对称分布的矩刻画

廖俊俊， 刘继成， 吴 娟

(华中科技大学 数学与统计学院， 武汉430074)

1 引 言

定义设随机变量X的概率密度为f(x)，若存在某点c，使得对任意的x有f(c+x)=f(c-x)， 则称X的分布关于c对称.

证记E(X)=μ，D(X)=σ2.

必要性 由β=0， 有

μ3=E[X-E(X)]3=Cov(X，X2)-2E(X)D(X)=0，

即

E(X3)-μ3-3μσ2=0，

μ3=E[X-E(X)]3=E(X3)-μ3-3μσ2=0，β=0.

例1说明对称分布的偏度(若存在)是0. 然而，随机变量的偏度只能度量分布的偏斜方向和程度，描述概率密度在左右尾部的相对拉长趋势. 偏度为0，并不足以推出概率分布是对称的. 下面的两个例子说明存在偏度为0的非对称分布.

例2设随机变量X的概率密度函数为

X的偏度β为0，且X的分布非对称.

证易知E(X)=E(X3)=0，所以X的偏度是0. 由f(-x)≠f(x)知X的分布非对称.

通过随机抽样方法得到样本的偏度为0，而总体的分布可能是对称的，也可能是非对称的.

例3设总体X服从混合高斯分布，概率密度函数为

f(x)=ωf1(x)+(1-ω)f2(x)，

(ii) 令ω=0.9，μ1=-μ2=-3，σ1=20，σ2=0.1，产生随机数10000个，计算得到样本的偏度接近于0，由图1右图可以看到，X的分布是非对称的. 因此，仅凭偏度并不能判定概率分布是否对称.

ω=0.9，μ1=-μ2=-3， σ1=20，σ2=0.1图1 混合高斯分布的样本

既然偏度不足以保证分布的对称性，那么给出一个分布关于0对称的判别是必要的. 本文尝试基于傅里叶变换的思想，从矩的角度讨论对称分布的充要条件.

2 主要结论

显然，随机变量X的分布关于c对称等价于X-c的分布关于0对称. 因此，只需讨论概率密度f(x)关于0对称的情形，即f(x)是偶函数. 李贤平[1]证明了随机变量的分布关于0对称的充要条件是特征函数是实的偶函数. 下面定理从随机变量原点矩的角度给出X的分布关于0对称的充要条件.

定理设随机变量X的概率密度函数f(x)在上连续，对任意正整数k，积分x2k+1f(x)dx绝对收敛，且f(x)在[-a，a]之外取零，则X的分布关于0对称的充要条件是

证必要性显然成立. 下证充分性.

由题设，∃M>0，使得|f(x)|≤M，∀x∈(-∞，+∞)，且f∈L1(-∞，+∞). 知道

易知有估计

若不要求f(x)有界，则上述定理是X的分布关于0对称的充分条件. Shiryaev[3]给出随机变量X的特征函数φ(t)能展成幂级数的必要条件是：若对任意的n≥1，有E|X|n<∞，且

则

但是结论中t的取值范围是有限区间.

例2(续)虽然X的偏度是0. 但是，E(X5)=64/14553≠0. 由定理，从矩的角度可以判定X的分布是非对称的.

3 结 论

一般情形下，随机变量的矩不能完全确定概率分布. 特别地，偏度为0不能得到对称分布. 本文从随机变量矩的角度，给出了分布对称的充分必要条件.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.