指向抽象素养发展的初中数学教学实践研究

郑福成

摘要：“数学抽象”作为数学六大核心素养之首引起业界同仁广泛关注。本文通过分析当前初中生数学抽象素养培养中存在的问题，探究数学抽象过程的心理机制，汲取UbD逆向设计理论，构建指向数学抽象发展的单元教学设计模式，注重挑战性任务学习，促进学生数学抽象素养发展。

关键词：数学抽象;UbD理论;教学设计;多项式

随着国际经济社会形势的快速发展，教育部门对学生核心素养培养的关注提到了前所未有的高度。数学抽象作为数学学科核心素养之首，始终贯穿数学的产生、发展和应用，引起了广大同仁高度关注。而数学抽象素养的培养究竟如何落地，成为了“双减”背景下一线数学教师亟待解决的问题。

一、研究背景

笔者就所处区域初中学校数学教学，通过问卷调查、访谈等形式，发现课堂教学存在以下问题：

（一）不了解数学抽象为何物

本文通过问卷星搜集数据，回收有效问卷共104份。调查结果表明（如图1），约70%的教师不太了解数学抽象确切含义。当教师对数学抽象还不明白是怎么回事的时候，就更谈不上实施和培养了。

（二）缺少数学抽象培养的手段和方法

通过调查发现（如图2），当前概念教学仍以注入式为主，缺乏数学抽象培养的意识和手段;升学压力下多数教师为确保教学成绩而忽略学生素养发展，长此以往势必造就许多“高分低能”。

（三）忽略抽象过程，操练代替建构的现象普遍存在

调查发现（如圖3），老师寄希望于通过习题操练来达到对所学知识的理解，结果却是一部分学生提高了解题熟练度（获得了分数），一部分还在因数学学习带来的负面情绪而苦苦挣扎，一部分因获得感缺失逐渐放弃了数学学习。

（四）虚假学习或浅表学习充斥课堂

数学素养的形成，往往需要通过学生全身心投入学习、实现深度学习才能达成。而当前传统的去情境化的学习方式，让一部分孩子失去对数学学习的兴趣却无法得到及时疏通，逐渐沦为数学课堂的陪读。此即虚假学习或浅表学习，离数学抽象素养培养相去甚远。

二、理论架构

（一）数学抽象过程的心理机制

所谓抽象，是指在认识过程中，舍弃事物个别的、非本质的属性，抽取出本质属性的过程和方法。数学抽象指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。[1]

信息加工心理学认为，学习是预期系统、加工系统和执行控制系统协同完成的，它的基本思想是把人比作计算机的信息加工系统，认为行为是大脑内部的信息流决定的。数学抽象就是大脑获取外部信息，调用内部信息，进行创造性加工而得到数学对象的过程。由此可见，数学抽象的形成是靠学生自主建构、主动加工形成的，不是依赖外力形成，是学生自主建构行为。数学抽象过程心理机制如图4，它反映了数学抽象的基本心理过程[2]。

（二）教学范式建构

探究数学抽象素养培养，不仅要研究数学抽象过程的心理机制，还要研究教学设计改进。UbD理论指出，纸笔检测对陈述性知识、知识和技能检测有效，但对学生在真实情境活动中体现出来的复杂的社会性技能无法有效评估，即关键能力和必备品格必须通过真实情境中的挑战性任务加以评估[3]。基于UbD理论的单元教学设计结构如图5。[4]

三、教学实践

下面以七上数学2.1《多项式》一课为例进行阐述。

（一）单元主题及路线图

通过梳理单元主题及路线图，不仅有利于单元整体教学设计，把握知识的本质，还能够在教学过程中有目的、有方向地促成学生对本单元中的数学概念、规则、命题、模型、思想、方法、结构和体系的抽象，落实数学抽象素养培养。单元主题路线图如图6.

（二）确定预期的学习结果

本文所指预期的学习结果并非单纯的教学目标，它涵盖数学概念、命题、思想和体系等抽象内容。教学设计只有从整体上明晰各个模块的数学抽象目标，教学才能有的放矢。

（三）确定合适的评估证据

如何检测学生数学抽象素养水平？本文通过设计挑战性任务学习，辅以纸笔检测、课堂对话、学生自评互评等，较好地评估数学抽象、逻辑推理等素养，有效克服单一纸笔检测的弊端。

（四）设计学习体验和教学活动

实践表明，学习活动与评价相辅相成、有机融合，在学习活动中嵌入评价，在评价中促进学习。基于抽象过程心理机制和UbD理论，指向数学抽象发展的学习体验活动应重点把握层次性、探究性和做中学三个原则，实现学生真实地学习。本课时教学流程如下：

【环节一】前测

判断下列说法或书写是否正确，并说明理由。

①1x ②-1x ③a×3 ④a÷2 ⑤ ⑥b的系数为1，次数为0;⑦2πR的系数为2，次数为2 ;⑧是单项式;⑨单项式的系数是，次数是1;⑩没有系数;

【师生活动】学生口答并陈述理由，其他同学点评，老师引导归纳书写要点。

【设计意图】本节课的学习起点是上一课时《单项式》，通过前测，不仅摸清学生学习起点，巩固旧知，活跃气氛，还促使单项的概念和书写规则进一步在学生头脑中抽象和建构。

【环节二】初步感知

问题：请根据下列问题情境，列出相应的代数式。

（1）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是元;

（2）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是;

（3）本班有学生65人，在做课间操时每排人数相同，恰好排成x排，则每排有人;

（4）某合唱团有学生x人，女生11人，则这个合唱团有男生人;

（5） 一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是_______千米;

（6）鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个，脚只。

【师生活动】学生独立阅读并完成填空，教师拍照同屏，学生叙述过程，同伴点评和修正。

【设计意图】让学生初步感知和识别多项式的产生是源于生活实际，感受其必要性。这种贴近实际的生活情境是形成抽象概念的重要前提，教学过程应让学生充分体会，不可逾越。也能进一步巩固单项式的书写规则意识，抽象过程再次得到锻炼。

【环节三】分类建构

问题：针对以上所列代数式，请同学们进行分类，并和你的同伴分享你的分类标准和遇到的疑惑。

【师生活动】学生先做，组内交流，代表发言，重点引导分析分类标准，代数式的结构，以及遇到的困惑。老师点评小结，全班交流。

【设计意图】此环节的意图在于通过将代数式进行分类，自然地促使学生形成认知冲突，自主想象和建构多项式的概念。此时，多项式的概念呼之欲出。

【环节四】定义表征

问题1：聚焦代数式“a+b，2a+4b，x-11，2a+2b”，它们主要的共同特征是什么？你能给此类代数式下一个定义吗？

问题2：类比单项式的概念，你还想了解多项式哪些概念？如何定义？

【师生活动】学生口答，同伴补充，老师点评断后，引导学生概括多项式及其相关概念、整式的概念。如图7.

【设计意图】UbD“理解的六个侧面”指出“能阐明”概念意味着实现了对概念较好的理解，完成了概念的抽象过程。通过文字语言和符号语言对多项式的概念进行表征，进一步锻炼数学抽象能力。

【环节五】课内练习

1.下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

2.写出下列多项式：的项，次数和常数项，指出是几次几项式。

【师生活动】学生独立完成学习单，再组内自评、互评，代表发言，老师断后，形成全班交流。

【设计意图】通过书面检测，有效检测多项式概念抽象效果，巩固概念的同时进行归纳，将多项式的概念纳入数式结构体系，进一步发展抽象能力。

【环节六】学以致用

问题1：一个花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆，求：（1）花坛的周长l. （2）花坛的面积S.

【师生活动】学生先行，老师拍照上传，生生交流。

【设计意图】进一步体会多项式的实际应用，巩固概念、规则抽象成果。

问题2：对于问题1，围绕本节课的内容，你还能提出问题或编一道题目供大家思考吗？

【师生活动】提供给学生展示的机会，学生编题大致有以下三类：

（1）问题1答案中2a+2πr，2ar+πr2分别是几次几项式？次数是多少？分别由哪些项组成？每一项的系数是什么？（2）计算花坛的周长和面积。①r=1，a=2 ②（3）改变花坛形状，将两端半圆对折内凹，花坛的周长和面积改变了吗？

【设计意图】通过问题1和问题2，让学生逐步感悟：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的数量和数量关系，给数量关系的研究带来极大方便。通过适当设置开放性问题，激活学生学习热情，改变单一封闭做题的现状，给予学生想象的空间，锻炼抽象能力。

【环节七】目标检测

1.下列代数式是多项式的有（填序号）.

2.说出下列多项式的项和次数.

3.把下列式子分别填在相应的横线上.

4.如图所示，在一个长为a的长方形中，挖去两个半径为r的半圆.

（1）求阴影部分的面积和周长l;

（2）上述求得的面積和周长的代数式分别是单项式还是多项式？若是单项式，写出它的系数和次数;若是多项式，它是几次多项式？并写出各项的系数.

（3）当时，求阴影部分的面积和周长.

5.自编一个实际情境问题，要求用含有两个字母的一次多项式表示结果。

【师生活动】学生独立完成，交流呈现，方法提炼，学生解题经验分享。

【设计意图】基础巩固，对标检测，实现教学评一致，发展数学抽象素养。

【环节八】挑战性任务学习

问题：同学们，大家看过谍战剧吗？相信影视镜头中特工秘密通信的情节让你印象深刻。为了保密，许多情况下都要对情报进行加密处理，这时就需要破译密码的“钥匙”，如果读和写双方事先约定了“密钥”，那么就可以用一种保密方式通信了。

请你和你的同伴设计一种类似的“钥匙”和保密通信方案，并通过展示来说明如何进行保密通信。

注：（1）通信方案包括：密文，密钥与解密规则，明文;

（2）展示流程：呈现密文→其他小组尝试限时破译→设密人解读揭秘。

（3）在揭秘之前，请保持本组设密方案高度保密，谨防他人获取密钥和规则，确保游戏公平。

（4）示例，如图8.

（5）方案设计评价量表，如图9：

【学生活动】根据驱动型问题，首先独立思考，再组内交流，完成方案设计的知识与能力建构（阅读，查资料等）;接着集中智慧探索并形成成果;对于初步形成的成果进行反思和修订，积极寻求老师意见;团队上台展示本组学习成果;课后对成果进行反思和迁移。

【教师活动】设计驱动性问题，引导学生进入情境;适时提供学习支架，如问题，策略和资源等，帮助学生如何应对真实劣构性问题，积累真实问题解决的经验;对于初步形成的成果，指导成果修订;组织有序展示成果，提炼核心知识和本质问题。

【设计意图】通过挑战性任务学习，促成学生的团队协作学习和真实学习，充分体验“用字母表示数”给数量和数量关系的研究带来的便利。挑战性任务学习不仅有效评估基本知识技能掌握情况，对学生在复杂任务的完成过程中所表现出来的社会性技也有较好地评估效果。如图10所示。

【环节九】小结反思

问题：（1）今天你学习到了什么？（2）判断多项式的关键是什么，如何理解多项式的次数？（3）为什么要学习多项式及整式的概念？（4）我们是如何学习多项式的概念的？

【师生活动】学生回答，同伴补充，老师断后。如图11.

【设计意图】小结环节能促进学生对数学思想和方法的感悟，从更一般化的角度认识数学结构和体系，这个过程也是数学抽象素养培养必不可少的环节。

四、教学反思

数学抽象素养的培养并非一朝一夕之功，需要教师从培养载体、教学设计、学习活动和评价形式四个方面进行思考，久久为功。

（一）抓住概念教学的契机，引导学生学会数学抽象

概念是培养学生数学抽象的典型载体，作为教师要抓住概念教学契机。概念教学通常包含两个层次的抽象，首先是基于现实的抽象，又称感性抽象，如本课例中基于问题情境列出代数式，这一过程即为感性抽象。教学环节上此过程不宜忽略或绕过，否则学生的抽象思维及概念形成受阻，表现为概念理解不透彻，机械记忆概念等。其次是基于形式的抽象，此过程为基于数学内部的抽象，又称为理性抽象，如上述课例中联结多项式与单项的概念统称为整式、用多项式表示现实世界的数量和数量关系等等。教师应充分挖掘概念课的价值，善于抓住培养数学抽象的载体，有意识、有侧重地开展教学设计和实施。

（二）“观念统领”下的单元教学设计能导向学生数学抽象行为

UbD理论下单元教学设计倡导从整体的学科高度引导学生学习，促进师生把握学科“大观念”，养成一般化思考问题的习惯。如本课例中，“大观念”有二：首先多项式即单项式的和，不仅有字母、数字之间的乘积，还有加减运算，目的直指后续整式的运算;其次感悟用多项式表示数量和数量关系给数学问题研究带来的方便。因此，在教学实践中请学生谈感悟、谈想法，目的在于把握大观念，实现基于数学形式的理性抽象。

（三）有层次、探究性、做中学的学习活动能促进数学抽象素养的形成

研究表明，数学抽象是有层次的，抽象行为通常是从低级到高级，从感性到理性，从简单到复杂，循序渐进而进行。因此，在设计学习活动时应考虑内容的梯度性。如本课例中的前测，课堂练习，目标检测，拓展提升等环节，均遵循层次性原则。特别是学以致用环节中的例题教学，如果仅仅满足于例题的解答，而不能更深入挖掘例题功能，那就十分可惜了。因此，在完成例题教学时，适当变式，凸显问题的层次性，利于数学抽象素养的逐级实现。

建构主义理论表明，知识、技能的获得，素养的形成，都是学生完成自主建构的行为。因此，探究性和做中学是开展学习活动必不可少的原则。本课例中，根据实际情境列代数式、通过小组合作分类、概括多项式的共同特征等环节，教师提供问题支架，引导学生开展自主探究，正是基于“探究性”。通过设置基于真实情境的挑战性任务学习，学生的学习兴趣被激发，沉浸在实际问题解决中，这种“在游泳中学游泳”的方式让抽象归于具体。

（四）多维度的学习效果评估体系能促进数学素养的形成

基于UbD理解六侧面理论，本课教学过程中不断通过提供学生“能解释、能阐明、能应用、能洞察、能神入、能自知”的机会，间接评估学生对所学内容是否真正理解。传统的纸笔检测对知识技能掌握情况的检测或许有效，但对数学抽象素养的评估则不再灵验。如课例中通过设置基于真实情境的挑战性任务学习，全面评估学生的抽象、推理和交流等素养，学生脸上洋溢着问题解决、收获成功的愉悦正是触及思维深处的表现。

五、结束语

基于素养的教学实践是注重学科育人理念的生动体现。通过洞悉抽象过程的心理机制，优化教学设计，促进学与教方式的根本改變，指向素养发展。UbD理念强调挑战性任务学习评价，通过以评促学，开展基于情境的学习，极大增加学生参与学习的投入度，为数学抽象素养的发展提供条件。而现阶段挑战性任务学习仍处于摸索阶段，如何设计链接课标核心知识的驱动性问题，并融入教学常态，待广大同仁进一步研究。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]李昌官.数学抽象及其学[J].数学教育学报，2017（8）：61-64.

[3]格兰特·维金斯，杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设计（第二版）[M].华东师范大学出版社，2017.

[4]陈锋.指向深度学习的单元教学设计范式研究[J].教育参考，2019（4）.