抓住基本结构 任他千变万化

2021-05-14 12:21舒芳
初中生世界·七年级 2021年3期
关键词:外角基本原理平分线

舒芳

同学们,有一类基本图形:三角形的两条内角平分线交于一点,两条外角平分线交于一点,或者一条内角平分线与一条外角平分线交于一点。围绕这类图的题灵活多变,角平分线还可以变为三等分线或者n等分线。但我们只要抓住基本原理,下次遇到也不用怕!

例题 如圖1,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P。

(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;

(2)如图2,作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q与∠A之间的数量关系;

(3)如图3,延长线段BP、QC交于点E,试探索∠E与∠A之间的数量关系。

【错误】部分同学解答第(2)问时直接使用(1)中的条件“∠A=80°”,求出∠Q与∠A的具体度数,关系也没有总结出来。

【错因】审题不清,第(2)问惯性使用(1)中的条件;没有具体的数据,就不会抽象分析,没有真正领会“用字母表示数”的意义。

【解析】实际上,第(1)问可以把 “∠A=80°” 这个条件去掉,考虑一般的情况。“用字母表示数”,把∠A设为α°,运用三角形内角和定理表示∠ABC与∠ACB 的和,再用角平分线的定义,求出∠PBC+∠PCB,进而求出∠BPC,获得结论:∠BPC=90°[+12]∠A。

第(2)问类似上面的思路,根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN的和为360°-∠ABC-∠ACB,即180°+∠A,再根据角平分线的定义可求得∠CBQ+∠BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求得∠BQC=90°[-12]∠A。当然,在(1)知道∠BPC=90°[+12]∠A的基础上,我们还可以采用另一种方法。因为BP、BQ分别平分∠ABC、∠MBC,易证∠PBQ=90°,同理,∠PCQ=90°,最后利用四边形BPCQ的内角和为360°,可证得∠BQC与∠BPC是互补的,问题也可解决。

第(3)问中,∠E是由三角形的一条内角平分线与一条外角平分线相交得来的。可以用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和来解决。如图4,延长BC至点F,∠3是△BCE的外角,有∠E=∠3-∠1;∠ACF是△ABC的外角,有∠A=∠ACF-∠ABC;再根据角平分线的定义,∠3=[12]∠ACF,∠1=[12]∠ABC,可证得∠E=[12]∠A。当然,也可由∠EBQ=90°知∠E与∠Q互余,进而获得结论。

【总结】由三角形内角或外角平分线相交产生的角,其基本图形和基本结论,我们可以总结成如图5的基本结构。其中最为重要的是对基本原理的掌握。

∠BPC是由△ABC的两条内角平分线相交得来,则∠BPC=90°[+12]∠A;

∠BQC是由△ABC的两条外角平分线相交得来,则∠BQC=90°[-12]∠A;

∠E是由△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线相交得来,则∠E=[12]∠A。

【迁移】如图6,∠MON=90°,在△ABO中,∠ABC=[1n]∠ABN,∠BAD=[1n]∠BAO,则∠D=°(用含n的代数式表示)。

【解析】不难发现,∠D是由△ABO的一个外角n等分线与一个内角n等分线相交得来,我们可以将图5的基本原理迁移使用。因为∠ABN是△ABO的外角,有∠O=∠ABN-∠BAO;因为∠ABC是△ABD的外角,所以有∠D=∠ABC-∠BAD=[1n]∠ABN[-1n]∠BAO=[1n](∠ABN-∠BAO)=[1n]∠O=[90°n]。

(作者单位:江苏省无锡市西漳中学)

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