建立微元模型，巧用动量定理解决四类问题

张金龙

微元法是分析解决物理问题的常用方法之一，高中物理教学中常用的微元法就是数学微积分思想的具体应用，该方法可将复杂的物理过程分解为众多遵循相同规律的微小“元过程”，再将“元过程”进行累加。但这种方法对学生的能力要求较高，学生往往无从下手。本文通过实例分析高中物理中四类运用动量定理结合微元法处理的典型问题，旨在帮助学生建立模型，提升物理核心素养，提高运用数学思维方法解决物理问题的能力。

一、“柱体模型”的建立与应用

1.“柱体模型”的建立

“柱体模型”是一种重要的物理模型，即在物理问题中选取某一微小“对象”或“过程”，通过建立一个类似圆柱体的微元，对问题进行分析和研究，是最常见的微元模型之一。“柱体模型”主要适用于具有流动性、连续性、均匀性等特点的常规物理问题的解答。

2.“柱体模型”在“流体”类冲击力问题中的应用

“流体”类冲击力问题一般指液体或气体在空间中连续而无空隙地分布，并对其他物体施加力的作用，此类问题一般不能将流体当作质点来进行研究，通常运用动量定理建立“柱体模型”，取微元作为研究对象，应用动量定理求解冲击力。

分析思路：在极短时间Δt内，取一小柱体作为研究对象;求小柱体的体积ΔV=vSΔt;求小柱体的质量Δm=ρΔV=ρvSΔt;求小柱体的动量变化ΔP=vΔm=ρv2SΔt;应用动量定理FΔt=ΔP。

【例1】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为m的卡通玩具稳定地悬停在空中，为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出，玩具底部为平板（面积略大于S），水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开，忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量;（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【解析】（1）设任意极短时间Δt内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm=ρΔV=ρv0SΔt，单位时间内从喷口喷出的水的质量为=ρv0S。

（2）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v，对于Δt时间内喷出的水，由机械能守恒得（Δm）v2+（Δm）gh=（Δm）v02。在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为ΔP=Δmv，设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有FΔt=Δρ，由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得F=mg，解得h =- 。

【解题锦囊】对于“流体”类冲击力问题，常用微元法隔离出部分流体建立“柱体模型”作为研究对象（解决此类问题的难点），再运用动量定理列式求解，解题过程中也可能涉及牛顿运动定律或功能关系等。

3.“柱体模型”在“链条”类冲击力问题中的应用

“链条”类冲击力问题一般指柔软链条（或细绳）在自由下落或提起的过程中，对地面或接触物体产生冲击，对地面的压力一般与链条的质量、链条在空中的长度及当地的重力加速度等有关，解决此类问题时注意将落地或离地前的一小段链条当作微元处理，应用动量定理即可求解。

分析思路：

（1）在极短时间Δt内，取即将落地的一小段链条微元Δx为研究对象。

（2）求链条微元的质量Δm=λΔx（λ表示链条的线密度）。

（3）求链条微元的动量变化ΔP=vΔm=λvΔx。

（4）根据动量定理FΔt=ΔP可得冲击力F==λv=λv2。

【例2】一根长度为L、质量为m的匀质链条被竖直悬挂起来，其最低端刚好与水平面接触，将链条由静止释放，让它落到水平地面上，求链条下落长度为x时对水平面的压力。

【解析】设链条的线密度为λ=，经过时间t后落在水平面上链条的长度为x，未到达水平面部分链条的速度为，链条落至地面后速度立即减为零。从t时刻起取很小一段时间Δt，在Δt时间内有Δm=λΔx段鏈条落到地面后静止，根据动量定理有（F-Δmg）Δt=-Δmv，因为Δmg·Δt≈0，所以F=-=-λv2=-2gλx，负号表示力的方向竖直向上，已经落至地面的链条对水平面的压力为gλx，所以链条下落长度x时对水平面的压力N=2gλx+gλx=3gλx=。

【解题锦囊】对于链条或轻绳等物体，如果参与运动的部分逐渐变化（增加或减小），运动物体的质量将发生变化，所以此类问题属于变质量问题，解题中注意取一小段链条微元为研究对象，建立柱体模型，应用动量定理列式求解。此类问题在训练学生思维时可达到非常好的效果。

4.“柱体模型”在“微粒连续作用”类冲击力问题中的应用

微粒及其特点：（1）微粒常指电子流、光子流、微尘等;（2）①质量具有独立性，②已知单位体积内的粒子数n。

分析思路：（1）建立“柱体模型”：沿运动的方向选取一段微元，柱体的截面积为S。

（2）研究微元粒子数：作用时间Δt内的一段微元柱体的长度为Δl=vΔt，柱体体积ΔV=SvΔt，柱体内的粒子数N=nSvΔt，其中n为单位体积内粒子数。

（3）先对单个微粒应用动量定理，建立方程，再乘以N计算。

【例3】飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题，我国科学家已将这一问题解决。假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S=0.98 m2，以v=2×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m=2×10-4g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船相碰后附着到飞船上）

【解析】由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等。只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力。时间t内附着到飞船上的微粒质量为m1=mSvt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得Ft=mv=mSvt·v，即F=mSv2，代入数据解得F=0.784 N。由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784 N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。

【解题锦囊】解决微粒连续作用类问题的关键是沿运动方向选取微元建立“柱体模型”，确定微元柱体中微粒的个数，再根据动量定理列式结合其他物理规律进行求解。以上例题和变式训练就是此类问题在生活中非常典型的应用，注意构建模型，将实际问题进行转化。

二、“微元段模型”的建立与应用

1.“微元段模型”的建立

“微元段模型”也属于一种微元模型，在导体棒切割磁感线类电磁感应过程中，常会出现非匀变速运动，涉及求位移、电荷量及能量等问题。由于安培力与速度相互关联、相互影响，因此电磁感应中的非匀变速运动问题用常规动力学方法往往难以解决。灵活运用微元思想，将运动过程随时间变化分割成“微元段”，可以帮助我们深刻理解物理过程，运用数学方法进而使问题得解。

2.“微元段模型”在电磁感应中的变力作用问题中的应用

如图1所示，水平放置的两根间距为L的光滑平行金属导轨，左端连接电阻R，其间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨上有质量为m的导体棒以初速度v0自由向右滑动，导体棒及金属导轨电阻不计。导体棒运动过程中产生的感应电动势E=BLv，回路中的感应电流I==，受到的合外力F=F安=BIL，即-=ma，导体棒做加速度减小的减速运动，v-t图像如图2所示，最终导体棒静止。

（1）整个过程中导体棒的位移：v-t图像与横坐标所围成的面积表示位移Δx=vΔt，取非常小的时间段Δt为一个微元过程，vi表示Δt时间间隔内的平均速度，根据牛顿第二定律有-=m，变形得到整个过程中动量定理表达式-viΔt=mΔv，即-Δx=m（v0），对整个过程累加后得x=mv0，所以整个过程中导体棒的位移x=。

（2）整个过程中通过导体棒横截面的电荷量：取Δt时间段为一个微元过程，Δq=IiΔt，根据牛顿第二定律有-BIiL=m，变形得到整个过程中动量定理表达式-BL IiΔt=mΔv，即-BLq=m（0-v0），所以整个过程中通过导体棒横截面的电荷量q=。

【例4】如图3所示，同一水平面上固定两根间距为L、足够长的平行光滑导轨PQ和MN，QN端接阻值为R的定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。一个质量为m的导体棒以平行于导轨的初速度v0开始向左运动，经过位移s停下，棒始终与导轨垂直且接触良好，其他电阻忽略不计，求：（1）磁感应强度B的大小;（2）导体棒滑过位移时受到的安培力F。

【解析】（1）导体棒运动过程中产生的感应电动势E=BLv，回路中的电流I==，導体棒受到的安培力为F安=BIL=，从导体棒开始运动经过非常短的时间Δt的过程中，根据动量定理有-=mv-mv0，整个过程全部累加起来得-=-mv0，由此可知磁感应强度B= 。

（2）根据动量定理有-=mv-mv0，当导体棒滑过位移时，对过程累加得-=mv-mv0，代入磁感应强度B可得速度v=，导体棒受到的安培力F==。

【解题锦囊】导体棒切割磁感线的过程中，因导体棒速度变化导致安培力变化，导体棒所受的合外力变化，加速度变化，导体棒将做非匀变速运动。对于此类问题，注意化“变”为“恒”，将整个变力作用过程分解为众多微小的元过程，运用动量定理列式，再进行累加进而将问题解决。此类变力作用问题在历年高考中常在选择题和计算压轴题中出现，所以同学们在备考中应予以重视并熟练掌握。

三、总结

微积分对高考理科学生来说是必考点，从2017年起，动量定理也成为理综全国卷的必考点，试题难度稳步提升。动量定理结合微元法在解决流体类问题和变力作用模型中展现了极强的优越性，此类问题能够全面体现并考查物理科学思维核心素养，但需要较高的知识整合能力和思维能力，所以同学们在高考备考当中应足够重视。

（本文系“甘肃省教育科学‘十三五规划2020年度一般课题”，课题名称：基于数学核心素养的中学数学建模单元化教学的实践研究。课题立项号：GS〔2020〕GHB3056。）