高超音速飞行器的神经网络跟踪控制

游茜, 陈晓锋, 苏友峰

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350108)

0 引言

高超音速飞行器作为“第三次动力革命”的代表, 其技术前景在民用和军事领域被广泛看好. 近年来, 世界各国陆续掀起了高超音速技术研究的热潮. 在高超音速飞行器动力系统的研究过程中, 解决由升降舵耦合所产生的非最小相位特性是一项极具挑战性的研究[1]. 近年来，有学者提出一种基于输出调节的非线性飞行跟踪控制框架解决该问题[2], 指出其可解性依赖于调节器方程, 该方程是依赖于系统的偏微分方程组[3]. 对于非线性系统, 调节器方程通常无法求得解析解, 如本研究所分析的高超音速飞行器, 该系统是具有9个状态变量、 2个输入和2个输出的非最小相位非线性系统. 这类问题可使用几种不同的近似方法来逼近调节器方程的解[4-7], 称为近似输出调节问题.

近似输出调节问题的研究始于多项式逼近, 作为一种基于泰勒级数展开的近似方法[8]被应用到多输入多输出非线性非最小相位系统[9]. 随后, 更有效的神经网络逼近法在非线性伺服机制问题[10]中被提出, 用于逼近调节器方程的解[11]. 神经网络逼近方法基于著名的万能近似定理[12], 该定理表明对于三层神经网络, 只要其隐藏层包含足够的神经元, 该神经网络就可以近似任意精度的连续函数. 使用各种方法训练神经网络的权重矩阵, 神经网络逼近调节器方程解的问题可以转化为参数优化问题. 此方法被用于许多实际的非线性系统中, 例如球形倒立摆系统[13].

另一种更直接的方法是使用神经网络直接近似前馈函数[14], 其仅需同系统输出一样维度的神经网络来近似方程的解. 目前, 该方法已经应用到推车倒立摆系统[15]、 球形倒立摆系统[16-17]和欠驱动摆锤系统[18]. 由于不需要逼近调节器方程的所有解, 因此适用于复杂的非线性系统.

本研究所分析的高超音速飞行器的纵向动力学系统, 若使用神经网络近似其调节器方程的解, 需要六个神经网络来分别近似六个偏微分方程的解. 而使用神经网络来直接近似前馈函数, 仅需逼近两个偏微分方程的解. 因此, 发展后者相应理论, 可有效降低计算复杂度, 提高控制效率.

1 跟踪控制理论

考虑如下非线性系统:

(1)

其中：F(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),H(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),k≥2均为全局定义且在原点附近充分光滑的非线性函数, 同时满足初始条件F(0,0,0)=0,H(0,0,0)=0.x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分别为系统的状态、控制输入和输出.v(t)∈Rq是外部参考信号, 由如下自治系统产生:

(2)

该自治系统的输出为yd(t), 其中矩阵S满足如下假设:

假设1S的所有特征值互异且实部均为零[3].

假设4在Rq的原点开邻域V中定义了两个充分光滑的函数x(v)和u(v), 满足初始条件x(0)=0,u(0)=0且对所有的v∈V有:

(3)

方程(3)称为调节器方程, 其可解性是非线性输出调节问题可解的必要条件. 基于假设1～4, 使用经典理论[3], 可推出如下带有前馈函数的输出反馈控制器:

(4)

其中:c(v)=u(v)-Kx(v)称为前馈函数, 其前馈增益K和观测器增益L0使得下式为Hurwitz的矩阵.

(5)

前馈函数c(v)依赖于调节器方程的解, 然而, 对复杂非线性系统, 调节器方程的解析解往往无法求得. 在本研究中将直接使用神经网络来近似此前馈函数. 基于著名的万能近似定理[12], 可归纳如下定理:

定理1设Φ∈Ck(R)为双曲正切函数. 令Γ为Rn中的紧子集. 那么对于任意ε>0, 存在一个三层神经网络

(6)

满足：

其中：整数N为神经网络隐藏层的神经元个数；W1∈R(n+1)×N是输入层与隐藏层间的权重矩阵,W2∈R(N+1)×m是隐藏层与输出层间的权重矩阵.

(7)

基于神经网络的跟踪控制问题可以描述为设计一个形如式(7)的控制器, 使得对于充分小的x0,ξ0,v0, 联立式(1)～(2)及(7)所得闭环系统有如下性质:

1) 上述闭环系统的解xω(t,x0,ξ0,v0)存在, 且对所有t≥0均有界.

2 高超音速飞行器系统

2.1 纵向动力学模型

(8)

该系统的特点是控制输入不直接出现在系统的状态方程中, 而是通过相关物理量的复杂非线性复合表达式呈现. 此处, 系统的系数参照Parker等人建立的高超音速飞行器数学模型[19].

2.2 解耦

为了表述高超音速飞行器的跟踪控制问题, 将系统变量做如下的坐标变换:

于是, 高超音速飞行器的动力学方程可以写成以下标准模式:

(9)

2.3 外系统

高超音速飞行器速度跟踪和高度跟踪的两个参考信号都是正弦函数, 通过以下自治系统生成, 称为外系统.

(10)

3 高超音速飞行器的跟踪控制问题

3.1 证明调节器方程存在局部解

(11)

3.2 近似前馈函数

表1 Hooke-Jeeves法

4 仿真实验

本研究高超音速飞行器仿真实验的参数初始化如下:T0=46, num=240,ρ=0.2,α=0.1, 神经网络的权重矩阵均初始化为(-1, 1)间的随机矩阵. 神经网络隐藏层神经元的个数采用对比实验来确定, 在N=20时神经网络有较好的近似能力和较高的计算效率. 令参考轨迹yd(t)=[0.5 sin(1.5t), 0.5 sin(1.5t)]T. 经过对神经网络的训练, 发现当J(W)<0.014时, 系统已经有了较好的跟踪效果, 图1～2显示了此时高超音速飞行器系统输出对参考轨迹的动态响应. 图3～4分别显示了相应的跟踪误差.

图1 神经网络跟踪控制的速度响应

图2 神经网络跟踪控制的高度响应

图3 速度响应的误差

图4 高度响应的误差

5 结语

本研究分析了高超音速飞行器纵向动力学系统的跟踪控制问题. 针对耦合引起的非最小相位特性, 给出合理的解耦策略. 利用神经网络直接逼近前馈函数, 进而得到基于神经网络的输出反馈控制器, 使得所研究闭环系统内部稳定且渐近跟踪参考信号.