基于视觉传达效果的图像压缩感知重建算法研究

沈凤仙

(三江学院 计算机科学与工程学院， 江苏 南京 210000)

0 引言

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)技术能够提供活体组织的细节图像，同时具有对人体无辐射性伤害等优点，因此被广泛地应用于人脑、胸部、心脏以及人体其他部位结构的成像。但是，MRI成像技术存在成像速度慢的缺点，这样会导致心脏成像、腹部成像和功能成像中产生伪影；另外，由于过长的采样时间会造成患者心理的不适感。为了提高MRI数据采样速度和成像速度，Crawley和Wajer等人采用部分傅里叶变换和非笛卡尔采样实现k空间数据的欠采，但是会引入部分图像伪影。压缩感知(Compressed Sensing，CS)最早由Donoho[1]和Cande[2]等人提出，其打破了传统采样理论对采样频率的限制，可以采集数据且可以压缩采集的数据，能够降低数据采样量、节约数据的存储空间以及计算时间。CS最先由Lustig[3]引入MRI图像的采集和重建，从k空间随机欠采样产生的伪影视为噪声的角度出发，通过最小化l1范数的非线性重建实现MRI图像中伪影的去除。

为解决MRI图像欠采样易产生阶梯状伪影的问题，Knoll等人[4]提出一种基于高阶总变分法的图像重构伪影去除法，实验结果表明，可以有效地抑制阶梯状伪影。

Qu等人[5]提出一种联合稀疏变换的MRI图像重构算法，通过一个稀疏变换重构伪影实现另外一个稀疏变换的抑制，达到MRI图像伪影的去除，实现图像重构质量的提高。

Islam等人[6]结合小波域和高斯模型，提出一种基于小波域的高斯混合尺度模型的MRI图像欠采样重构算法，实验结果表明，该方法同传统方法相比较可以提高信噪比0.5 dB，效果较好。

目前，稀疏变换和表示在MRI图像重建处理中发挥着重要作用，曲波变换作为图像稀疏变换的重要方式已被广泛地应用于图像处理。但是，传统的曲波变换只能提取有限的方向性信息，且变换基也是预先设定的，因此无法完全抑制图像的噪声和保留图像的边缘信息。针对传统曲波变换存在的缺点，将图像分块理论引入压缩感知图像重建，结合曲波变换具有适合表达边缘细节信息和曲线信息的优点，利用曲波变换对MRI图像进行稀疏表示，提出一种基于图像分块的曲波变换的MRI图像压缩感知图像重构算法，从而实现MRI图像噪声的抑制和边缘信息的保留。

1 压缩感知MRI(Compressed Sensing MRI，CS-MRI)

Do等人[7-10]研究发现二维小波变换缺少稀疏表示光滑边缘和轮廓的能力，使得重建后的MRI图像仍然存在伪影现象。针对小波变换无法实现最优逼近，本文结合曲波变换具有适合表达边缘细节信息和曲线信息[11-12]，采用曲波变换对MRI图像进行稀疏表示。

MRI图像稀疏重建实质上是求解l1范数最优化的问题[13-16]，如式(1)。

(1)

式中，l1范数||α||1表示向量α中所有元素的绝对值之和。交替方向优化算法被广泛地应用于MRI图像重建，其可以将式(1)的最优化问题转化[17]，如式(2)。

(2)

式中，ψH表示稀疏变换，主要实现图像x的稀疏化；傅里叶欠采算子FUx表示被重构的MRI图像；y∈CM表示获得的k空间数据。

2 图像块的方向性曲波变换的CS-MRI图像重建

2.1 图像块方向性曲波变换(Graph Patch-based Directional Curvelet Transform，GPBDCT)

MRI图像分块结果，如图1所示。

(a) 分块结果

令φT表示图像x的二维正向曲波变换，Rj表示将图像x系数φTx分成块的算子bj=RjφTx(j=1,2,…,J)，实现图像的分块操作，候选方向集为θ={θ1,θ2,…,θd,…,θD}，对于第j个块的几何方向，那么曲波变换域内子带系数块的几何方向wj能够通过S个曲波系数的最小逼近误差实现估算[18]，如式(3)。

(3)

(4)

(5)

式中，c表示每个像素的重叠系数。

2.2 基于PBDCT的CS-MRI图像重建

在CS-MRI图像重建过程中，通过约束变换系数的l1范数，使得其最小化，而l0范数则能用较少的测量值实现图像重建。因此，通过约束l0范数最小化进行MRI图像重建，其重建式，如式(6)。

(6)

2.3 算法流程

为了方便求解和计算，将辅助变量αj=ψTP(θj,d)Rjx引入式(6)，则有式(7)。

(7)

式(7)在求解过程中，随着β的增大，前一次β值的解作为下一次β下的初始解。当β值一定时，式(7)通过下面两步实现求解。

(1) 固定x，计算每一个αj，如式(8)。

(8)

(9)

式(9)可以通过正则化方程进行求解，如式(10)。

(10)

由于ψψT=I,PT(θj)P(θj)=I，式(10)可以简化，如式(11)。

(11)

MRI图像系数重建结果，如式(12)。

(12)

其算法流程如下。

3 实验与结果分析

3.1 评价指标

(13)

(14)

(15)

实验中，采用笛卡尔采样模板实现k空间数据欠采，如图2所示。

(a) 35%数据欠采

所有k空间数据均由SIMENS 3T成像仪采集得到，成像参数TR/TE=6 100/99 ms，层厚为3 mm，视野为220*220 mm。

标准实验图像，如图3所示。

(a)

(e)

为评估本文算法的有效性，以图3(a)-图3(h)为研究对象，其中，图3(a)-图3(d)为笛卡尔坐标采样图像，因为笛卡尔坐标采样被广泛地应用于工程实践和科学研究，具有很好的效果；图3(e)-图3(h)为2维欠采样图像。

GPBDCT、块方向性曲波变换(Patch-based Directional Curvelet Transform，PBDCT)和平移不变离散余弦变换(Shift-invariant Discrete Cosine Transform，SIDCT)重构结果，如图4所示。

(e) 模板

图4表示不同方法MRI图像重构结果对比图，图4(b)和图4(f)分别表示SIDCT结合l0范数的MRI图像重构结果和重构误差；图4(c)和图4(g)分别表示PBDCT结合l0范数的MRI图像重构结果和重构误差；图4(d)和图4(h)分别表示GPBDCT结合l0范数的MRI图像重构结果和重构误差。通过对比分析发现，GPBDCT结合l0范数的MRI图像重构结果优于SIDCT和PBDCT。由图4(f)—图4(h)MRI图像重构误差可知，提出的GPBDCT比SIDCT和PBDCT在抑制噪声和保持边缘细节方面更具优势。另外，由不同重构方法的评价指标对比结果，如表1所示。

表1 不同重构方法的评价指标对比结果

由表1可知，GPBDCT结合l0范数进行图像重构，在信噪比(SNR)、相对l2误差(RLNE)和匹配度(γ)三个评价指标上，均优于SIDCT和PBDCT，GPBDCT结合l0范数的信噪比比SIDCT和PBDCT分别提高了2.8 dB和1.69 dB，相对l2误差比SIDCT和PBDCT分别提高降低0.015和0.001 9，从而证明本文方法GPBDCT结合l0范数进行图像重构质量在抑制噪声和保留边缘的优越性。

3.2 不同数据采样频率对图像重构质量的影响

为了研究不同采样频率，对MRI图像重构质量的影响，通过对比不同采样频率下，GPBDCT、PBDCT和SIDCT三种方法的MRI图像的相对l2误差(RLNE)。其对比结果，如图5所示。

(a)

(c)

(e)

(g)

图5表示不同方法下，不同采样频率对图像重构质量的影响，其评价指标为相对l2误差(RLNE)。图5中的横坐标表示采样频率，采样频率分别为0.15、0.25、0.35、0.45、0.55、0.65、0.75、0.85和0.95，纵坐标为相对l2误差。以图5(a)为例，SIDCT和PBDCT的相对l2误差明显大于GPBDCT，在采样频率为0.15时，局部的相对l2误差高达0.101，随着采样频率的增加，相对l2误差也随之降低，GPBDCT法的相对l2误差总体低于SIDCT和PBDCT的相对l2误差。图5中的(a)—(h)分别对应图3中的(a)—(h)。图5(b)—(h)表示不同测试图像的相对l2误差，通过图5(b)—(h)可知，GPBDCT方法在不同采样频率下，其图像重构结果均优于SIDCT和PBDCT，从而说明本文算法具有很强的稳定性和鲁棒性。

3.3 抗噪能力分析

为了验证本文算法抵抗噪声的能力，分别对MRI图像的k空间的实部和虚部加入方差为0.03的高斯白噪声。不同方法噪声图像重构结果，如图6所示。

(a) 全采样加噪图像

不同重构方法的评价指标对比结果，如表2所示。

表2 不同重构方法的评价指标对比结果

由表2可知，在信噪比(SNR)、相对l2误差(RLNE)和匹配度(γ)三个评价指标上，有噪声MRI图像重构的信噪比，GPBDCT比SIDCT和PBDCT分别提高2.62 dB和1.08 dB，相对l2误差分别降低0.040 2和0.012 4，匹配度分别提高0.020 8和0.040 8，从而证明本文算法GPBDCT具有很强的抗噪能力，效果较好，同时在抑制噪声和保持边缘细节方面更具优势。

4 总结

为提高MRI图像压缩重构后的视觉传达效果和图像重建质量，将图像分块理论引入压缩感知图像重建，结合曲波变换具有保持图像边缘细节信息和曲线信息的优点，利用曲波变换实现MRI图像的稀疏表示，提出一种基于图像分块的曲波变换的MRI图像压缩感知图像重构算法。GPBDCT在进行MRI图像重构时，从信噪比、相对l2误差和匹配度三个评价可以看出，本文提出的GPBDCT方法均优于SIDCT和PBDCT，具有很强的抵抗噪声的能力，在保持图像细节和边缘方面效果很好。