欧几里得和他的《几何原本》

王姗姗

欧几里得，古希腊数学家，几何之父，一生著作很多，遗憾的是，除了《几何原本》外，他只给世界留下了两句话。

一句是在托勒密国王问欧几里得有没有学习几何学的捷径时，欧几里得答道：“几何无王者之道。”另一句是在一个学生才开始学习第一个命题时，就问学几何有何用处，欧几里得对身边的侍从说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这两句话和他的《几何原本》一样，影响深远。

《几何原本》选取少量原始的概念作为定义、不需要证明的命题作为公设或公理，利用逻辑推理的方法推演出整个几何体系。在第一卷中，首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了5条公设和5条公理，公理后是一个接一个的命题及其证明。

七年级下册数学教材中，把“同位角相等，两直线平行”作为基本事实，推理得出“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”。而《几何原本》在第1卷第27个命题中，用反证法证得了“内错角相等，两直线平行”，随后由命题27证得“同位角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行”，并作为第28个命题。

《几何原本》中第27个命题证明如下：

已知：直线EF与直线AB、CD相交，其中∠AEF=∠EFD。

求证：AB∥CD。

证明：假设AB、CD不平行，那么它们一定相交，假设它们在B、D方向交于点G，那么在△GEF中，外角∠AEF=∠EFG。这与第一卷中已证明的命题16（三角形的一个外角大于任意一个与其不相邻的内角）矛盾。

所以假设不成立，即AB、CD在B、D方向不能相交。

同理AB、CD在A、C方向也不能相交。

所以AB∥CD。 （平行线的定义）

上述证明过程中用到了第一卷中已证明的命题16：三角形的一个外角大于任意一个与其不相邻的内角。这个命题在《几何原本》中如何得到呢？

已知：△ABC为任意三角形，延长BC至D。

求证：∠ACD大于∠CBA或∠BAC。

证明：在AC上取一点E，使得AE=EC，连接BE，并延长至点F，使得EF=BE，延长AC至G。

因为∠AEB=∠FEC（已证的命题15：对顶角相等），AE=EC，BF=EF。

所以△ABE≌△CFE（已證明的命题4：如果两个三角形的两条对应边及其夹角相等，那么它们的第三边也相等，这两个三角形全等，其对应角也相等）。

所以∠BAE=∠ECF。

又因为∠ECD>∠ECF（公理5：整体大于部分），

所以∠ACD>∠BAE。

同理可以证明∠BCG>∠ABC。

因为∠ACD=∠BCG（已证的命题15：对顶角相等），

所以∠ACD>∠ABC。

在这个命题中又应用了第一卷中已经证明的命题4和命题15。而命题4和命题15的证明又分别用到了公理和公设以及其他已证命题。

由此可见，欧几里得在《几何原本》中创造了一个完整的逻辑演绎体系，建立了历史上第一个数学公理体系，即用公理、公设和定义的推证方法;创造了几何证明的方法，即分析法、综合法和反证法。《几何原本》是人类历史上的一部伟大的科学巨作，其公理化思想后来被广泛运用到社会的各个领域。

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）