到相应的方程或不等式，经过运算得到结果确定位置关系. 这一思维主线体现了较强的数形结合思想运用，以及运算能力要求.

例4 （北京卷·9）已知直线[y=kx+m]（[m]为常数）与圆[x2+y2=4]交于点[M，N]. 当[k]变化时，若[MN]的最小值为2，则[m]的值为（    ）.

（A）±1 （B）[±2]

（C）[±3] （D）±2

【评析】此题条件简洁清晰，对思维的目的性、逻辑性、灵活性、深刻性都有一定程度的要求，如果思维不清晰，很容易陷入庞杂的运算，浪费时间和精力. 此题能够有效考查学生灵活运用数形结合思想解决问题的能力.

3. 知识内涵深刻，考查数学学科核心素养

例5 （全国甲卷·理20）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：[x=1]交C于P，Q两点，且[OP⊥OQ]. 已知点[M2，0，] 且圆[M]与l相切.

（1）求C，圆[M]的方程;

（2）设[A1，A2，A3]是C上的三个点，直线[A1A2，] [A1A3]均与圆[M]相切. 判断直线[A2A3]与圆[M]的位置关系，并说明理由.

【评析】此题作为一道综合性试题，知识交会自然、简洁且内涵深刻，利用圆的相关知识考查学生的数学学科核心素养是一大亮点. 此题要求学生有较高的代数运算能力和化简能力，而且能运用数学概念、思想和方法弄清楚问题中的基本数量关系，弄清楚问题中哪些是本质性的数量，利用点M到直线[A1A2]的距离，点M到直线[A1A3]的距离建立的两个方程，观察发现同一方程的解这一隐蔽条件及其作用，迅速抓住运算的实质，善于分析问题结构，发现联系，利用转化与化归思想将问题转化为一元二次方程的解的问题来解决. 此题能有效考查逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养在教学中的落实情况.

4. 拓宽知识广度，体现选学内容

例6 （全国乙卷·理22）在直角坐标系[xOy]中，圆[C]的圆心为[C2，1，] 半径为1.

（1）写出圆[C]的一个参数方程;

（2）过点[F4，1]作圆[C]的两条切线. 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

【评析】此题重点考查在直角坐标系下圆的标准方程和参数方程的互化，以及直线方程转化为极坐标方程. 此题为选考试题，考查内容是高中数学知识与大学数学知识衔接的重要部分，需要学生有一定的知识基础，能够通过方程之间的转化解决问题.

三、复习建议

1. 回归教材，夯实“四基”

高考试题立足基础，在稳定的基础上进行创新. 教材中的例题和习题起到了典型的示范作用. 回归教材，就是要抓住知识的主脉络，从更高观点理解高中数学知识的本质，让学生通过对基本概念的理解、基本方法的领会、基本思想的体悟提升为对数学知识及其应用的本质的理解.

2. 抓住推理，练好运算

在教学中，为了提高学生的逻辑思维能力，教师要结合专题教学的内容，将逻辑思维能力的培养贯穿在各个章节中进行综合训练，使知识学习、运算技能、推理能力有机结合，相互促进. 练好运算要抓好审题训练，想要做好一个运算问题，首先要看清问题的已知和待求，看懂题目中的基本数量关系，看透题目中隐含的条件及其作用，根据问题各元素之间的内在联系，理出运算的思想方法，明确运算的目标和方向，同时要抓好运算优化过程和运算方法的训练. 数学运算是把要解决的运算问题转化为具有确定解法和程序的规范的运算问题.

3. 注重通性、通法，突出数学思想

对于直线和圆的方程相关内容的复习，不能单纯把目标定位在知识的掌握上，要在解题方法和解题思想上进行深入研究，要反复强调坐标法在解析几何中的作用，即使用代数的方法研究直线、曲线的某些几何性质. 解题时要让学生理清题目中蕴含的几何特征，再将几何问题代数化. 此外，还要充分重视数学思想方法在解析几何中的运用，最突出的是数形结合思想，还有分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想. 要加强对数形结合、转化与化归等思想方法的应用，加强对学生形象思维和创新思维的培养.

4. 把握数学主线脉络，理解知识之间的关联

高中数学内容主要分为四条主线，既要关注同一主线内容的逻辑关系，又要关注不同主线内容之间的逻辑关系，尤其要关注数学知识中所蕴涵的通性、通法和数学思想. 要引导学生利用数学思维分析解决数学问题的过程，领悟数学思想方法. 例如，转化与化归是数学研究的一般思想方法和解决问题的一种策略，这就需要我们在教学中不断渗透、强调，让学生体验、学习、感悟这一思想方法.

四、模拟题赏析

1. 已知直线[x+y+2=0]分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆[x2+y2=1]上，则△ABP面积的取值范围是（    ）.

（A）[2，22] （B）[2-2，2]

（C）[2-2，2+2] （D）[22，32]

答案：C.

2. 已知圆M：[x2+y2-2ay=0 a>0]截直线[x+][y=0]所得线段的长度是[22，] 则圆M与圆[N： x-12+][y-12=1]的位置关系是（    ）.

（A）内切 （B）相交

（C）外切 （D）相离

答案：B.

3.（多选）直线l过点[P1，2]且与直线[x+ay-][3=0]平行，若直线l被圆[x2+y2=4]截得的弦长为[23，] 则实数a的值可以是（    ）.

（A）0 （B）[34]

（C）[43] （D）[-43]

答案：AD.

4. 已知直线l：[mx+y+3m-3=0]与圆[x2+y2=][12]交于A，B两点，过点A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点. 若[AB=23]，则[m]的值为        ;[CD]的值为        .

答案：[-33;4.]

5. 圆C：[x2-1+ax+y2-ay+a=0.]

（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程;

（2）已知[a>1，] 圆C与x轴相交于两点M，[N]（点M在点N的左侧）. 过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆O：[x2+y2=9]相交于两点A，[B.] 是否存在实数a，使得[∠ANM=∠BNM]？若存在，求出实数a的值;若不存在，说明理由.

答案：（1）[x2-x+y2=0]或[x2+y2-5x-4y+4=0;]

（2）存在[a=9，] 使得[∠ANM=∠BNM.]

6. 在平面直角坐标系[xOy]中，已知圆O：[x2+][y2=4]及圆内一点[P1，0，] Q是圆O上的动点. 以点Q为圆心，[QP]为半径的圆Q，与圆O相交于点E，F.

（1）当[PQ⊥Ox，] 且点Q在第一象限时，求圆Q的方程;

（2）若圆Q与圆[x2+y2=r2 r>0]恒有公共点，求r的取值范围;

（3）证明：点P到直线[EF]的距离为定值.

答案：（1）[x-12+y-32=3;]

（2）[1≤r≤3;]

（3）點P到直线[EF]的距离[d=34，] 为定值.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]陶兆龙. 2019年高考“直线和圆的方程”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：120-125.

[3]刘莉. 2020年高考“直线和圆的方程”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（10）：56-60.