借助编程开展数学教育的实证研究

刘晓挺 张华丽 李向超 杨世锰

摘 要：《利用二分法求方程的近似解》是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》的内容，本文借助编程的方式设计了利用二分法求方程的近似解的问题，再实践后，笔者们发现这种方式能有效避免以往在教学过程中借助计算器求解时的复杂运算，同时可视化编程操作简单，学生更易接受和感兴趣，培养了学生的编程思维，再借助编程思维促进学生对数学知识的理解。

关键词：编程 二分法 近似解

一、前言

图形化编程工具，通过文字和拖拽的方式实现编程，无需学生掌握复杂的计算机代码，只需利用好算法的三大结构拖动积木式程序即可进行创造，极大地降低了编程学习的门槛，提高了学生学习编程的兴趣，有利于促进学生计算思维的发展。有学者[1-2]已经借助图形化编程平台开展小学阶段的教育研究，但是编程在中学数学学科教学融合这块领域发展得还不是很成熟，如何將编程与学科教学（以数学为例）真正深度融合是一个非常重要的课题，其研究结果对后期教学的指导和其他学科均具有参考价值。

高中课程[5]中很多例题可用科学计算器求解，但当问题的计算量较大或对结果精度要求较高时，运用科学计算器，显然效率太低。有学者[3-4]运用Matlab软件设计求解高中数学教材[5]中的利用二分法求方程的近似解问题，笔者认为是一个不错的选择，但需要学生和老师对代码编程有一定的基础，对于零基础的孩子来说，并不太适合学习。本文将借助编程猫平台来设计程序，解决用二分法求方程近似解的问题，带领学生探究知识的生成过程，在实践的过程中理解二分法的原理，解决从机械性记忆到理解性记忆的问题，通过将数学理论和实践相结合的方式，培养学生的数学学习能力，落地核心素养。

二、借助图形化编程平台利用二分法求方程的近似解应用举例

（一）相关知识

1.零点存在定理：若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）<0，则在区间（a，b）内，函数y=f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）=0在区间（a，b） 内至少有一个实数解。

2.二分法：对于在区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点（或对应方程的根）近似解的方法叫作二分法.

（二）案例探究

实例：用二分法求方程的实数解。（精度可任意输入）。

步骤分析：①确定方程的初始有解区间：由于函数是减函数，是增函数，所以它们的图像最多只有一个交点，即方程最多只有一个实数解。利用编程猫平台画出函数的图像如下图，由图可知故函数的零点必在开区间（5，6）内（初始有解区间也可以包含区间（5，6），结果只是达到精度时二分法的次数不同而已）。

②利用二分法求解上述方程满足精度的一个近似解：

当精度为0.1时，编程猫平台运行结果表明：使用二分法迭代5次就可以得到一个满足精度的方程近似解。

当精度为0.0001时，编程猫平台实现结果表明：使用二分法迭代15次就可以得到一个满足精度的方程近似解。

针对该实例，笔者设计了两个作品，对应两个二维码。二维码1是在学生利用计算器一步一步完成解题过程之后，此时让学生扫码体验，并与之前的做题过程做对比，让学生感受编程解决问题带来的高效快捷，形成强烈的反差。但是数学教学是交给学生知识生成的过程，学会学习的能力，而不仅仅是答案，所以笔者又设计了作品2，对应的是二维码2。作品2能看到每一步的分解步骤，也就是二分法每次的迭代过程是能够展示给学生的，与此同时，作品中的计算器按钮可以帮助学生小组内动手操作完成每一步的计算，当然这个计算器比普通的计算器要快捷多，只需输入x，就能算出f（x）。

总结

通过教学尝试，笔者们发现，学生对图形化编程的接受比较顺畅，在搭建程序的过程中也较好的理解了二分法的数学背景，课程结束后，有同学设想通过编程能不能更好的探讨极限问题，尝试设计用编程的方式去理解更多的数学原理和数学问题。

本文只简单阐述了程序的内容和设计初衷，借助图形化编程平台，利用二分法求方程近似解，能够更形象直观地理解高中数学知识，这比以往借助于计算器代入求解更高效快捷。在人工智能时代来临之际，我们应该更好的借助各种教学方式开展教学活动，在后期的教学中，我们打算进一步利用PBL的方式带领学生在部分数学问题中通过编程来分析数学问题，实现跨学科融合，实践数学理论，让教学更加有生命力，希望更多的老师能加入借助编程开展数学教育的研究中。

参考文献：

[1]阮德怀 吴海芳.培养小学生计算思维的教学实践—以编程猫平台为例[J].基础教育参考2018（23）：40-42.

[2]胡蔡劼.图形认识方法结构视角下（基于编程猫平台的）正多边形与正多角星的计算机绘制方法一例[J].数学学习与研究，2019（4）：92-93.

[3]强雨筱.Matlab软件在高中数学学习中的应用[J].数学学习与研究，2019（1）：125.

[4]明廷堂.Matlab在方程求解中的应用与编程[J].电脑编程技巧与维护，2018（3）：148-157.

[5]北京师范大学出版社基础教育分社，普通高级中学课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

（1.陕西省碑林教师进修学校;陕西省西安市第二十六中学太乙分校）