鸡蛋壳结构的有限元模型仿真分析

郑丽文 邓玉娟

摘要：鸡蛋外壳的形状是一个非规则的椭球体.在SolidWorks 中建立三维模型导入到有限元软件ABAQUS进行受力分析，研究鸡蛋壳在外压作用下的应力分布情况;同时考虑鸡蛋壳的自由振动情况，研究鸡蛋壳在自由振动情形下结构模态情况，利用ABAQUS软件计算其自由模态.

关键词：鸡蛋壳;自由振动;模态分析;ABAQUS

绪论：

国内外许多学者进行了鸡蛋力学特性的研究，许多都是在静态力作用来研究鸡蛋的力学特性，如把鸡蛋放到两块钢板之间进行准静态压缩实验。如NIALL MACLEOD[1]研究了不同加载方式下的鸡蛋外壳的裂纹扩展。但由于准静态压缩实验要求的设备比较昂贵，使得它的普及性并不是那么广。另一方面随着有限元技术的发展，使得用有限元来模拟生活中的力学事件变得非常便捷。但是由于鸡蛋的内部结构比较复杂，许多学者在建立鸡蛋的有限元模型时往往都是不考虑鸡蛋的内部结构，只是模拟出了鸡蛋的外壳[2-3]。如COUCKE[4]研究了鸡蛋的振动特性，研究了不同的材料和结构对刚度的影响。

以上研究对深入理解鸡蛋结构有限元具有重要意义[5]。基于以上讨论，本项目将通过几何、物理学和力学特性，通过三维建模软件建立一个鸡蛋外壳的基本模型导入到ABAQUS，建立一个鸡蛋外壳的FEM模型。应用所建立的模型进一步研究鸡蛋壳在外部压力和自由振动状态下鸡蛋壳的应力分布。

一、鸡蛋壳的外形结构与应力分析

1.鸡蛋壳的外形结构

鸡蛋的外壳形状是一个非规则的椭球体，它的外壳形状的参数方程中参数有长轴，短轴和蛋形角，参数蛋形角使得鸡蛋有大头和小头而不同于一般的椭球体。同时鸡蛋也是一个旋转壳体，旋转壳体是指以任意直线或曲线作为母线绕其同平面内的轴线旋转一周而得到的旋转曲面。不同的平面曲线，得到的回转壳体的形状也不同。例如：与轴线平行的直线绕轴旋转形成圆柱壳;与轴线相交的直线绕轴旋转形成圆锥壳;圆形曲线绕轴旋转形成球壳。

有关弹性薄壳的定义，当物体的厚度与其中面曲率半径之比小于1/10则属于薄壳。由于鸡蛋壳的厚度很小，与最小的曲率半径之比也非常小，因此鸡蛋壳属于弹性薄壳。形状如图（1）。外形参数方程为

鸡蛋的外壳属于非规则椭球结构外形如图（2）所示：

2.蛋壳的材料参数

通常测定鸡蛋的强度是通过鸡蛋的静态压缩实验来完成，压缩时一开始力與变形成正比，压缩的力与位移之间呈线性关系，随着压缩力的增大达到临界值的时候，鸡蛋抵抗变形的能力立即下降，本文中材料参数参照农业工程学会有关鸡蛋壳的弹性模量与泊松比和蛋壳密度分别 E=30000Mpa=0.25=2.532。

二、有限元理论应用到薄板结构

有限元分析是利用仿真分析的方法来代替真实样品的试验。在汽车设计领域用碰撞的仿真分析来代替真实车辆的碰撞，会变得非常便捷;在机械上的许多产品的加工，如金属板的成型，挤压也可以用有限元进行模拟;在电子工业中为了评估产品的质量，仿真分析代替了真实的跌落实验。在土木工程中，仿真分析也可以应用到施工过程。可以说，有限元已经渗透到工程中的各个领域种类。

有限元法是将一个几何形状进行离散，离散的单元通过节点来进行连接，有限元方法的分析步骤主要包括以下5个方面：

（1）建立有限元模型。

（2）推导方程的公式。

（3）单元的离散方程。

（4）求解方程。

（5）有限元结果的表达。

有限元方法概述：显示和隐式有限元方法。有限元法的第一步都是对结构单元进行离散分析，每一个单元则是代表了这一个结构的一部分，同时这些单元是共用节点的，而一旦节点的位移已知，那么应力应变等其他的物理量就可以解出了。有限元方法有显示解法和隐式的解法。下面以薄板弯曲的例子来说明有限元法。

工程中有很多的薄板构件，当薄板的厚度相比板的其它两个方向的尺寸小的多的时候可以认为是薄板，在垂直于板的力的作用下，板的中间平面变成了挠曲面。挠度为：

当薄板发生弯曲变形有以下假设：

（1）薄板在弯曲的变形中，原薄板中面法线上的点则是变形后薄板挠曲面上法线上的点。这个假设成为直法线假设。

（2）在薄板的厚度方向上的挤压变形忽略不计。

（3）在薄板的中面上没有平面内的收缩变形，只有弯曲变形。

与梁的弯曲变形相似，假设z为薄板上沿厚度方向上的点到薄板中面的距离，为各个点的应变，为挠曲线沿x和y方向的曲率和扭曲率。

当不考虑薄板厚度方向上的变形挤压的时候，则薄板沿厚度方向上的各层材料都是属于平面应力状态。对于薄板弯曲问题，只需要研究中面的变形情况，有板弯曲的基本假设可知，板的节点的位移包括点的挠度和绕其他两个轴上的转角，因此可以解得单刚，由单刚的叠加就可以得到总刚，在已知节点外力的分配下就可以求出节点的位移，随着节点位移的解出就可以算出应力应变。

三、仿真分析

1.鸡蛋壳在均布压力作用下的应力分析

按照鸡蛋的模型导入装配后创建一个Static General分析步step-1，设置Time period为2 s，鸡蛋壳受到外部总载荷为1兆帕大小。单元格类型选择Standard SC8R，加载下图（3）所示，仿真得到应力云图如图（4）所示。最大应力为45.6MPa.从应力云的分布来看，鸡蛋外壳在均布载荷的作用下，其受应力最大的地方为接近中性平面附近，小头受力相对较小。

2.鸡蛋壳自由模态分析

按照鸡蛋的模型导入装配后创建一个Frequency分析步step-1，设置Frequency Value为30。单元格类型选择Standard SC8R，仿真得到自由振动情形下前6振动模态如下图所示：

静载作用下鸡蛋外壳在均布载荷的作用下，其受应力最大的地方为接近中性平面附近，小头受力相对较小。鸡蛋壳自由模态分析中前9阶振动模态结果显示，前9阶振动模态鸡蛋外壳的形状没有发生大的变形，第7阶到第9阶模态显示鸡蛋结构发生了一定的变形。鸡蛋壳自由振动外壳的应力及形状变化为鸡蛋壳的结构设计提供一定的参考。

[1]Niall Macleod，Maureen M.Bain，John W.Hancock ，The Mechanics And Mechanisms Of Failure Of Hens' eggs[J].Int J Fract，2006（142）：29-41

[2]任奕林，王树才，丁幼春，文友先.鸡蛋壳生物力学特性分析及试验研究[J].农业工程学报，2007：23-29.

[3]崔志平.鸡蛋静载特性分析及有限元研究[D].硕士论文，2009：48-50.

[4]P.Coucke，G.Jacobs，P.Sas， J. De Baerdemaeker，Comparative Analysis of the Static and Dynamic Mechanical Eggshell Behaviour of a Chicken Egg[J].Mechanical Engineering，2003[9]：1-5.

[5] 迟玉杰，于滨.浅析我国蛋品工业的现状与特点[J].中国家禽，2008，30（2），6-8.

作者简介：郑丽文（1988-），女，硕士，讲师，有限元仿真分析

基金项目：2019年衢州市科技局指导性项目（编号：2019019）基于abaqus生物结构的有限元模型和碰撞动力学分析

（衢州职业技术学院，浙江 衢州 324000）