局域共振声子晶体板的减振降噪研究

郭 旭，崔洪宇，洪 明

（1.大连理工大学船舶工程学院，辽宁大连116024；2.东风日产乘用车公司技术中心，广州510800）

0 引 言

随着船舶向轻量化、快速化及重载化方向发展，船舶的振动噪声问题日益突出。船上的振动噪声及其传递路径十分复杂，受空间及重量的限制，传统的减振降噪技术具有一定的局限性，难以对特定频率范围内的振动噪声进行有效的抑制，而具有带隙特性的局域共振声子晶体结构为解决这一问题提供了新的思路[1]。香港科技大学的Liu 等[2]在2000 年提出了局域共振声子晶体的新概念。近年来，针对局域共振单元的不同形式，国内外学者开展了大量的研究。

Fang 等[3]对铝板上附加梁振子的声子晶体的两种带隙耦合机理进行了分析。Xiao 等[4-6]发现附加弹簧质量系统及梁振子的板具有很好的减振隔声效果。Wu等[7]通过在板上附加不同固有频率的悬臂梁得到了多个频率范围的带隙。圆柱形式的局域共振单元制造工艺简单并且具有良好的带隙特性，引起了国内外学者的广泛关注。王刚[8]通过在铝板上周期附加橡胶柱和铜块，采用集中质量法计算声子晶体板的带隙特性，并通过实验验证了局域共振板的振动衰减特性。Oudich等[9-10]研究了附加单一橡胶柱和铅-橡胶复合柱的环氧树脂板的带隙特性，分析了几何参数对带隙的影响，并以铝板周期附加单一橡胶柱为研究对象，通过实验验证了带隙的存在。Assouar等[11-12]对双侧布置铅-橡胶复合柱的铝板的带隙特性进行了研究，发现双面布置振子时可以有效拓宽声子晶体的带隙，并进一步在铝板上周期布置钨-橡胶复合柱，通过实验验证了声子晶体板的减振效果。Assouar等[13]又对附加弹簧和单一橡胶柱的铝板的隔声特性进行了研究，并对其隔声机理进行了分析。Wang等[14-15]在Assouar研究的基础上对铝板双侧非对称布置单一橡胶柱的声子晶体板的带隙特性进行了研究，并且对柱体的不同形式及周期排列方式进行了探索。赵浩江[16]详细分析了几何参数对附加铅-橡胶复合柱的铝板的带隙特性的影响。何晓栋等[17]研究了晶格常数对附加铜-橡胶复合柱的铝板隔声特性的影响。

针对舰船结构减振降噪设计及控制问题，本文对附加铜-橡胶复合柱的钢板及加筋钢板的带隙特性及声振特性进行研究，并探究多种设计方案下，铜-橡胶复合柱的几何参数及布置形式对声子晶体板减振隔声特性的影响。

1 声子晶体模型与计算方法

采用正方晶格/附加复合柱的声子晶体板为研究对象，其中基板采用钢材料，复合柱由橡胶及铜组成，单复合柱及四复合柱声子晶体板的原胞形式如图1所示，计算中涉及的几何参数及材料参数如表1和表2所示。

图1 单复合柱和四复合柱声子晶体板的原胞形式Fig.1 Cell structure of single composite and four composite columns

表1 复合柱几何参数Tab.1 Geometric parameters of composite column

表2 复合柱材料参数Tab.2 Material parameters of composite column

在线弹性、各向同性、体积无限大的均匀介质中，忽略阻尼的影响，弹性波动方程为

式中，λ和μ为介质材料的拉梅常数。对方程进行有限元求解，矩阵形式的方程为

式中，K 为结构刚度矩阵，M 为结构质量矩阵，u 为位移特征向量。考虑晶体的空间周期性，以二维声子晶体为例，其边界满足Born-von Karman边界条件：

式中，a 是晶格常数，f ( r )表示以a 为周期的函数，N 为任意整数。位移场在结构上具有一定的周期性，根据Bloch定理可分解为

式中，uk( r )为具有与系统相同周期的函数；k 为波矢量，取值限制在第一Brillouin 区内，原胞边界满足条件：

联立方程（2）和（5），使波矢k遍历整个不可约Brillouin区边界，可以得到完整的色散曲线图。

声子晶体板的传递特性采用有限元法计算，在声子晶体板一端输入单位幅值的加速度激励，提取另一端的加速度幅值大小。通过计算振动传递率来描述结构对振动传播的隔离能力。振动传递率的计算公式为

式中，aL为激励点加速度幅值，aR为响应点加速度幅值。

通过计算隔声量或传递损失(Sound Transmission Loss)来描述结构隔声的效果：

式中：τ 为透射系数，即入射波声功率与透射波声功率之比；Winc为入射波的声功率；Wtr为透射波的声功率。

2 声子晶体板在船舶隔振系统中的应用

浮筏隔振系统在船舶设备减振中应用十分广泛，浮筏隔振系统的筏架为钢板结构，本文在浮筏隔振系统的筏架中引入声子晶体板，针对浮筏上机械设备产生的一定频率范围内的机械振动进行隔振研究，探索声子晶体板在浮筏隔振系统中的应用前景。

船舶隔振系统的示意图如图2 所示，隔振系统的筏架为钢板结构，引入的声子晶体板形式如图3所示，基于声子晶体板的带隙特性，对船舶设备产生的特定频率范围内的机械振动进行隔振研究。

单胞形式如图1（a）所示，参考文献[18]，声子晶体板的几何参数设置如表3所示。

图2 船舶隔振系统示意图Fig.2 Schematic diagram of ship vibration isolation system

图3 声子晶体板结构Fig.3 Phononic crystal plate structure

表3 声子晶体板的几何参数（单位：m）Tab.3 Geometric parameters of phononic crystal plate(Unit:m)

本文采用有限元法计算图1（a）所示的单复合柱声子晶体板的带隙特性及振动传递特性，带隙特性计算基于理想声子晶体（无限周期结构），振动传递特性计算基于有限周期结构。如图3所示，本文所提出的声子晶体板在x方向有6个周期，y方向有4个周期。通过对结构进行特征频率分析，得到能带结构图及频率响应图，如图4～5所示。

图4 能带结构图Fig.4 Energy band diagram

图5 声子晶体板的传递特性Fig.5 Transfer characteristics of phononic crystal plates

提取A 点和B 点的单元振动模式如图6 所示，A、B 主要为沿z方向的垂直振动，与板中z方向振动的弯曲弹性波相互耦合，形成弯曲弹性波共振带隙，带隙频率范围为136～198 Hz。通过计算振动传递率可以发现，在141～204 Hz频率范围内，振动传递有所衰减，与带隙范围一致。

图6 单元振动模式Fig.6 Unit vibration mode

复合柱的几何参数与声子晶体的隔振效果相关，通过调整橡胶层及铜块的高度，可以调控声子晶体的隔振特性。本文计算了四种单复合柱声子晶体板的隔振特性，并通过在原胞上附加四种不同单复合柱，计算四复合柱声子晶体板的隔振特性，探索声子晶体板在低频宽带隔振领域中的应用，四复合柱声子晶体板原胞结构形式如图1（b）所示。晶格常数a为0.05 m，基板厚度h为0.005 m，在设计过程中保证橡胶层和铜块的总高度H1不变。具体的几何参数设计如表4和表5所示，材料参数如表2所示。计算得到的声子晶体板的隔振特性如图7所示。

表4 单复合柱几何参数（单位：m）Tab.4 Single composite column geometric parameters(Unit:m)

表5 四复合柱几何参数（单位：m）Tab.5 Four composite column geometric parameters(Unit:m)

图7 声子晶体板的隔振特性Fig.7 Vibration isolation characteristics

比较图7（a）和（b）可知，在橡胶层和铜块的总高度不变时，橡胶层高度较大，而铜块高度较小时，更容易实现对低频的隔振。橡胶层高度增大，橡胶层等效刚度减小，铜块高度减小，铜块质量减轻，相比之下，橡胶刚度比铜块质量对低频隔振的影响更大。

通过对比图7（a）和（c）发现，在原胞上布置多个相同的复合柱，可以拓宽声子晶体的隔振特性。从图7（d）中可以观察到，在原胞上布置多个不同的复合柱可以产生多个隔振频率带，并且产生的频率带与附加单复合柱产生的频率带相比向低频方向移动。

3 声子晶体加筋板在船舶舱室隔声中的应用

为满足船舶结构的强度等特性要求，船舶舱室舱壁一般设置为单层及双层的加筋钢板结构。本文通过在加筋钢板结构上附加复合柱振子，针对特定频率的噪声进行隔声研究，探索声子晶体板在船舶舱室舱壁中的应用前景。

采用有限元方法计算如图8（a）所示的声子晶体加筋板的带隙特性及隔声特性，带隙特性及隔声特性计算基于理想声子晶体(无限周期结构)，在声子晶体加筋板的边界设置Floquent 周期性边界条件。有限元模型采用实体单元，划分的有限元网格长度小于考虑到单元及计算量的大小，本文对实际的结构进行了模型简化，几何参数如表6 所示，材料参数如表2 所示，L 型筋的尺寸为3 mm×1.8 mm×1 mm。

表6 声子晶体板实际几何参数（单位：m）Tab.6 Actual geometric parameters of phononic crystal plate(Unit:m)

图8 单复合柱和四复合柱加筋板原胞Fig.8 Stiffened plate cell of single composite and four composite columns

通过对结构进行特征频率分析，得到能带结构图及隔声曲线图，如图9～10所示。

图9 能带结构图Fig.9 Energy band diagram of the structure

图10 声子晶体板的隔声特性Fig.10 Sound insulation characteristics

从图9和10中可以看出，声子晶体的带隙频率范围为567～650 Hz，在此频率范围内声子晶体板与等质量钢板相比具有良好的隔声效果，因此可以在船舶舱室舱壁中引入声子晶体加筋板结构，实现对特定频率范围的隔声。

本文还计算了四种单复合柱声子晶体加筋板的隔声特性，并通过在单胞上附加四个单复合柱，计算四复合柱声子晶体加筋板的隔声特性，结构形式如图8（b）所示，探索声子晶体在多频宽带隔声领域中的应用。晶格常数a为0.03 m，基板厚度为0.002 m，其它几何参数如表7和表8所示，材料参数如表2所示。计算得到的声子晶体加筋板的隔声特性如图11所示。

表7 单复合柱几何参数（单位：m）Tab.7 Single composite column geometric parameters(Unit:m)

表8 四复合柱几何参数（单位：m）Tab.8 Four composite column geometric parameters(Unit:m)

图11 声子晶体加筋板的隔声特性Fig.11 Sound insulation characteristics

通过图11（a）可以看出，在橡胶层和铜块的总高度不变，而橡胶层高度较大，铜块高度较小时，隔声频率范围向低频方向移动。对比图11（a）（h1=0.002，h2=0.002）和图11（b）（h1=0.002，h2=0.002）可以发现，在原胞上布置多个相同的单复合柱，可以拓宽声子晶体加筋板的隔声范围。从图11（b）中可以观察到在原胞上布置多个不同的单复合柱，可以产生多个隔声频率带，并且产生的频率范围与附加单复合柱时相比向低频方向移动，与隔振效果具有相同的变化规律。

4 结 语

本文针对船舶领域中特定频率的减振降噪问题，提出了附加复合柱的声子晶体钢板和加筋钢板结构，对声子晶体板在船舶隔振系统及船舶舱室舱壁隔声中的应用进行了研究。从研究结果来看，通过在钢板上附加橡胶-铜块复合柱，声子晶体板可以产生特定频率的带隙，在特定频率范围内具有良好的减振隔声效果。

在橡胶-铜块复合柱总高度保持不变时，选择较厚的橡胶层及较薄的铜块更易实现低频范围的减振隔声。在声子晶体板的原胞上附加多个相同的复合柱，可以有效拓宽声子晶体板的减振隔声频率范围，在原胞上附加多个不同的复合柱，可以产生多个减振隔声频率带。

因此，通过合理选择复合柱的物理参数、几何参数及布置形式，声子晶体可以在特定频率范围内抑制振动及噪声的传播，为声子晶体在船舶结构减振降噪中的应用提供了一种有效的方法及理论依据。