LIGO的O1/O2引力波事件对Einstein-aether理论限制能力探讨

刘刚强，曹周键

(北京师范大学 天文学系，100875)

1 引 言

广义相对论是继牛顿万有引力理论后，在强引力场、强动态时空区域更精准的引力理论。广义相对论预言的很多物理现象，包括星光偏折、引力红移、夏皮罗时间延迟、参考系被拖拽的效应和黑洞等都一一得到验证。在广义相对论发表100年后，2015年9月15日引力波被美国的激光干涉仪引力波天文台(the laser interferometer gravitational-wave observatory,LIGO)成功直接探测到。引力波的成功探测完成了广义相对论最后一个理论预言的实验检验[1,2]，也为人们观测天体和宇宙提供了一种全新手段[3,4]。

然而，广义相对论仍然存在各种各样的问题。暗物质和暗能量始终是广义相对论这片广袤天空上的两朵乌云。对于推动宇宙加速膨胀起到重要作用的暗能量[5]，我们只能考虑有效场论，唯象层面上在标准广义相对论下加入一些修正(通常在标准广义相对论下额外考虑一个标量场)，最典型的是k-essence理论[6]。对于暗物质同样如此，1933年，Firtz Zwicy发现后发座星系团中各个星系团的速度弥散太高，最开始认为只是一些不发光的物质。20世纪80年代左右，大量的观测表明，这种不发光的物质并非我们之前所认识到的基本粒子，这对基础物理提出了一个很大的挑战，这种物质虽然具有很强的宏观引力效应，但是却在局域上与物质相互作用很弱[7]。另外，广义相对论与量子理论在逻辑体系上不相容[8]；而且广义相对论自身预言时空奇点的存在，这些都暗示着广义相对论的理论缺陷。

对广义相对论所有理论预言的成功检验既表明了广义相对论的成功，也给人们带来机会寻找广义相对论失效的物理条件。牛顿万有引力理论适用范围对应的弱场和低速，都是相对于广义相对论黑洞致密程度对应的强场和相对论预言的极限光速而言。可以想象，广义相对论失效的物理条件是相对于一种新理论给出来的特征物理量而言，所以寻找广义相对论失效物理条件的最好方法就是对比不同于广义相对论的引力理论，用实验数据来进行理论选择[9]。引力波实验正好对应强引力场、强动态时空区域的物理条件。引力波实验正在以前所未有的标准检验着广义相对论，同时众多的其他引力理论被引力波实验否定[5,10–14]。毫无疑问，科学研究进展使人们对引力基本物理有了更深刻的理解。

本文以Einstein-aether理论为例，探讨引力波对超越广义相对论引力理论的实验检验。Einstein-aether理论的引力作用量可写为：

其中，Uµ是以太对应的四速，gµν是时空度规，R是里奇标量是Kronecker delta记号[15]。GEA是Einstein-aether理论的有效引力常数，有别于牛顿的万有引力常数，c1,c2,c3,c4是Einstein-aether理论的4个参数，如果这4个参数都等于0，则Einsteinaether理论回到广义相对论。Einstein-aether理论的参数组合为[16,17]：

脉冲双星的观测[16]和宇宙学的观测[17]将其限制为：

文章余下部分的安排如下：第2章介绍笔者提出的Einstein-aether理论中圆轨道双星系统的后爱因斯坦引力波波形形式；第3章介绍本文使用的Fisher Matrix参数估计方法；第4章给出引力波对Einstein-aether理论中参数的限制结果和检验Einstein-aether理论的结果；第5章是小结和讨论。

2 Einstein-aether理论中圆轨道双星系统的后爱因斯坦引力波波形

根据文献[18]的计算结果，结合圆轨道双星系统的TaylorF2引力波波形模型[19,20]，我们把Einstein-aether理论中圆轨道双星系统的后爱因斯坦引力波波形写成如下形式[21]：

其中，γ是欧拉常数，M=m1+m2是双星总质量，是双星系统的对称质量比，flso是最后稳定轨道的频率，f是引力波的频率，p0,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7和l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7是引力波相位Ψ1和Ψ2的展开系数。本文提出的波形模型与文献[21]略有不同。文献[21]关注后牛顿近似，波形公式(包括式(7),(9),(20)和(27))中的质量都是啁啾质量(chirp mass)。我们关注波形的准确性，使用了总质量。我们的波形模型在α=β−1=β0=0时，严格回到LIGO数据处理使用的TaylorF2波形模型。在唯象层次上，我们的上述模型很容易直接推广到LIGO数据分析软件库中最先进的IMRPhenom波形模型[22,23]。文献[24]中的公式(2)(即文献[25]的公式(2.5))里的ψn和ψ(l)n，以及文献[2]中的ψ−2和ψ0与本文采用的参数对应关系如下：

考虑到GW170817的多信使天文学对引力波速度的精确测定(精度约为10−15)[5,10–12,26]，我们直接把引力波速度设定为光速。于是将上述波形表达式与文献[18]的计算结果相结合，我们得到：

其中，ψ是引力波偏振角，Fb,FL,FX,FY是引力波探测器对相应引力波偏振模式的响应函数，γb,γL,γX1,γX2,γY1,γY2是Einstein-aether理论中相应引力波偏振模式的强度系数。相应函数和偏振模式强度系数可以表达为Einstein-aether理论参数c1,c2,c3,c4的函数，相关表达式的信息参考文献[18]。ϵx和κ3是Einstein-aether理论给出的参数，也是c1,c2,c3,c4的函数，分别定义在文献[18]中的公式(4.6)和(6.7)。广义相对论对应ϵx=0和κ3=1。本文接下来介绍如何利用引力波探测来限制α,β−1和β0。

高级LIGO探测器自2015年9月开机以来，已经历了三次观测运行，其探测灵敏度还在不断提高。高级LIGO探测器的噪声功率谱可以近似成下面的形式[25]：

其中，f为引力波频率，x为约化频率，S0为总的噪声水平。

3 Fisher Matrix的参数估计方法

引力波探测器所测得的数据d包含信号s和噪声n，即d(t)=s(t)+n(t)。在理想情况下，探测器的噪声是高斯稳态噪声，即d(t)−s(t)是一个随机过程，而且各种联合概率分布都是与时间无关的高斯分布。

基于引力波探测器的灵敏度，我们定义两组时间序列h1(t)和h2(t)的内积如下：

这里h1和h2头上的“˜”代表傅立叶变换，“∗”代表取复共轭，“ℜ”代表取实部，(fmin,fmax)对应探测器的敏感频率范围。对于高斯稳态噪声n(t)，其内积应该满足高斯分布：

于是我们就有条件概率分布：

对于引力波探测，我们关心的是基于探测数据d(t)，获得信号h(t)的概率是多大，也就是条件概率p(h|d)。根据贝叶斯定理，我们可得：

上式分母实为分子对应的概率归一化因子。在贝叶斯统计学里，p(h|d)被称为后验概率，p(h)被称为先验概率，p(d|h)被称为似然函数。

对于某一种类引力波源，如双星系统，引力波波形除了是时间的函数外，还依赖于波源的参数，如双黑洞的质量、自旋和轨道离心率等。我们把这些参数记作，则可得h()。概率分布p(h|d)和p(h)是相对于的函数，即是参数空间上的函数。∫p(d|h)p(h)是对整个参数空间积分。

后验概率p(h|d)作为参数空间上的函数，其最大值所对应的点被称为最可几参数0。在引力波的匹配滤波数据处理中，0对应最好匹配的那组参数[1]。我们再进一步假设信号很强，即信噪比很高，噪声n基本可忽略不计，则有d≈h(0),⟨n,n⟩≈⟨n,h⟩≈⟨n,∂λih⟩≈⟨n,∂λi∂λjh⟩≈0。如果我们简化认为先验均匀分布p(h)∝1，则根据式(36)和(37)可得：

其中，C是概率分布的归一化因子。我们考虑点处的泰勒展开近似：

上式右边的矩阵⟨∂λih,∂λjh⟩刚好对应统计学里的Fisher Matrix。也就是说在高信噪比条件下，后验概率分布在最可几参数点可近似为协方差矩阵Σij，等于Fisher Matrix逆的高斯分布。本文接下来使用Fisher Matrix的方法来估计引力波测量的参数误差

本文使用的Einstein-aether理论中，圆轨道双星系统的后爱因斯坦引力波波形模型包含参数(A,M,η,tc,ϕc,α,β−1,β0)，它们分别是引力波幅度(与引力波源的光度距离和方位角等有关)、啁啾质量、对称质量比、并合时间与相位，以及Einstein-aether理论对应的后爱因斯坦参数。我们在计算中发现A与其他参数的关联度很弱，该参数是否参与Fisher Matrix，所得其他参数的误差基本相同。使用高级LIGO探测器的灵敏度，对典型双星系统参数误差结果如表1所示。我们的结果与文献[21]的一致。由于我们的波形模型与其的细微差别导致了定量上的细微差别，从差别可以看出，我们采用更精确的波形模型(等效到3.5阶后牛顿)求出的参数误差比采用文献[21]的波形模型(等效到2阶后牛顿)算得的略小。

表1 使用Fisher Matrix方法针对高级LIGO灵敏度对典型双星系统进行参数估计的结果

关于tc和ϕc这两个参数，我们还尝试了使用F统计方法来处理[19]。对于参数误差，使用F统计与否，Einstein-aether理论对应的后爱因斯坦参数限制结果基本没有差别。在下文计算中，我们得到的结果都是没有使用F统计的计算结果。

4 对Einstein-aether理论进行限制

高级LIGO主导的LIGO科学合作组织第一次观测运行从2015年9月12日到2016年1月19日，共发现GW150914,GW151012和GW151226三个双黑洞并合事件。高级LIGO主导的LIGO科学合作组织第二次观测运行从2016年11月30日开始到2017年8月25日结束。其中高级VIRGO从2017年8月1日开始加入第二次观测运行。LIGO科学合作组织第二次观测运行共发现GW170104,GW170608,GW170729,GW170809,GW170814,GW170817,GW170818和GW170823八个双星并合事件。

我们把LIGO科学合作组织第一次和第二次观测运行发现的11个双星并合事件对Einstein-aether理论进行参数估计的结果列在了表2中。因为只有GstLAL数据处理流水线发现了所有的11个事件，所以表2里所列信噪比SNR和双星系统的质量m1和m2都是由GstLAL数据处理流水线所得[27]。我们将LIGO-VIRGO第一次和第二次探测到的11个引力波事件的参数代入到式(5)—(8)中，得出带有Einstein-aether理论的3个参数的模拟波形，再使用Fisher Matrix方法估计引力波事件对这3个参数的限制能力。从该表结果可以看出，双星系统的质量越小，则对Einstein-aether理论的参数限制越严格；这是因为质量越小，落到高级LIGO和高级VIRGO探测器频段中的引力波信号越多，对Einstein-aether理论的验证就越有效。当双星系统的质量增大，直到并合频率落到探测器频段中，虽然并合信号会较强，但我们所使用的引力波波形模型无法利用上并合短信号，导致所得限制不强。

表2 11个双星并合事件对Einstein-aether理论进行参数估计的结果

综合LIGO科学合作组织第一次和第二次观测运行发现的11个双星并合事件对Einstein-aether理论进行参数限制的结果，可以得到：

但我们要注意，以上限制结果基于假定广义相对论的引力波模板可以完全匹配探测器所测得的信号。引力波对α参数限制不好，对β−1和β0限制不错；这是因为α与引力波的幅度相关，β−1和β0与引力波的相位相关。而匹配滤波本来就只是敏感依赖于相位。

为了估计广义相对论波形模板匹配Einstein-aether理论引力波信号的程度，我们引入引力波匹配因子FF[28,29]。给定两个引力波波形h1(t)和h2(t)，它们间的匹配因子为：

当用一个波形近似另一个波形信号时，信噪比会被降低FF倍。如果降得太多，这样的波形近似就会失效。

我们以GW170817的双星参数为例，研究广义相对论与Einstein-aether理论的引力波波形匹配情况。鉴于匹配滤波与引力波幅度不是敏感依赖，我们只讨论匹配因子与β−1和β0的关系，结果见图1。从图1我们可以看出，只要β−1和β0偏离0分别在10−6和10−3的量级，Einstein-aether理论的引力波波形与广义相对论的波形完全不匹配。所以只要GW170817的引力波信号是广义相对论描述的波形，Einstein-aether理论的β−1和β0参数就可以得到很好的限制。

图1 类似GW170817的广义相对论引力波波形和Einstein-aether理论的引力波波形匹配情况

这里还存在一个问题：是否GW170817实为Einstein-aether理论描述，只是因为β−1和β0与啁啾质量的参数简并使得广义相对论模板没有遗漏这个信号？接下来我们研究这个问题。为此，我们设定β−1=6×10−5,β0=0和β−1=0,β0=0.002，然后改变啁啾质量，研究波形匹配因子，结果见图2。从图2可以看出，的确可以通过改变啁啾质量来使得广义相对论的引力波波形与Einstein-aether理论的引力波波形相匹配，即β−1和β0与啁啾质量存在参数简并。所以在不确定所探测到的引力波信号可由广义相对论描述的情况下，引力波的探测不能被认已经对Einstein-aether理论给出了很好的限制，现在我们只能说广义相对论能很好地解释所有探测到的引力波信号[2]。

图2 Einstein-aether理论中β−1和β0与啁啾质量的参数简并情况

5 结论和讨论

自2015年LIGO首次直接探测到引力波以来，高级LIGO和高级VIRGO一起进行了三次观测，共探测到几十例引力波事件，包括双黑洞、双中子星和黑洞-中子双星系统的并合，以引力波为观测手段的引力波天文学被很好地建立起来。

引力波天文学可以用来研究基本物理学中的引力相互作用[22,24,30]。GW170817就被成功应用到引力理论的检验中，若干不同于广义相对论的引力理论得到了很强的限制。

在文献[18]的计算结果基础上，结合TaylorF2引力波波形的模式，我们提出了Einstein-aether理论中双星系统的引力波波形模型。基于所提出的波形模型，我们利用Fisher Matrix方法，结合LIGO科学合作组织公开的第一、第二次观测运行结果数据中的11个双星系统，对Einstein-aether理论进行了限制、研究。Fisher Matrix方法只对参数微小偏离，或者说只在Einstein-aether理论微小修正广义相对论引力波波形的情形下有效。这种情形下，使用Einstein-aether理论的引力波波形模板对引力波实际数据的处理会得出与广义相对论相似的结果，所以我们只需要使用Fisher Matrix方法对后验概率分布做微扰研究即可。这样的条件使得我们可以把LIGO已经测出的11个双星对应的参数输入到Fisher Matrix方法进行分析。反之，一旦参数微小偏离不成立，Fisher Matrix方法将失效。我们采用匹配滤波中匹配因子的方法，探讨广义相对论引力波波形与Einstein-aether理论的引力波波形存在显著偏离的可能性及其对引力波数据处理的影响。

结果表明，如果Einstein-aether理论只是广义相对论的微小偏离(在引力波波形意义上)，则我们可以把Einstein-aether理论中的参数限制为α<0.166,β−1<8.07×10−6,β0<7.79×10−2。但只是基于引力波探测，我们还不能完全排除Einstein-aether理论显著偏离广义相对论的可能性，这时Einstein-aether理论的参数和双星系统的啁啾质量存在简并。我们计划在后续工作中，使用贝叶斯模型选择的方法来研究这种简并的可能性有多大。