两类产量递减模型在预测页岩气井和致密气井中的应用与对比

陈元千，傅礼兵，徐佳倩，2

（1.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；2.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249）

众所周知，产量递减阶段是油气井和油气藏开采的主要阶段，它将伴随生产达到经济极限产量而停止。Arps于1945年提出的指数、双曲线和调和三种递减模型［1］得到了国际上的公认和应用。陈元千等提出的广义递减模型［2-3］、线性递减模型［4］、幂函数递减模型［5］和泛指数递减模型［6］均可对油气井和油气藏进行有效预测。实例应用结果表明，Arps 的n=0.5 的双曲线递减模型与陈元千等建立的m=0.5的泛指数递减模型是两类有效的产量递减预测模型。

1 两类递减模型的对比

1.1 双曲线递减模型及求解方法

双曲线递减模型的产量、累积产量、可采储量、递减率、无因次产量和无因次累积产量的公式［1-3］分别表示为：

为了利用线性迭代试差法求解双曲线递减模型，将（1）式代入（2）式得到的直线关系式为：

其中：

选用n=0.05 的步长，由（7）式进行线性迭代试差，求解双曲线递减模型，能形成最佳直线关系（相关系数最高）的n值，即为欲求的正确值。对该直线进行线性回归求得直线的截距和斜率后，通过（8）式和（9）式改写的下式确定qi和Di值：

1.2 泛指数递减模型及求解方法

泛指数递减模型的产量、累积产量、可采储量、递减率、无因次产量和无因次累积产量公式［6-7］分别为：

应当指出，在（13）式和（14）式中的完全伽马函数和上不完全伽马函数值，可查用伽马函数表或采用数值计算方法确定。

为了利用线性迭代试差法，求解泛指数递减模型常数qi和m及c值，将（12）式改写为下式：

其中：

选用m=0.05的步长，由（18）式进行线性迭代试差法，求解泛指数递减模型时，对于能够形成最佳直线（相关系数最高）的m值，即为欲求的正确值。在对该直线进行线性回归求解直线的截距和斜率后，通过变形（19）式和（20）式分别确定qi和c的计算式为：

2 实例应用与对比

2.1 页岩气井的应用和对比

美国宾州Marcellus页岩气藏［8］M1井于2011年8月投产，投产后第2个月该气井产量最大，此后进入递减阶段。该阶段不同时间的产量和累积产量的数据列于表1，并分别绘于图1和图2。

表1 M1井的生产数据［8］Table1 Production data of Well M1［8］

图1 M1井的q与t的关系Fig.1 The q-t curve of Well M1

图2 M1井的Gp与t的关系Fig.2 The Gp-t curve of Well M1

2.1.1 双曲线递减模型的应用

将表1 中的数据按（7）式进行线性迭代试差法求解，得到n=0.5 时的最佳直线关系绘于图3。该直线的截距A=21.289，斜率B=1.348×10-3，相关系数R2=0.978 2。将A和n值代入（8）式，得页岩气井的初始理论产量为：

图3 M1井n=0.5时q1-n与Gp最佳直线关系Fig.3 Optimal linear relation between q1-n and Gp of Well M1（n=0.5）

将A，B和n值代入（4）式，得页岩气井的初始递减率为：

再将qi，Di和n值代入（3）式，得由n=0.5 的双曲线递减模型预测页岩气井的可采储量为：

将qi，Di和n值，分别代入（1）式、（2）式和（4）式，得预测页岩气井产量、累积产量和递减率表达式为：

将由（26）式、（27）式和（28）式预测得到的页岩气井的q，Gp和D值分别绘于图1、图2和图4。

2.1.2 泛指数递减模型的应用

将表1中数据按（18）式进行线性迭代试差法求解，当m=0.5 时得最佳直线的截距α=6.460 6，斜率β=0.280 5，相关系数R2=0.993 0（图5）。

将α值代入（21）式，得页岩气井t=0时的初始理论产量为：

图4 两种递减模型预测M1井D与t的关系Fig.4 The D-t curves of Well M1 by the two decline models

图5 M1井lnq与tm的最佳直线关系（m=0.5）Fig.5 Optimal linear relation between lnq and tm of Well M1（m=0.5）

再将β值代入（22）式得c值为：

当m=0.5 时，查伽马函数表得Γ（1/m）=Γ（2）=1，若将qi，c，m和Γ（1/m）的数值代入（14）式，得由泛指数递减模型预测M1井的可采储量为：

将qi，c和m值分别代入（12）式、（13）式和（15）式，得泛指数递减模型预测页岩气井的q，Gp和D的表达式为：

由（32）式、（33）式和（34）式分别预测页岩气井q，Gp和D值，并分别绘于图1、图2 和图4。由图1 和图2 可以看出，泛指数递减模型预测的结果比双曲线递减模型预测的结果更接近于实际值，两类递减模型预测的可采储量基本相同。由图4看出，当t约大于10 mon 时泛指数递减模型预测的递减率低于双曲线递减模型。

2.2 致密气井的应用和对比

根据文献［9］的报道，某致密气井的产量和累积产量数据列于表2，并绘于图6 和图7。将表2 上数据分别按双曲线递减模型和泛指数递减模型进行线性迭代试差求解，当n=0.5和m=0.5时均可得最佳直线关系，见图8和图9。

表2 致密气井的生产数据［9］Table2 Production data of tight gas well［9］

图6 致密气井q与t的关系Fig.6 The q-t curve of tight gas well

图7 致密气井Gp与t的关系Fig.7 The Gp-t curve of tight gas well

图8 致密气井双曲线递减模型的最佳直线图（n=0.5）Fig.8 Optimal linear relation for hyperbolic decline model of tight gas well（n=0.5）

图9 致密气井泛指数递减模型的最佳直线图（m=0.5）Fig.9 Optimal linear relation for pan exponential decline model of tight gas well（m=0.5）

2.2.1 双曲线递减模型的应用

将图8 上n=0.5 最佳直线的数据，利用（7）式进行线性回归得到直线的截距A=1.054 7，斜率B=0.000 2 和相关系数R2=0.991 4。由（10）式和（11）式分别求得双曲线递减模型的初始产量qi=1.112×104m3/d 和初始递减率为Di=0.000 422 d-1。将qi，Di和n值代入（4）式，得致密气井的可采储量为：

再将qi，Di和n值分别代入（1）式、（2）式和（4）式预测的q，Gp和D值绘于图1、图2和图4。

2.2.2 泛指数递减模型的应用

将图8 上m=0.5 最佳直线的数据，利用（18）式进行回归求得直线的截距α=0.379 3，斜率β=0.021 8和相关系数R2=0.976 5。再利用（24）式和（25）式分别求得泛指数递减模型的qi=1.461×104m3/d 和c=45.871。当m=0.5，1/m=2时，查伽马函数表Γ（1/m）=1。将qi，c，m和Γ（1/m）值代入（14）式，得泛指数递减模型预测致密气井的可采储量为：

再将qi，c和m值分别代入（12）式、（13）式和（15）式，预测致密气井的q，Gp和D值，分别绘于图6、图7和图10。由图6和图7看出，泛指数递减模型比双曲线递减模型的预测结果更接近于实际值，而两类模型预测的可采储量有所不同。由图10 可以看出，当t约大于650 d 时泛指数递减模型预测的递减率低于双曲线递减模型。

图10 双曲线递减和泛指数递减模型预测的D值Fig.10 The D values predicted by hyperbolic decline model and pan exponential decline model

3 结论

Arps于1945年利用油井产量递减数据，经统计研究，提出的指数、双曲线和调和三种递减模型，常规油气井和油气藏的实际应用结果表明，指数递减模型应用的最为广泛，双曲线递减模型应用的一般，调和递减模型应用的很少。通过本文的研究和应用表明，对于页岩气井和致密气井，n=0.5 的双曲线递减模型和m=0.5的泛指数递减模型是两种重要的实用预测模型。这为页岩气井和致密气井产量、累积产量、可采储量和递减率的预测提供了实用有效方法。由页岩气井和致密气井的预测结果表明，泛指数递减模型预测的结果比双曲线递减模型更接近于实际。两类预测的可采储量基本相同，但预测的递减率相差明显。

符号解释

A和B——双曲线递减模型最佳直线的截距和斜率；

c——泛指数递减模型的时间常数，mon或d；

D——t时间的递减率，mon-1或d-1；

Di——t=0 时双曲线递减模型的初始理论递减率，mon-1或d-1；

Gp——t时间的累积产量，104m3；

GpD——无因次累积产量，dim；

GR——可采储量，104m3；

m——泛指数递减模型的泛指数，dim；

n——双曲线递减模型的递减指数，dim；

q——t时间的产量，104m3/mon或104m3/d；

qi——t=0时初始理论产量，104m3/mon或104m3/d；

qD——无因次产量，dim；

R2——相关系数，dim.

t——生产时间，mon或d；

tD——无因次时间，dim；

α和β——泛指数递减模型最佳直线的截距和斜率；

Γ（1/m）——完全伽马函数；

Γ（1/m，tm/c）——上不完全伽马函数。