间接论证：神奇的反证法

钟鸣

同学们，这里有一个有趣的问题：请证明“神不是万能的”。

直接证明很困难，间接证明试一试。反证法是间接论证的方法之一，是拉丁语中的“转化为不可能”（Reductio ad absurdum），阿基米德经常使用它，亦称“逆证”。

对于反证法，我们应该不陌生。在七年级数学教材下册第16页读一读“怎样证实‘两直线平行，同位角相等”部分，就是用反证法进行的论证，同学们不妨先回到课本去读一读。这里，我们模仿着试一试。

假设“神是万能的”，那么“神就一定能够造出一块连自己都搬不动的石头”。而这与假设“神是万能的”相矛盾。所以，“神不是万能的”。

可见，反证法的一般步骤是：①假設要证明的结论的反面是成立的;②依据推理规则进行推演，得出与已有假设或事实矛盾的结论;③否定假设的成立，肯定要证明的结论。特别是在进行正面的直接证明或反驳比较困难时，用反证法往往会收到神奇的效果。

在我们学习过的几何内容中，并不缺乏这样的例子：

例1 如图1，直线a∥b，直线b与直线c相交于点A，直线c与直线a平行吗？为什么？

【解析】正面直接论证怎么进行呢？延长直线c，直观上会和直线a相交，难道依靠直观就解释了直线c与直线a不平行吗？有没有更有力的论证呢？假设“直线c与直线a平行”，又因为“a∥b”，那么过直线a外一点A有两条直线c和b都与直线a平行。这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾。所以假设不成立，则直线c与直线a不平行。

类似地，同学们不妨试试下题。

【练习】如图2，直线a、b、c，a⊥b，直线c与直线b相交于点A，直线c与直线a垂直吗？为什么？

例2 一个四边形最多只有3个钝角，为什么？

【解析】画图可以帮我们确认这个事实，但是无法给出有力的解释。正难则反，我们用反证法试一试。假设“一个四边形有4个钝角”，那么这4个钝角的和大于360°，这与“四边形内角和是360°”相矛盾，所以“一个四边形最多只有3个钝角”。论证清晰、简洁、有力。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”一般来讲，反证法常用来证明正面直接证明有困难、情况多或复杂，而命题的否定比较简单的题目。对于反证法，同学们可以通过网络多些了解，也可以提前阅读数学教材八年级下册第71页《趣谈“反证法”》。这样，我们的论证思路就会更加广阔。在后继的学习中，我们还会接触到另外一种间接论证的方法——肯定存在、构造目标的同一法。同学们，期待吗？

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）