方案设计与决策型问题探究

2021-04-28 11:50郑莹莹
中学教学参考·理科版 2021年4期

郑莹莹

[摘 要]探究方案设计与决策型问题,以培养学生的创新能力,提升学生的数学应用意识.

[关键词]方案设计;决策型;探究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2021)11-0024-02

方案设计与决策型问题,是通过一个实际生活背景,提供了一些信息,然后要求学生通过比较、设计、操作找到解决问题的最佳方案.有时解决问题的方案不止一种,有时需要根据不同情况采取不同的方案,它具有开放、灵活、发散的特点.此类问题多取材于实际生产生活,结合时代热点.方案设计与决策型问题的引入,改变了过去学生学习对模仿和记忆的依赖,从“重结果,轻过程”转变为“既重结果,也重过程”,对学生创新能力的培养、数学应用意识的提升都十分有用.

一、利用不等式组设计方案

利用不等式组设计方案,就是通过建立不等式组找到解决问题的几种方案,然后通过比较找到最佳方案.它常与方程组结合在一起考查.解决此类问题可分两步走:第一步,通过方程组求出两个未知量;第二步,综合已知条件与第一问的结果列出不等式組,然后求出此不等式组的非负整数解.

[例1]江苏省响水县水利局决定,招标一工程队负责完成南洼水库的土方挖掘任务.该工程队有两种型号的挖掘机,分别是A、B,已知要施工1小时挖出140立方米的土,需要2台A型挖掘机和3台B型挖掘机;要施工1小时挖出80立方米的土,需要1台A型挖掘机和2台B型挖掘机.工作1小时,每台A型挖掘机需付费350元,每台B型挖掘机需付费200元.

(1)挖掘机工作1小时,每台A型挖掘机挖土多少立方米?

(2)若施工4小时完成不少于1360立方米的挖土量,需要A型挖掘机和B型挖掘机共10台同时施工,且总费用不超过14 000元.有什么调配方案?最低费用多少元?

解析:(1)设每台挖掘机工作1小时,A型挖掘机挖土x立方米, B型挖掘机挖土y立方米,

答:工作1小时,每台A型挖掘机每小时挖土40立方米.

(2)设有m台A型挖掘机参与施工,则有(10-m)台B型挖掘机参与施工,

∴共有三种调配方案:①调配7台A型挖掘机、3台B型挖掘机施工;②调配8台A型挖掘机、2台B型挖掘机施工;③调配9台A型挖掘机、1台B型挖掘机施工.

∴选择方案①时,费用最低,最低费用为12 200元.

评注:解决此类问题的关键是列不等式组,找出题中的两个不等式关系,分别列出不等式.找不等关系要抓住关键词“至少” “至多” “不超过” “不低于”等.

二、利用方程组设计方案

利用方程组进行方案设计,就是通过列二元一次方程组,利用二元一次方程组有无数多个解的特点设计方案.虽然二元一次方程组有无数多个解,但在实际问题,有实际意义的解往往是有限个,其实就是求二元一次方程组的非负整数解.

[例2]据市场调研发现,2019年潢川县农业合作社梅子喜获丰收,合作社大股东李海军准备雇车把梅子运往外地去销售,货车公司的负责人告诉李海军,若运12吨货物,可用2辆A型车和3辆B型车;若运17吨货物,可用3辆A型车和4辆B型车,李海军准备同时租用A型车m辆,B型车n辆,一次性运完21吨梅子.根据上述运载量,解决下面两个问题:

(1)每辆A型车装满梅子可运货多少吨?每辆B型车装满梅子可运货多少吨?

(2)合作社大股东李海军有多少种租车方案?

解:(1)设每辆A型车装满梅子可运货x吨,每辆B型车装满梅子可运货y吨,

答:每辆A型车装满梅子可运货3吨,每辆B型车装满梅子可运货2吨.

答:共有3种租车方案.

三、利用一次函数的性质设计方案

利用一次函数进行方案设计,包括两种情况,一是探讨单一函数关系式,当自变量取不同值时,对应函数值的变化情况;二是比较两个或三个函数关系式,当自变量在不同范围内取值时,比较函数值的大小关系.通过函数值的比较得所需的方案.

[例3]某足球馆标准票价20元/张,7-8月份为了扩大销售,增加业务量,现推出两种特殊卡:①至尊卡售价每张600元,每次到足球馆去玩不再另外收费;②贵宾卡售价每张150元,每次到足球馆去玩另收10元费用.标准票正常出售,两种优惠卡仅限7-8月份使用,不限次数.设到足球馆去玩x次时,所需费用为y元.

(1)写出选择至尊卡、贵宾卡、标准票消费时,y与x之间的函数关系式;

(2)如图1所示的图像是三种营销方式对应的函数图像,点A、B、C的坐标分别是多少?

(3)认真观察函数图像,说一说选择哪种消费方式更划算.

评注:此题通过观察图形比较函数值的大小关系,从而得到较划算的方案,体现了数形结合的数学思想.一般地,两个函数图像,当自变量取相同值时,函数图像在上方的,函数值较大,函数图像在下方的,函数较小,交点处函数值相等.

四、利用二次函数的最值性质设计方案

利用二次函数的性质进行方案设计,就是通过列二次函数关系式,利用二次函数最值的性质,求得问题的最大利润、最低成本、最佳方案等.通常要对列出的二次函数关系配方成[y=a(x-h)2+k]的形式,根据“[a>0]时,二次函数有最小值;[a<0]时,二次函数有最大值”得到符合题意的方案.

[例4]星月休闲娱乐度假村有海景房15间,贵宾房20间.按现有定价,若全部入住,一天营业额为8 500元;若海景房、贵宾房均有10间入住,一天营业额为5 000元.

(1)每间海景房、贵宾房的定价分别是多少钱?

(2)经过前段时间的经营发现,星月休闲娱乐度假村的贵宾房,若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每天的定价每个贵宾房每增加20元时,会空闲2个房间.已知消费者居住房间,公司需对每个房间每天支出80元的费用.要达到最大利润,每间贵宾房定价为多少钱?

答:海景房、贵宾房每间现有定价分别是300元、200元;

答:要达到最大利润,每间贵宾房应定价为240元.

评注:在销售利润问题中,“总利润=每件利润×件数”是最常用的等量关系,它常用来建立二次函数关系式.在此问题中,其关键是求出当利润或价格变化a元时,件数变化对应的代数式.

从上述案例可以看到,方案设计与决策型问题在考试中并不是单一的运用不等式、方程或函数解决,大多是两种或三种的综合,学生必须熟练掌握各种题型且灵活运用.

(责任编辑 黄桂坚)