发展数学抽象核心素养，把握概念性教学

伍赠元

【摘要】在数学教学过程中，提升学生数学抽象的思维至关重要，尤其在概念性教学上。本文根据维果茨基提出的“最近发展区”思想，阐述学生在概念性教学上如何发展数学抽象核心素养：从如何让学生准确理解概念的角度出发，介绍了概念性教学存在的问题，分析了教师在概念性教学中如何利用“最近发展区”思想，让学生能够运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。最后，结合“最近发展区”思想对概念性教学提出一些建议。

【关键词】数学抽象  概念性教学  最近发展区  建议

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）12-0029-03

一、概念性教学概述

在日常的教学中，概念性教学是高中数学教学的重要课型之一。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称《课标》）在课程目标上强调：在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。在学科核心素养上强调，数学抽象主要表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构和体系。

在概念性教学上，教师如何引导学生在情境中抽象出数学概念，准确理解概念，是否经历数学的抽象活动，对学生掌握数学基础知识，学习数学、理解数学、运用数学的思维方式和语言具有不可或缺的意义。据此，本文基于维果茨基提出的“最近发展区”思想，阐述了学生在概念性教学上如何发展数学抽象核心素养，对提升学生数学抽象的思维，对教师把握概念性教学有着一定的指导意义和实践价值。

二、概念性教学存在的问题

在日常的概念性教学中，学生往往对基本概念记忆不清晰，易混淆相似概念，导致在概念的应用上失分严重;教师面对抽象的概念有时也感到“只可意会不可言传”，尤其对概念的外延和内涵没讲透彻。概念性教学存在的问题主要表现在以下几点：

1.在概念形成前，忽略了概念产生的背景。

我们在参与听课的活动中，看到有些老师开门见山抛出概念，然后花大量时间引导学生进行概念的应用。也有些教师认为学生只要记住了数学对象的定义，会做题目就行，把数学概念知识的学习简单地理解为知识的传递，忽略了概念产生的背景。比如在“对数”概念的教学中，如果不引导学生在情境中经历“对数”概念形成的抽象活动，直接抛出对数的概念，一大批学生会感到很抽象，特别是对对数的符号感到陌生，导致学生在后续的学习中（比如在对数运算性质的理解与应用方面）造成障碍。

《课标》指出，学生能够在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系。数学抽象不是简单地对数学对象文字上的一种“理解”，它应该需要经历一定的活动过程，展开一定的数学思维才能逐步达到一定的抽象高度。所以，教材里面的章头图、阅读与思考、数学史等知识对概念产生的背景介绍很有意义。

2.忽略了概念形成的过程以及概念之间的联系。

从数学的发展史看，很多数学概念都是跟生活实际密切相关，从生活问题情景中通过理想化的形式抽象出来，让学生经历“数学化”和“寻找实际意义”的互逆过程对学好这类概念起到促进的作用。在实际教学中，教师往往在引导学生抽象出数学概念、命题、方法方面做得不够深入，特别是对概念的形成过程没有剖析到位，也忽略概念之间的联系。比如，教师直接让学生强记对数的概念，然后给出一个例子（由于2=1.11x，所以x就是以1.11为底2的对数，记作x=log1.112）就认为学生已经理解了对数的概念。此时，学生难免对x=log1.112感到抽象。如果教师能够引导学生结合指数函数y=1.11x的图像，当函数值为2时，对应自变量x的值，就是x=log1.112，再进一步结合指数式与对数式的关系αx=N（α>0且α≠1）和x=logαN，学生就能够比较直观感知x=log1.112的含义与大小。

3.在概念形成后，忽略了概念的合理应用，特别是没有准确把握数学抽象素养的水平，对学生正确理解概念的评价不足。

《课标》把数学抽象素养划分为三个水平，这三个水平的划分可以按两条主要的线索进行：依据数学内容的纵向发展、依据数学活动过程的抽象程度和认知水平。对数学抽象的水平分析可以通过依据思维主体与客体之间的关系、依据对过程与对象两重性的反思水平、依据数学抽象的复杂度这三条途径。

在实际教学中，教师忽略概念与学习者之间的关系。比如学完指数函数的概念，由于同一概念在不同学生的眼里的抽象水平是不同的，导致有些学生无法进一步判断y=x4，y=-3x，y=2x+2，y=32x是否为指数函数？因此，教师除了要加强学生对基础知识、基本技能的训练，还应该关注数学抽象学科核心素养的形成与发展。教师可以有意识创造一些条件（如变式或综合性问题）来衡量学生概念理解的准确程度。

三、“最近发展区”思想

在研究学生认知发展与教育中，前苏联心理学家维果茨基（Lev Vygotsky，1896-1934）创立了“文化—历史发展理论”，用以解释人类心理本质上与动物不同的那些高级心理机能，特别强调活动和社会交往在人的高级心理机能发展中的突出作用。根据这一理论，维果茨基在教学与发展的关系上提出了三个重要问题：一个是最近发展区的思想;一个是教学应当走在发展的前面;一个是关于学习的最佳期限问题。

那么，什么是最近发展区呢？维果茨基认为，至少要确定两种发展的水平。第一种水平是现有发展水平，这是指个体独立活动所达到的解决问题的水平。第二种是在有指导的情况所达到的解决问题的水平，也是通过教学所获得的潜力。这二者之间的差异就是最近发展区。教学创造着最近发展区，因此，第一个发展水平和第二个发展水平之间的动力状态是由课堂教学中决定的。

在概念性教学中，如果教师能够把握学生的第一个发展水平和第二个发展水平，對学生准确理解概念，对培养学生抽象性思考问题的习惯和思维方式可以起到积极的引导意义。

四、在概念性教学中，发展数学抽象核心素养

根据上面理论，如何在概念性教学中把握最近发展区，提升学生数学抽象的思维呢？下面我们通过具体的教学案例（本文以普通高中数学人教A版2019必修第一册第四章第3节“对数的概念”为例），来谈谈“最近发展区”思想在概念性教学中的应用。

（一）在概念性教学过程中，确定学生的两种发展水平

1.第一个发展水平（现有的发展水平）：学生已经会运用指数函数的图像和性质去解决有关指数式的问题。请看教学设计：

师：庄子有言，一尺之棰，日取其半，万世不竭。如果取4次，还剩下多长？取多少次，还剩下0.125尺？

学生根据现有的发展水平较容易回答上面问题：由

==0.0625可知取4次，还剩下0.0625尺;再假设取x次，则可列出方程

=0.125，根据指数函数的性质，容易求出x=3;

至此，学生求出来的其实就是χ=log0.0125=3。

2.第二种发展水平（解决问题的水平）：通过设置情景，让学生抽象出对数的概念，理解对数的概念、对数式和指数式的关系。

师：取多少次，还剩下0.00390625尺？

同样也假设取x次，则可以列出方程

=0.00390625，这时学生要想求出上面方程中的x决非易事，从而教师引导学生带着这问题去寻找解决该问题的方法。

（二）在学生的“最近发展区”里，经历对数概念的抽象过程

师：要求上面方程中的x，我们先回顾什么叫作指数函数？

引导学生回顾指数函数的概念，检测学生是否已经具备学习新的概念前所需掌握的相关知识，让学生达到第一个发展水平。

师：我们知道，指数函数y=αx（0<α<1）在R上单调递减。如果令y=N，请问这个方程αx=N中的解x是否唯一？

师：既然x是唯一的，那么x=？用什么符号来表示呢？

由此教师顺其自然地引出对数符号x=logαN，同时进行背景补充：在16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》。但是纳皮尔在讨论对数概念时，并不是像我们教材对数定义所说的，而是借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。直到18世纪，瑞士数学家欧拉首先使用y=αx来定义x=logαy。进而引导学生去关注教材阅读与思考——对数的发明。

引出对数的概念后，教师也可以进一步引导学生进入新的“最近发展区”，要求学生把上面问题中的x写成x=log0.00390625，继续引导学生探究这个对数式到底是一个怎样的数？

（三）在学生的“最近发展区”里及时把握对数式与指数式之间的联系αx=N←→x=logN

让学生明白对数运算本质是指数运算的逆运算，进一步加深概念的理解：对数logαN是一个实数，它是唯一的，它的大小可以通过指数函数的图象刻画出来的。

（四）在概念形成后，根据学生的认知水平及其课堂生态，及时对概念合理应用（见例1），以及对学生是否正确理解概念进行评价（见例2）。

例1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

例2. 求下列各式中x的值：

学生通过在情境中抽象出对数的概念，在指数式与对数式的互化等题型中形成数学抽象的思维，并运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

（变式）求下面式子的值

通过变式，加深对对数概念的应用，为下一节对数的运算作铺垫。

五、建议

基于“最近发展区”思想，在概念性教学中提升学生数学抽象的思维，在实际教学中有如下建议：

1.在概念的形成过程前，要准确把握学生的认知规律

兴趣是学生最好的老师，如何把学生的思维引进“最近发展区”，关键在于教师是否有高超的引导水平，设置的问题能否让学生产生兴趣，使学生通过教师的引导能够解决问题，从而获得心理的满足。这时，教师就要了解学生的认知规律，准确把握学生的两个发展水平，根据学生的学习状态，不断地创设“最近发展区”，从而让学生准确理解概念。

2.教师要找准学生的“最近发展区”

在概念性教学过程中，教师要准确把握学生的两个发展水平，考虑学生是否已经具备学习新的概念前所需掌握的相关知识，以及对原有知识掌握的程度进行摸底。教师还要了解学生的认知是有差异性，每一位学生的“最近發展区”也是不一样的。因此，教师备课前要充分了解学情，才能找准学生的“最近发展区”，让学生准确把握数学概念。

3.在概念性教学中，虽然准确把握学生的“最近发展区”有助于学生准确理解概念，但是它不是唯一的办法。因为，并不是每一个概念性教学都要有“最近发展区”。所以，在概念性教学过程中，没必要刻意关注学生的“最近发展区”，导致课堂时效性不好。

参考文献：

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